Vektorová grafika.

Prezentace na téma: "Vektorová grafika."— Transkript prezentace:

1 Vektorová grafika

2 Vektorové entity Úsečka Kružnice, elipsa, kruhový oblouk,…
Složitější křivky, splajny, Bézierovy křivky, … Plochy Tělesa Modely

3 Interpolace Křivka prochází přímo zadanými body

4 Interpolace polynomem
Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů

5 Lineární interpolace

6 Kvadratická interpolace

7 Interpolace polynomem 4 stupně
Interpolované body: (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5) Rovnice: 16a -8b +4c -2d + e = 4 a - b + c -d +e = -3 e = 3 a + b + c + d +e = 1 16a +8b +4c +2d +e =-5 Řešení: a=0.458 b=-0.75 c=-2.95 d= e=3 Funkce: 0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3

8 Spline křivka Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují

9 Lineární „spline“ Polynomy prvního stupně.
V hraničních bodech na sebe navazují spojitě. Není zaručena spojitost ani první derivace. Česky se tomu říká lomená čára

10 Kvadratický spline Křivka jsou úseky parabol.
V hraničních bodech na sebe paraboly hladce navazují – mají spojitou první derivaci. Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité. Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

11 Kvadratický spline

12 Spline křivky vyšších stupňů
Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.

13 Aproximační křivky Nemusí procházet přímo zadanými body.
Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku. Problém je nalézt takové vyjádření, které bude Jednoduché Bude dostatečně dobře aproximovat danou křivku

14 Aproximace metodou nejmenších čtverců
Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů). Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální. ∑(yi-f(xi))2→ min

15 Metoda nejmenších čtverců

16 Bézierova aproximace (Bézierova křivka)
Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn Křivka prochází krajními body P0 a Pn Tečna v počátečním bodě P0 je rovnoběžná s vektorem P0P1. Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná s vektorem Pn-1 Pn Celá křivka leží v konvexním obalu bodů P0, … ,Pn

17 Vyjádření Bézierovy křivky

18 Lineární Bézierova křivka
B(t) = (1-t).P0 + t.P1 Parametrická rovnice úsečky

19 Kvadratická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2

20 Kubická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3

21 Bézierovy křivky vyšších řádů
Příklad vzorce pro křivku 5.stupně

22 B-spline Úseky Bézierových křivek nižších stupňů (obvykle kvadratické a kubické křivky) budou v krajních bodech na sebe hladce navázány.

23 Příklad B spline křivky
6 řídících bodů → 2 paraboly (2 Bézierovy křivky 2, stupně)

24 Zobrazování

25 Modelování a zobrazování
Obraz(y) modelu model Realita (sutečnost) modelování Zobrazování (vizualizace)

26 Promítání Zobrazení Φ: Rn→ Rk n>k
Konkrétní situace pro 3D grafiku Φ: R3→ R2 Promítání je určeno Středem (může být i nevlastní -v nekonečnu) Promítací rovinou

27 Promítání rovnoběžné Střed promítání v nekonečnu
Promítací paprsky navzájem rovnoběžné Směr paprsků určen dvěma úhly (azimut,zenit)

28 Perspektiva Střed promítání vlastní

29 Drátěný „model“

30 Řešení viditelnosti hran

31 Řešení viditelnosti hran

32 Prosté zobrazení všech bodů tělesa

33 Stínování (render) pozorovatel Zdroj světla Promítací rovina Úhel α

34 Stínování

35 Typy zdrojů světla Bodové
Bodové se směrovanými paprsky (obvykle do tvaru kužele) Plošné (obvykle aproximováno maticí bodových zdrojů) Rozptýlené (ambientní)

36 Sledování paprsku (Ray Tracing)
Zrcadlový odraz Zdroje světla Promítací rovina Difusní odraz Paprsek prochází tělesem

37 Co se může stát s paprskem
Je pohlcen tělesem (barva tělesa) Odrazí se Zrdcadlově (lesklost) Difusně Kombinovaně Projde tělesem Rovně (průhlednost) Se zlomem

38 Radiozita Ei = zi + oi * ∑vijej