FII-2 Gaussova věta 6. 7. 2003.

Prezentace na téma: "FII-2 Gaussova věta 6. 7. 2003."— Transkript prezentace:

1 FII-2 Gaussova věta

2 Hlavní body Tok elektrické intenzity. Gaussova věta. Hustota náboje.
Užití Gaussovy věty k výpočtu pole Bodového náboje Nekonečného nabitého drátu Nekonečné nabité roviny Dvou nekonečných nabitých rovin

3 Tok elektrické intenzity
Tok elektrické intenzity je definován jako : . Popisuje množství elektrické intenzity , která proteče kolmo ploškou , která je popsána svým vnějším normálovým vektorem Ploška musí být tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní. Zopakujme si skalární součin.

4 Gaussova věta I Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích.

5 Gaussova věta II V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit.
Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r2. Skalárním součinem je ošetřena vzájemná poloha siločar a plošek.

6 Gaussova věta III Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. Je-li celkový uzavřený náboj kladný, více siločar vystoupí než vstoupí. Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný, více siločar vstoupí než vystoupí. Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly. Nekonečno může být i zdrojem i propadlem.

7 Gaussova věta VI Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon. Dokonce je obecnější! Gaussova věta je užitečná : pro teoretické úvahy V případech speciální symetrie

8 Hustota náboje V reálných situacích obvykle nepracujeme s bodovými náboji, ale s nabitými tělesy. Potom je vhodné zavést nábojovou hustotu, tedy náboj na jednotku plochy nebo délky, podle symetrie problému. Hustota může být obecně funkcí polohy. Jednoduše je použitelná v případě, že tělesa jsou nabita rovnoměrně, jako v případě nabité vodivé roviny (desky).

9 Pole bodového náboje I Jako Gaussovu rovinu volíme povrch koule, v jejímž středu je bodový náboj. Intenzita je v každém bodě kolmá k ploše, takže je paralelní (nebo antiparalelní) s její vnější normálou. Navíc je její velikost na celé ploše konstantní. Tedy :

10 Pole bodového náboje II
Pro intenzitu tedy dostáváme stejný vztah jako z Coulombova zákona : Zde je patrný důvod, proč se v Coulombově zákoně objevuje člen

11 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát I
Nekonečný vodivý drát z rovnováze musí být nabit rovnoměrně a stav jeho nabití tedy můžeme popsat hustotou náboje, tedy nábojem na jednotkovou délku. Obě veličiny vpravo mohou být nekonečné, ale jejich poměr může být konečný. Drát je osou symetrie problému.

12 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát II
Intenzita leží v rovinách kolmých k drátu a je radiální. Jako Gaussovu rovinu zvolíme povrch rotačního válce jisté délky L, souosého s drátem. Intenzita je v každém bodě kolmá k plášti válce, čili je paralelní (nebo antiparalelní) s vnější normálou každé plošky, kterou prochází. Současně je velikost intenzity na celém plášti konstantní.

13 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát III
Tok podstavami je nulový, protože zde je vektor intenzity k normálám kolmý. Tedy :

14 Nekonečný rovnoměrně nabitý drát VI
Tím, že je jeden rozměr nabitého tělesa nekonečný, klesá intenzita pouze s první mocninou vzdálenosti. Opět bychom mohli získat stejný výsledek použitím Coulombova zákona, principu superpozice a integrací, ale bylo by to poněkud obtížnější!

15 Nekonečná nabitá rovina I
Můžeme-li předpokládat rovnoměrné nabití, můžeme definovat plošnou hustotu náboje : Obě veličiny mohou být opět nekonečné, ale mít konečný podíl. Ze symetrie musí být intenzita všude kolmá k nabité rovině.

16 Nekonečná nabitá rovina II
Za Gaussovu plochu zvolíme opět válec, tentokrát kolmý k rovině, tak, aby ho půlila. Nenulový tok bude tentokrát jenom podstavami :

17 Nekonečná nabitá rovina III
Tentokrát intenzita nezávisí na vzdálenosti. Protože má všude i stejný směr, vytváří nekonečná nabitá rovina speciální takzvané homogenní pole.

18 Dvě paralelní nabité roviny
Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou  druhá s hustotou -. Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí? A) Ei= 0, Eo=/0 B) Ei= /0, Eo=0 C) Ei= /0, Eo=/20

19 Homework The one from yesterday is due tomorrow!
The next one you will get tomorrow.

20 Things to read Giancoli: Chapter 22

21 The scalar or dot product
Let c=a.b Definition I. (components) Definition II. (projection) Can you proof their equivalence? ^

22 Gauss’ Law The exact definition:
In cases of a special symmetry we can find Gaussian surface on which the magnitude E is constant and E is everywhere parallel to the surface normal. Then simply: ^

23 Infinite Wire by C.L.– die hard!
E has only radial component Er: We have to substitute all variables to  and integrate from 0 to : “Quiz”: What was easier? ^