Náhoda, generátory náhodných čísel

Prezentace na téma: "Náhoda, generátory náhodných čísel"— Transkript prezentace:

1 Náhoda, generátory náhodných čísel
Simulační modely ekonomických procesů 4EK412 2.přednáška

2 Náhoda Filozofický pohled: „Existuje náhoda nebo je vše předurčeno?“
Náhoda … slovo popisující nedostatek smyslu nebo příčiny nějakého jevu Náhoda = něco, co může, ale nemusí nastat, přičemž existenci či neexistenci daného jevu „nelze“ ovlivnit. = takový jev, na který nemají vliv počáteční podmínky (při stejných podmínkách dostaneme jiný výsledek)

3 Náhodný pokus, náhodný jev, náhodná veličina
Náhodný pokus = pokus, jehož výsledek se od jednoho provedení pokusu k druhému (při stejných výchozích podmínkách) obecně mění (hod kostkou, mincí, výběr s vracením, …) Náhodný jev = výsledek náhodného pokusu („jednička“ na kostce, vylosované číslo, …) Náhodná veličina = je definovaná, pokud přiřadíme náhodnému jevu jednoznačně nějaké číslo (náh.veličina X (číslo vylosované ve Sportce) = x ; x=1,2, …, 49 ) Obvykle určujeme i její pravděpodobnostní rozdělení

4 Nezávislé hodnoty rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1) … R(0,1)
Náhodná čísla Nezávislé hodnoty rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1) … R(0,1) R(0,1): f(x) = 1 pro x (0,1) jinak f(x) = 0 F(x) = 0 pro x  0 F(x) = x pro x (0,1) F(x) = 1 pro x  1 E(x) = 0,5 D(x) = 1/12

5 Distribuční funkce Distribuční funkce F(x)
popisuje rozložení pravděpodobnosti mezi náhodné jevy pro každý náhodný jev definována náhodná veličina X, která nabývá hodnot x F(x) = P(X ≤ x)

6 F(x) … příklad – hod kostkou
1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6

7 Hustota pravděpodobnosti f(x)
f(x) = dF(x) / dx … derivace spojité distribuční funkce F(x) Pro Rovnoměrné rozdělení R(0,1):

8 Hustota pravděpodobnosti f(x)
f(x) = dF(x) / dx … derivace spojité distribuční funkce F(x) Pro Normální rozdělení N(0,1):

9 Náhodná čísla a náhodné veličiny
Náhodné číslo: R(0,1) Náhodná veličina: R(10;150) N(200;5) EXP(10) … získáme transformací náhodných čísel

10 Generátory náhodných čísel
Tabulky náhodných čísel Mechanické (kostka, mince, losovací zařízení) Fyzikální či chemické (radioaktivní rozpad prvků, šum, …) 4. Aritmetické = výpočet  získáme pseudonáhodná čísla - nejpoužívanější pro počítačovou simulaci

11 1. Tabulky náhodných čísel
Pro výpočty malého rozsahu Po převedení do elektronické podoby z nich může počítač načíst náhodná čísla Příklad:                                     Nevýhoda: i rozsáhlé tabulky jsou pro reálnou simulaci malé

12 2. Mechanické generátory
Nejznámější mezi „generátory“ Kostka, mince, losování, otočné kruhy, … Speciální zařízení pro losování (SAZKA) Nevýhoda: pro počítačovou simulaci nepoužitelné (pomalé)

13 3. Fyzikální a chemické generátory
Využití fyzikálních či chemických pochodů a principů, které mají náhodný charakter Např. interval mezi dopadem částic, šumové generátory využívající vlastností polovodičového přechodu, radioaktivní rozpad atomů, špičky v síti, intervaly mezi stiskem kláves Výhoda: jsou náhodné (TRNG), vhodné pro kryptografické aplikace Nevýhoda: nelze opakovat za stejných podmínek, jsou pomalejší

14 4. Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla)
Metoda středu kvadrátu (von Neumannova metoda prostředních řádů druhé mocniny) Lineární kongruenční generátory A) Aditivní (Fibonacciův) xn+1 = xn + xn-k (mod m) B) Multiplikativní (Lehmerův) xn+1 = axn (mod m) C) Smíšený xn+1 = axn + c (mod m)

15 Vliv nastavení konstant x, c, a, m na periodu P (P ≤ m)

16 Vliv nastaveni konstant x, c, a, m na periodu P (P ≤ m)

17 Vliv nastaveni konstant x, c, a, m na periodu P (P ≤ m)

18 Konkrétní generátory Firemní generátor TEXAS INSTRUMENTS (pro kapesní kalkulačky) xn+1 = 24298xn (mod ) Generátor firmy IBM xn+1 = 65539xn (mod 231) Millerův a Prenticeův generátor xn = xn-2 + xn-3 (mod 3137) Downhamův a Robertsův generátor xn+1 = 8192xn (mod )

19 Příklad – jak z reálných čísel dostat grafy
Otočný kruh : Otočíme-li kruhem např. 10x, dostaneme 10 různých hodnot od 0 do 1 (nulu můžeme dostat, jedničku ne)

20 Příklad – jak z reálných čísel dostat grafy
Aby bylo možné nakreslit histogram, je nutné rozdělit interval 0-1 na podintervaly – např. 0-0,25; 0,25-0,5; 0,5-0,75; 0,75-1.

21 Příklad – jak z reálných čísel dostat grafy