Stáhnout prezentaci
Prezentace se nahrává, počkejte prosím
1
Algebra II.
2
Opakování z minulé přednášky
Co je to grupoid, pologrupa, monoid, grupa? Co jsou to zbytkové třídy? Jakou algebraickou strukturu tvoří zbytkové třídy s operací sčítání? A násobení? Jakou strukturu tvoří ({0,1},+) a ({0,1}, )
3
Podstruktury Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť BA. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa. Například (S0, +) je podmonoidem monoidu (N0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.
4
Podgrupy O podgrupě (H, ) grupy (G, ) mluvíme tehdy, pokud
a H a-1 H a,b H a b H Pomocí množiny M G můžeme generovat podgrupu (M, ) grupy (G, ) – hovoříme o podgrupě generované množinou M Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická
5
Vnoření je prostý homomorfismus
Morfismy Zobrazení : G H nazýváme homomorfismem z grupy (G, ) do grupy (H, ) tehdy, pokud a,b G: (a b) = (a) (b) Vnoření je prostý homomorfismus Izomorfismus je bijektivní homomorfismus Platí: (eG) = eH, (a-1) = ((a))-1
6
Klasifikace grup Libovolná nekonečná cyklická grupa je izomorfní grupě (Z,+) Libovolná n-prvková (n N) cyklická grupa je izomorfní grupě (Zn, +) Součin dvou grup (G, ) a (H, ) definujeme po složkách (G, )*(H, ) = (GH,*) (g1, h1)*(g2,h2) = (g1g2, h1h2) Libovolné konečné komutativní grupy jsou izomorfní součinu (Zn, +) grup s n prvočíselným
7
Algebraické struktury se dvěma operacemi
Doposud jsme se zabývali strukturami s jednou operací Obvykle používáme více operací typicky sčítání a násobení
8
Uspořádaná trojice (R, +, ) se nazývá okruh, je-li
Okruhy Uspořádaná trojice (R, +, ) se nazývá okruh, je-li (R, +) komutativní grupa (R, ) pologrupa platí distributivní zákony a,b,c R: a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c Mluvíme o komutativních okruzích, pokud (R, ) je komutativní monoid
9
Značení v okruzích Nula 0 je neutrální prvek v (R, +) Opačný prvek –a je inverzí k a v (R, +) Jednička 1 je neutrální prvek v (R, ) Rozdíl a – b definujeme jako a + (–b) Hovoříme o triviálním okruhu pro |R| = 1
10
Obor integrity Okruh (R, +, ) nazýváme oborem integrity, je-li netriviální, komutativní, obsahuje-li jedničku a platí-li, že a,b R: (ab = 0 a = 0 b = 0) Tedy v oboru integrity neexistují „dělitelé nuly“ Příklad: (Zn, +, ) je obor integrity pro n prvočíselné Proč ne pro n neprvočíselné?
11
Tělesa Okruh (R, +, ) nazýváme tělesem, je-li (R – {0}, ) komutativní grupa Je-li R těleso, je také oborem integrity (těleso je speciální případ oboru integrity), protože nenulové prvky musí být v oboru integrity uzavřeny na násobení Např. (Q,+,), (R,+,), (C,+,) jsou tělesa
12
Podstruktury Zavádíme podokruhy, podobory integrity, podtělesa Zavádíme generování těchto útvarů Zavádíme homomorfismus, vnoření a izomorfismus (na obou operacích, na nule a na jedničce)
13
Polynomy I. Polynomem nad okruhem R nazýváme nekončenou posloupnost f = (f0, f1, f2, …), kde téměř všechny prvky jsou nulové Téměř všechny = všechny s výjimkou konečně mnoha Nejčastější zápis polynomu: f = f0x0 + f1x1 + f2x2 + … Značíme R[x] jako množinu všech polynomů nad okruhem R Operace definujeme jako sčítání po složkách a polynomové násobení
14
Polynomy II. Stupeň polynomu = největší n takové, že fn 0 Kořen polynomu = takové číslo, které při dosazení za x způsobí, že f = 0 Řekneme, že těleso (T, +, ·) je algebraicky uzavřené právě tehdy, když kořeny všech polynomů nad T jsou prvky T.
15
Tělesa (Z, +, ·), (Q, +, ·) a (R, +, ·) nejsou algebraicky uzavřená
Základní věta algebry Tělesa (Z, +, ·), (Q, +, ·) a (R, +, ·) nejsou algebraicky uzavřená Existují v nich ireducibilní polynomy Základní věta algebry: těleso (C,+,·) je algebraicky uzavřené
16
Kam dál míří algebra… Další typy objektů – svazy (jiné operace), modulární svazy, Booleovy svazy Zavádíme pojem algebry jako objektu s libovolným počtem operací Z předchozích (univerzálnějších) objektů lze využít řadu vlastností i ve speciálních objektech (např. v algebrách)
17
K zamyšlení Jakou strukturu tvoří množina všech zobrazení na neprázdné množině X spolu s operací skládání zobrazení? Zobrazení f(x) = ex je homomorfismus (dokonce izomorfismus) grup. Kterých? Najděte inverzní izomorfismus.
Podobné prezentace
© 2024 SlidePlayer.cz Inc.
All rights reserved.