Diferenciální rovnice

Prezentace na téma: "Diferenciální rovnice"— Transkript prezentace:

1 Diferenciální rovnice
Lineární diferenciální rovnice Metoda separace proměnných Metoda substituční Metoda variace konstanty Diferenciální rovnice n- tého řádu - homogenní - s pravou stranou

2 Diferenciální rovnice
Diferenciální rovnice prvního řádu rovnice tvaru : y´= f (x,y) jiný zápis F(x,y,y´) = 0 Def: Říkáme, že funkce y =  (x) definovaná na intervalu J  R je řešením diferenciální rovnice y´= f(x,y), jestliže a) x  J  vlastní ´(x) b) bod [x, (x)]  D(f) c) ´(x) = f (x,  (x))

3 Př. Ukažte, že každá funkce  (x) = C
Př. Ukažte, že každá funkce  (x) = C. e-2x + 1/3ex je řešením diferenciální rovnice y´= ex - 2y na intervalu ( -,). Ukážeme, že fce  má vlastnosti a - c. a)fce  i ´jsou spojité na R pro libovolnou konstantu C. b) pro každé x  R je [x, C. e-2x + 1/3ex] pro libovolnou C c) f (x,  (x)) = ex-2C. e-2x - 2/3ex neboli po úpravě f (x,  (x)) = -2C e-2x + 1/3ex , tedy platí ´(x) = f (x,  (x))

4 Existenční věta f : R2  R je spojitá na JR2 Jednoznačnost řešení Fce  je řešením diferenciální rovnice na intervalu J, pak také fce 1, která je zúžením funkce  na interval J1  J, je řešením diferenciální rovnice. Maximální řešení - není zúžením žádného jiného řešení Graf maximálního řešení - integrální křivka

5 Př. Zakreslete integrální křivky rovnice y´= y/x.
Řešením je a)  = cx pro x  ( -, 0 ) , je-li D(f) = (-, 0 ) x (-, ) b)  = cx pro x  ( 0 , ) , je-li D(f) = ( 0,  ) x (-, ) Integrální křivky: b) a) y y -x x

6 Def. Řešení  rovnice y´= f(x,y) vyhovuje počáteční podmínce y (x0) = y0, jestliže platí  (x0) = y0. tj. integrální křivka prochází bodem[ x0,y0] Úlohu určit takovou fci , aby byla řešení dif. rovnice y´=f(x,y) a splňovala podmínku y (x0) = y0 , nazýváme Cauchyovou úlohou Př. y´= y, poč.podm. y (x0) = y0 řešení rovnice y´= y je  (x) = c . ex CR, xR hledáme řešení  (x0) = c . ex0 = y0 c = y0. e -x0 tedy  (x) = y0. e -x0 . ex = y0. e x-x0

7 řešení Cauchyovy úlohy
Graficky y řešení Cauchyovy úlohy y0 x0 x integrální křivky Pozn. Řešení Cauch. úlohy je jednoznačné, prochází-li bodem [x0,y0] právě jedna integrální křivka Má-li dif. rovnice y´= f(x,y) pouze jednoznačná řešení, nazýváme množinu všech řešení obecným řešením této rovnice Řešení, které splňuje počáteční podmínku, se nazývá partikulární řešení

8 Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu
1) Separace proměnných pro dif. rovnice typu y´= g(x).h(y) …… rovnice se separovanými proměnnými g,h jsou spojité, h(y)  0 Postup: y´= g(x).h(y) F(y) + C1 = G(x) + C2 F(y) = G(x) + C

9 integrální křivku získáme posouváním tangentoidy y = tg x
Př. Najděte všechna řešení rovnice y´= 1 + y2  = tg( x + C) integrální křivku získáme posouváním tangentoidy y = tg x pro poč. podmínku y(x0) = y0 je y0 = tg( x0 + C) arctgy0 = x0 + C C = arctg y0 - x0

10 Př. Najděte všechna řešení rovnice y´= y(y-1)/x x0
volíme-li např. y(1,) a x (0,) ,pak (y-1)/y = Cx y = 1/(1-Cx)

11 Geometrický význam rovnice y´= f(x,y)
- každému bodu [x,y]D(f) přiřadí směrnici tečny int. křivky y = (x), tj rovnice definuje směrové pole v rovině. Nalézt řešení diferenciální rovnice znamená nalézt takovou křivku, aby její tečna v každém bodě měla směr splývající se směrem pole. Př. y´= y y x Izoklina - přímka spojující body stejné směrnice Pozn.: Úloha nalézt k soustavě křivek v rovině soustavu ortogonálních trajektorií ( křivek, které každou křivku protínají pod pravým úhlem)

12 Př. Nalezněte soustavu ortogonálních trajektorií k soustavě kružnic
x2 + ( y -c)2 = c2 c … parametr 2x + 2yy´- 2cy´ = 0 y´( 2y - 2c) = - 2x Dosadíme za y´= -1/y´ Řešením této dif. rovnice je (x-k)2 + y2 = k2 Užití: elektrostatické pole- silokřivky + ekvipotenciální pole = soustava ortogonálních trajektorií

13 2) Metoda substituční a) Rovnice tvaru y´= f(ax + by + c) , a,b,c … konstanty b  0 zavedeme novou funkci z = ax + by + c y = 1/b.( z - ax -c) y´= 1/b.(z´- a) dosadíme do původní funkce 1/b.(z´- a) = f (z) z´= b.f(z) + a dále postupujeme stejně jako při řešení diferenciální rovnice metodou separace proměnných.

14 Př. y´= ( x + y )2 z = x + y z´= 1 + y´ y´= z´- 1 z´- 1 = z2 z´= z2 + 1 Př. y´= ( 4x + y )2 z = 4x + y z´= 4 + y´  y´= z´- 4 po dosazení z´- 4 = z2 z = 2 tg2 ( x + c) 4x + y = 2 tg 2 ( x + c)

15 b) Rovnice homogenní, jenž lze převést na tvar y´= f (x/y)
Pozn. Převést lze homogenní funkce stupně 1, tj. takové, pro které g (tx,ty) = g(x,y) Př. Do tohoto vztahu dosadíme t = 1/x Zvolíme proměnnou z = y/x Dosazením do původní rovnice

16 Př. ( x + y ) dx + x dy = 0 x dy = - ( x + y ) dx z = y/x y´= z´x + z x2 + 2yx = c1

17 Př. Rozklad Dosazením a úpravou
integrálními křivkami je soustava kružnic se středem na ose y

18 Př. y´=cos(y-x) substituce z = y-x
z´= y´-1  y´= z´+ 1 dosazením z´+ 1 = cos z

19 3) Metoda variace konstanty
tvar rovnice y´= p(x)y + g(x) postup řešení: a) řešíme rovnici homogenní y´= p(x) .y separací proměnných b) dosadíme do původní rovnice derivaci řešení

20 c) výsledek dosadíme do řešení homog.rovnice
Př.

21 Př.Řešte rovnici y´= xy + x3
a) homogenní rovnice y´= xy b) řešení homog. rovnice zderivujeme c) dosadíme do rovnice s pravou stranou

22 d) rovnici integrujeme
u=x2 u´=2x e) dosadíme do řešení homog.rovnice

23 Př. y´= 2x(x2 + y) y´- 2xy = 0 substitucí t = -x2 a per partes

24 Př.

25 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
a) s konstantními koeficienty - homogenní rovnice tvaru y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) +…+ an-1y´+any=0, kde a1,a2,…an jsou reálné konstanty. Tvrzení: Jsou-li y,z řešení homogenní diferenciální rovnice, je libovolná jejich lineární kombinace y +z též řešením dif.rovnice. Tj.množina řešení tvoří lineární prostor. Každá n-tice y1,y2,…yn lin.nez. řešení ( baze tohoto prostoru) se nazývá fundamentální systém řešení příslušné rovnice.

26 Obecné řešení má tvar y = c1y1 + c2y2 + …cnyn,
kde c1,c2,…cn jsou libovolné konstanty. Charakteristická rovnice diferenciální rovnice L(y)=0 je rovnice tvaru n + a1n-1+…+an-1+ an = 0 , kde  je neznámá Výpočet fundamentálního systému: a) Spočteme všechny kořeny charakteristické rovnice b) Je-li  k - násobný reálný kořen charakteristické rovnice, utvoříme k lin.nez. funkcí tvaru e x, xe x , x2 ex, …, xk-1e x

27 c) Je-li  =  + i nebo  =  - i p násobný komplexní kořen charakteristické rovnice, utvoříme 2p lin.nez. funkcí tvaru ex cosx, x excosx, …, xp-1excosx ex sinx, x exsinx, …, xp-1exsinx d) Hledaný fundamentální systém je taková množina funkcí, kdy v bodech b),c) volíme za  postupně všechny kořeny charakteristické rovnice. Př. Vypočtěte obecné řešení rovnice y´´´-3y´´ + 4y´- 2y = 0. Charakteristická rovnice 3 - 3 2 +4-2=0 Kořeny: ( -1) (  + 2) = 0 1 = 1 2 = 1+i, 3 = 1-i

28 Fundamentální systém: 1  e 1x
2  ex cosx, ex sinx, (e x ,ex cosx, ex sinx) Obecné řešení y = c1e x + c2ex cosx+ c3 ex sinx Př. Určete obecné řešení rovnice y´´ - 8y´+ 16y = 0 Charakteristická rovnice 2 - 8 + 16 = 0 1,2 = 4 ….. kořen dvojnásobný reálný Obecné řešení y = c1. e 4x + c2 . x . e 4x

29 Př. Řešte rovnici y´´´- 8y = 0 s poč . podm. y(0) = 0, y´(0)=6, y´´(0)=0 3 - 8 = 0 1 = 2 2 = -1 + i 3 3 = -1 - i 3 y = c1 e2x + c2 e-x.cos(3x) + c3e -x . sin (3x) y´ =c1 2e2x + c2 e-x.(-1)cos(3x) -c2 e-x 3 sin(3x) + c3e -x .(-1) sin (3x)+ +c3e -x .3 cos (3x) y´´ = c1 4e2x + c2 e-x.cos(3x) +c2 e-x 3sin(3x) - -(c2e-x 3 sin(3x)(-1) + c2 e-x 3 cos(3x)) + c3e -x sin (3x)+ c3e -x .(-1)  3cos (3x)+ c3e -x (-1).3 cos (3x)- c3e -x .3 sin (3x) y(0) = c1 + c2=0 y´(0)=2c1-c2 + 3 c3=6 y´´(0) = 4c1 + c2 -3c2-  3c3-  3c3=0

30 Řešením soustavy tří lin. rovnic o třech neznámých dostáváme:
c1 = 1, c2 = -1 , c3 = 3 Obecné řešení: y = e2x - e-x.cos(x 3) + 3 e-x.sin(x 3) Př. Řešte dif. rovnici čtvrtého řádu y(IV) - 16y = 0  = 0 (2 - 4)(2 +4) = 0 1 = 2, 2 = -2, 3 = 2i, 4 = -2i y = c1 e2x + c2e-2x + c3 sin2x + c4cos2x

31 Lineární diferenciální rovnice n - tého řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou
rovnice tvaru y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) +…+ an-1y´+any= b Metoda pro speciální pravé strany a) b = P(x) e 0x b) b = P1(x) e 0xcos0x + P2(x) e 0xcos0x Partikulární řešení existuje ve tvaru a) xk Q(x)e0x kde k je násobnost  jako kořene charakteristické rovnice Q je polynom, který má stupeň menší nebo roven jako P

32 b) xk Q1(x) e 0xcos0x + Q2(x) e 0xcos0x
kde 0 +0i je k násobný kořen charakteristické rovnice Q1,Q2 polynomy, jejichž stupeň je menší nebo roven P1,P2 Obecné řešení je dáno součtem obecného řešení s nulovou pravou stranou a partikulárního řešení. Př. Najděte řešení rovnice y´´ - y´= 1s poč podm.y(0)=2,y´(0)=0 ch.r. 2-=1 1 = 1 2 = 0 obecné řeš. yH= c1ex +c2 pravá strana b = 1 …… polynom P je stupně 0 jiný zápis b = (e0sin0x + e0cos0x) , 0 = 0  yp = x.Q(x)e0x=xa

33 Celkové řešení y = yH + yp y = c1ex + c2 + ax Výpočet konstanty
yp = ax y´p = a y´´p =0 Dosazení do původní rovnice 0 - a = 1 a = -1 tedy yp= -x y = c1ex + c2 - x Dosazení počátečních podmínek y(0) = c1 + c2 = 2 y´(0) = c1 -1 = 0 c1 = c2 = 1 Řešení vyhovující podmínce y = ex x

34 Př. Řešte úlohu y´´ + y = x sin x
ch.r. 2 + 1 = 0 1 = i 2 = -i řešení homog. rovnice yH = c1 cosx + c2 sin x pravá strana b = x sin x ….. polynom stupně 1 a 0 ….. 0 = 0, 0 = 1 partikulární řešení yp =( ax + b)x cosx + ( cx + d) x sinx řešení konstant yp = ( ax2 + bx) cosx + ( cx2 + dx) sinx y´p= (2ax + b+cx2 + dx) cos x + ( -ax2 - bx+ 2cx + d) sinx y´´p =(2a+2cx +d+2cx+d-ax2-bx)cosx + (- 2ax - b + 2c-2ax-b-cx2-dx)sinx

35 Po dosazení do původní rovnice a vypočtení konstant
c = 0, b = 0, a = - 1/4, d = 1/4 yp = -1/4 x2 cos x + 1/4 x sinx Obecné řešení y = yp + yH = -1/4 x2 cos x + 1/4 x sinx + c1 cos x + c2 sinx Př. y´´ + 3y´+ 2y = x2 ch.r. 2 + 3 + 2 = 0 1 = -2 2 = -1 yH = c1e-x + c2e-2x pravá strana: polynom st. 2, 0 = 0, k = 0 yp = ax2 + bx + c y´p= 2ax + b y´´p= 2a Dosazením a = 1/2, b = -3/2, c= 7/4  y = c1e-x + c2e-2x + 1/2x2 - 3/2x + 7/4

36 Některé další metody řešení diferenciálních rovnic vyšších řádů
a) Tvar rovnice y(n) = f(x) postupná integrace Př. y´´´= x + 2

37 b) snížením řádu diferenciální rovnice
Tvar rovnice F(x,y(k),y(k+1),…y(n)) = 0 substituce tvaru p = y´ Př. xy(IV) + y´´´=0 p = y´´´ xp´+ p =0 Řešíme separací proměnných Po dosazení do rovnice y´´´=c/x, dostáváme výsledek postupnou integrací

38 y´´=c1lnx + c2 y´= c1( lnx - x) + c2x + c3 y = c1x2(1/2lnx - 3/4) + c2 x2/2 + c3x + c4