R OVNICE A NEROVNICE Rovnice v podílovém tvaru VY_32_INOVACE_M1r0105 Mgr. Jakub Němec.

Prezentace na téma: "R OVNICE A NEROVNICE Rovnice v podílovém tvaru VY_32_INOVACE_M1r0105 Mgr. Jakub Němec."— Transkript prezentace:

1 R OVNICE A NEROVNICE Rovnice v podílovém tvaru VY_32_INOVACE_M1r0105 Mgr. Jakub Němec

2 R OVNICE V PODÍLOVÉM TVARU V minulé lekci jsme se naučili, jak vyřešit rovnice, které nejsou lineární, pomocí úpravy rovnice na součin lineárních členů. Obdobně existují také postupy, které lze aplikovat na rovnici, která je v podílovém tvaru, tzn. v rovnici se vyskytuje lomený výraz, v němž je neznámá ve jmenovateli. Abychom se s tímto druhem rovnic vypořádali, je nutné si uvědomit dvě pravidla: 1) Celý lomený výraz se rovná nule v případě, že se jeho čitatel rovná nule. 2) Ekvivalentní úpravou je vynásobení obou stran rovnice výrazem obsahujícím neznámou. Výraz musí být pro všechny kořeny různý od nuly (je nutné určit podmínky řešení).

3 Řešte rovnici a získané kořeny ověřte zkouškou. Nejdříve určíme podmínky tak, aby mělo řešení rovnice smysl. Poté si stačí uvědomit, že lomený výraz se rovná nule v případě, že čitatel je roven nule. Získáme tak jednoduchou lineární rovnici. Zkontrolujeme, zda nalezený kořen odpovídá i podmínce a můžeme určit množinu kořenů rovnice. Tento způsob řešení se často využívá i při řešení nerovnic. Provedeme zkoušku.

4 Řešte rovnici a ověřte správnost řešení zkouškou. Určíme podmínky, kdy má lomený výraz smysl. První způsob řešení spočívá v tom, že si převedeme všechny výrazy na jednu stranu rovnice. Poté upravíme v našem případě levou stranu tak, abychom získali pouze jeden lomený výraz. Díky tomu můžeme položit čitatel roven nule, čímž jsme získali jednoduchou lineární rovnici. Následuje diskuze nad získaným kořenem a podmínkou. Poté můžeme napsat množinu kořenů dané rovnice. Provedeme zkoušku.

5 Druhý způsob, jak řešit danou rovnici spočívá v tom, že vynásobíme obě strany rovnice stejným výrazem. Je zřejmé, že tento výraz zvolíme tak, abychom se zbavili zlomku v rovnici. Je ovšem nutné určit podmínky řešení! Získáme jednoduchou lineární rovnici, kterou upravíme, čímž získáme kořen rovnice. Provedeme diskuzi nad kořenem rovnice a podmínkami řešení, po níž můžeme zapsat množinu kořenů rovnice. Zkouška je stejná, jako na předchozím snímku.

6 Řešte rovnici a ověřte správnost řešení zkouškou. Vždy, když máme v rovnici neznámou ve jmenovateli alespoň jednoho lomeného výrazu, je nutné určit podmínky řešení. První způsob spočívá v převedení všech výrazů na jednu stranu rovnice, kde se výrazy upraví tak, abychom získali pouze jeden lomený výraz. Čitatel tohoto lomeného výrazu položíme roven nule a máme jednoduchou lineární rovnici, z níž určíme kořen. Porovnáme podmínky řešení se získaným kořenem a určíme množinu kořenů rovnice. Zkouška je na dalším snímku.

7 Druhé řešení spočívá ve vynásobení obou stran vhodnými výrazy tak, abychom se zbavili zlomků. Předtím je však nutné určit podmínky řešení. Úpravou získáme rovnici, u níž již není problém určit kořen rovnice. Provedeme diskuzi nad podmínkami řešení a získaným kořenem a určíme množinu kořenů rovnice. Provedeme zkoušku.

8 Určete kořeny rovnice a ověřte jejich správnost zkouškou. Na tomto snímku je předvedeno řešení pomocí prvního způsobu, který byl již několikrát popsán. Nezapomeňte na porovnání podmínek s kořenem rovnice před určením množiny kořenů. Zkouška je na dalším snímku.

9 Druhý způsob řešení byl také popsán dříve, takže nechám na řešiteli, ať si postup zopakuje. Nakonec nezapomeňte na zkoušku.

10 Určete kořen rovnice a svůj výpočet ověřte zkouškou. Rovnice se v tomto případě dá řešit třemi způsoby, z nichž první dva známe (podmínky pro řešení jsou u všech samozřejmě stejné): 1) Převedení na jednu stranu rovnice 2) Vynásobení vhodným výrazem 3) V tomto případě lze využít vytknutí a následné zkrácení celého výrazu. Na závěr je nutné přihlédnout k podmínce při určování množiny kořenů rovnice. Zkouška je banální cvičení.

11 Určete kořen rovnice a svůj výpočet ověřte zkouškou. Rovnice se v tomto případě dá řešit třemi způsoby, z nichž první dva známe (podmínky pro řešení jsou u všech samozřejmě stejné): 1) Převedení na jednu stranu rovnice 2) Vynásobení vhodným výrazem 3) V tomto případě lze využít vytknutí a následné zkrácení celého výrazu. Z diskuze nad získaným kořenem a podmínkou pro řešení je zřejmé, že tato rovnice nemá žádný reálný kořen, jak dokazuje třetí postup přímo.

12 Ú KOL ZÁVĚREM

13 Z DROJE Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.