Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů

Prezentace na téma: "Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů"— Transkript prezentace:

1 Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů
Střední odborná škola Otrokovice Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Iva Kočtúchová Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 Charakteristika DUM Název školy a adresa
Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ /1 Autor Mgr. Iva Kočtúchová Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-Mn-M/3-MA-2/20 Název DUM Exponenciální rovnice řešené pomocí logaritmů Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 63-41-M/01 Obor vzdělávání Management hotelových a turistických služeb Vyučovací předmět Matematika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 17 – 18 let Anotace Výukový materiál je určený k doplnění výkladu řešení některých exponenciálních rovnic a následnému procvičení náplň: prezentace způsobů řešení exponenciálních rovnic Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Exponenciální rovnice, logaritmus Datum

3 Exponenciální rovnice řešená pomocí logaritmů
Náplň výuky (obsah hodiny) Pojem exponenciální rovnice Řešení exponenciální rovnice Věty o logaritmech pomocí logaritmů

4 Exponenciální rovnice je rovnice, ve které se neznámá 𝒙∈𝑹 nachází v exponentu nějaké mocniny.

5 Typy exponenciálních rovnic
1. Základní 𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒈 𝒙 kde levá a pravá strana mají stejný základ mocniny 𝑎>0 ;𝑎≠1 Řešíme porovnáním exponentů Příklad: x+2 = 9 x−4 3 x+2 = x−4 x+2=2. x−4 x+2=2x−8 −x=−10 x=10 𝐾= 10

6 2. Exponenciální rovnice vedoucí k substituci
Příklad: 9 𝑥 𝑥 −3=0 3 2𝑥 𝑥 −3=0 Substituce: 3 x =y 𝑦 2 +2𝑦−3=0 Viètovy vzorce: 𝑦 1 + 𝑦 2 =−2 𝑦 1 . 𝑦 2 =−3 𝑦 1 =1; 𝑦 2 =−3 Řešení přes diskriminant: 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐= 2 2 −4 .1 −3 =16 ; 𝑦 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎 = −2±4 2 ⇒ 𝑦 1 =1; y 2 =-3 𝑦 1 =1 ⇒ 𝑥 = 𝑦 2 =−3 ⇒ 3 𝑥 =−3 3 𝑥 = NŘ 𝑥=0 𝐾= 0

7 kde 𝑎>0;𝑎≠1;𝑏>0;𝑏≠1;𝑎≠𝑏
3. Rovnice typu 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑔 𝑥 , kde 𝑎>0;𝑎≠1;𝑏>0;𝑏≠1;𝑎≠𝑏 Ze zadání je zřejmé, že se jedná o mocniny s různými základy. Řešíme logaritmováním: log 𝑎 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑔 𝑥 (použijeme dekadický logaritmus) .

8 Při úpravách používáme věty o logaritmech
Logaritmus součinu dvou kladných čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů ∀𝑎>0,𝑎≠1,∀𝑟,𝑠∈𝑅; log 𝑎 𝑟 . 𝑠 = log 𝑎 𝑟 + log 𝑎 𝑠 Logaritmus podílu dvou kladných čísel je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele ∀𝑎>0,𝑎≠1,∀𝑟,𝑠∈𝑅; log 𝑎 𝑟 𝑠 = log 𝑎 𝑟 − log 𝑎 𝑠 Logaritmus mocniny kladného čísla je roven součinu exponentu a logaritmu základu mocniny ∀𝑎>0,𝑎≠1,∀𝑟∈ 𝑅 + ,∀𝑠∈𝑅; log 𝑎 𝑟 𝑠 =𝑠 . log 𝑎 𝑠

9 Řešte rovnici: 2 𝑥 =3 Obě strany rovnice zlogaritmujeme: log 2 𝑥 = log 3 Upravíme podle vět o logaritmech: 𝑥 log 2 = log 3 Odtud: 𝑥= log 3 log 2 =1,585 (kalkulačka- výsledek zaokrouhlíme) 𝐾= 1,585

10 𝐾= 0,7246 Řešte rovnici s neznámou x 2 x−1 = 3 3−2x
Obě strany zlogaritmujeme: log 2 𝑥−1 = log 3 3−2𝑥 Upravíme podle vět o logaritmech: 𝑥−1 log 2 = 3−2𝑥 log 3 Odstraníme závorky: 𝑥 . log 2 − log 2 =3. log 3 −2𝑥 log 3 Upravujeme rovnici: 𝑥 . log 2 +2𝑥 log 3 = 3 .log 3 + log 2 𝑥 . log log 3 =3 . log 3 + log 2 Odtud: 𝑥= log log log 3 + log 2 = 0,7246 𝐾= 0,7246

11 Příklady na procvičení
Řešte rovnice s neznámou x: 7 𝑥 = 5 1−2𝑥 2 4−3𝑥 = 7 4𝑥+2 4 −𝑥+3 = 9 3𝑥+7 2 2 . 𝑥−1 = 6 𝑥+4 = 7 𝑥−3

12 Řešení: 1. 𝟕 𝒙 = 𝟓 𝟏−𝟐𝒙 𝑥 log 7 = 1−2𝑥 log 5 𝑥 log 7 = log 5 −2𝑥 log 5
𝟕 𝒙 = 𝟓 𝟏−𝟐𝒙 𝑥 log 7 = 1−2𝑥 log 5 𝑥 log 7 = log 5 −2𝑥 log 5 𝑥 log 7 +2𝑥 log 5 = log 5 𝑥 . log 7 +2 log 5 = log 5 𝑥= log 5 log 7 +2 log 5 𝑥= 0,3116 𝐾= 0,3116

13 𝟐 𝟒−𝟑𝒙 = 𝟕 𝟒𝒙+𝟐 4−3𝑥 log 2 = 4𝑥+2 log 7 4 log 2 −3𝑥 log 2 =4𝑥 log 7 +2 log 7 −3𝑥 log 2 −4𝑥 log 7 =2 log 7 −4 log 2 𝑥 −3 log 2 −4 log 7 =2 log 7 −4 log 2 𝑥= 2 log 7 −4 log 2 −3 log 2 −4 log 7 𝑥= -0,1135 𝐾= −0,1135

14 3. 𝟒 −𝐱+𝟑 = 𝟗 𝟑𝐱+𝟕 −𝑥+3 log 4 = 3𝑥+7 log 9 −𝑥 log 4 +3 log 4 =3𝑥 log 9 +7 log 9 −𝑥 log 4 −3𝑥 log 9 =7 log 9 −3 log 4 / . (-1) 𝑥 log 4 +3𝑥 log 9 =3 log 4 −7 log 9 𝑥 log 4 +3 log 9 =3 log 4 −7 log 9 𝑥= 3 log 4 −7 log 9 log 4 +3 log 9 𝑥= -1,4066 𝐾= − 1, 4066

15 𝟐 𝟐 . 𝐱−𝟏 = 𝟔 𝐱+𝟒 2. x−1 log 2 = x+4 log 6 2x−2 log 2 =x log 6 +4 log 6 2x log 2 −2 log 2 =x log 6 +4 log 6 2x log 2 −x log 6 =4 log 6 +2 log 2 x 2 log 2 − log 6 =4 log 6 +2 log 2 x= 4 log 6 +2 log 2 2 log 2 − log 6 x=− 21,0951 K= − 21,0951

16 𝟓 𝟏 𝟑 = 𝟕 𝐱−𝟑 1 3 log 5 = x−3 log 7 1 3 log 5 =x log 7 −3 log 7 1 3 log 5 +3 log 7 =x log 7 x= log 5 +3 log 7 log 7 x= 3,2757 K= 3,2757

17 Kontrolní otázky: Jaký typ exponenciálních rovnic musíme logaritmovat?
Jaký logaritmus vždy používáme? 3. Jaká je souvislost mezi exponenciální a logaritmickou funkcí?

18 Seznam obrázků:

19 Seznam použité literatury:

20 Děkuji za pozornost 