Data s diskrétním rozdělením

Prezentace na téma: "Data s diskrétním rozdělením"— Transkript prezentace:

1 Data s diskrétním rozdělením
Poissonovo a binomické rozdělení

2 Co je diskrétní rozdělení
Proměnná s diskrétním rozdělením může nabývat jen určitých hodnot, nejčastěji celá nezáporná čísla Nejběžněji užívanými typy diskrétního rozdělení jsou Poissonovo („počet něčeho“) a binomické („počet něčeho z celkového počtu“, podíl – pravděpodobnost) Další: negativně binomické a Neymannovo

3 Poissonovo rozdělení 1 X = 32 N = 9 p = l = Hrníčková metoda: mám mnoho hrníčků, házím do nich kuličkami, pokaždé se do nějakého trefím . Každý hod je nezávislý na předchozích, všechny hrníčky mají pravděpodobnost zásahu stejnou (p). Pokud mám X hrníčků a N kuliček, je p=1/X a průměrný počet kuliček v hrníčku je p*N, čili i N/X, označuje se l.

4 Poissonovo rozdělení 2 Střední („průměrná“) hodnota je l
Variance tohoto rozdělení je také l S rostoucí hodnotu l se Poissonovo rozdělení přibližuje normálnímu (Gaussovu) Odmocněním (alternativně logaritmickou transformací) přiblížím distribuci normální a stabilizuji varianci (neporoste s průměrem) Generalized linear models (GLM)

5 Poissonovo rozdělení: zjišťování náhodnosti rozmístění
Jsou květenství rozmístěna náhodně? Umístím přes plochu čtverce (náhodně na část nebo pravidelnou síť) Spočítám průměr a varianci: pro náhodné rozmístění budou mít počty ve čtvercích Poissonovo rozdělení, průměr rovný varianci

6 Náhodnost rozmístění 2 Shlukovitá distribuce: pokud najdu ve čtverci jedno individuum, zvyšuje to pravděpodobnost, že najdu další Náhodné rozmístění: pokud najdu ve čtverci individuum, nemění to pravděpodobnost nalezení dalšího Pravidelné rozmístění: pokud najdu ve čtverci individuum, snižuje to pravděpodobnost, že najdu další

7 Náhodnost rozmístění 3 Poměr variance k průměru (počty jedinců) je charakteristikou povahy rozmístění Lloydův index Test shody s Poissonovým rozdělením. Veličina má pro Poissonovo rozdělení přibližně c2 rozdělení s n-1 stupni volnosti

8 Binomické rozdělení Hrníčková metoda: mám mnoho hrníčků, do každého zvlášť házím n kuličkami (například 5), pokaždé se ale netrefím . Každý hod je nezávislý na předchozích, při každém mám pravděpodobnost zásahu p, nezávislou na pokusu a hrníčku. Binomické rozdělení mají počty úspěchů (zásahů) – tj. počet kuliček v jednotlivých hrníčcích, ale nejčastěji se pracuje s p. Pravděpodbnost neúspěchu q = 1 - p

9 Binomické rozdělení 2 Se zvyšujícím se n se přibližuje normálnímu
Pro dané n je nejblíže normálnímu rozdělení pro p = q = 0.5

10 Použití binomického rozdělení 1
Máme n pokusů:100 náhodně vybraných jablek k odhadu procenta červivých (např. X=15), 250 občanů k odhadu procenta volební preference strany XYZ ... Odhad podílu je jednoduchý Variance tohoto odhadu je ... ale my neznáme p, jen jeho odhad, takže odhad variance je

11 Použití binomického rozdělení 2
Pak můžeme odhadnout konfidenční interval aproximací („jako by šlo o“) normálním rozdělením Z(1 - /2) je (1-/2)*100-procentní kvantil normovaného normálního rozdělení Pokud nejsou uvedená omezení dodržena, interval často bude vybočovat mimo rozsah 0 až 1.

12 Použití binomického rozdělení 3
Mimo rozsah „normální aproximace“ lze užít kde F je (1-a/2)*100-procentní kvantil se stupni volnosti n1=2(n-X+1) a n2=2X a tady jsou stupně volnosti n’1=2(X+1) a n’2=2(n-X)

13 Použití binomického rozdělení 4
Přesnost odhadu p stoupá s n Počet pozorování, která potřebujeme k tomu, aby byla střední chyba odhadu zhruba w je: Příklad: očekáváme, že v populaci je asi 20% jedinců s určitou vlastností a chceme jejich zastoupení určit se střední chybou 1%. K tomu potřebujeme z populace náhodně vybrat n = (0.2 * 0.8) / = 1600 jedinců