Pre-algebra Antonín Jančařík.

Prezentace na téma: "Pre-algebra Antonín Jančařík."— Transkript prezentace:

1 Pre-algebra Antonín Jančařík

2 Důkazy Důkazy jsou matematice tím, čím je hláskování (či dokonce písmo) poezii. Matematické práce se skládají z důkazů, stejně jako se básně skládají z písmen. Vladimír Arnold

3 Důkaz Důkazy odlišují matematiku od všech ostatních věd.
Matematika nepřipouští žádný postup založený na názoru, experimentu, intuici či zkušenosti. Změna axiomů nemění pravdivost matematických vět.

4 Důkaz v logice Důkazem výrové formule A nazveme konečnou posloupnost A1,…,An, jestliže pro každé i menší nebo rovné než n je Ai buď závěr odvozovacího pravidla, jehož předpoklady jsou mezi A1 a Ai-1, nebo axiom a A= An. Jestliže existuje důkaz výrokové formule A, říkáme o této formuli, že je dokazatelná.

5 Deduktivní dokazování
Deduktivní důkaz je takový, v němž je dané tvrzení dokázáno ze stanovených předpokladů pouze na základě logických úvah. Tyto logické úvahy jsou rozděleny do konečně mnoha kroků, z nichž v každém je odvozeno pouze jediné tvrzení bezprostředně vyplývající z dříve odvozených. Všechny matematické důkazy mají deduktivní charakter, i když někdy nejsou natolik podrobné, jako formální důkazy v logice.

6 Egypt a Babylónie Ačkoli byla v době Egypta a Babylónie velmi rozvitá matematické kultura, nedochovali se nám z těchto dob žádné důkazy v pravém slova smyslu. Přesto pravděpodobně existovaly v této době myšlenkové postupy, které odůvodňovaly správnost prováděných výpočtů.

7 Čína V Číně 5. až 3. století př. n. l. se kromě praktické matematiky rozvíjela také logika. Té se věnovala zejména škola následníků filosofa Mo Tiho, jejíž příslušníci se zabývali teorií poznání a svá tvrzení logicky dokazovali. Jedním z nejvýznamnějších následníků Mo Tiho byl Kung-sun Lung žijící v první polovině třetího století před naším letopočtem. Za vlády dynastie Chan bylo Mo Tiho učení zcela vytlačeno konfucianismem a pozdější čínští filosofové se k němu již nikdy nevrátili.

8 Řecko Důkaz v dnešním pojetí byl ovlivněn především Platónovou filosofií. Řečtí geometři se snažili se odkrývat svět geometrických idejí a nazírat pravdu v něm obsaženou. V tomto pojetí matematický důkaz v dnešním smyslu slova ještě neexistoval. Jedinou možností, jak s naprostou jistotou zjistit pravdu o geometrickém světě, bylo tuto pravdu přímo nazírat – evidovat ji.

9 Platón Platón (řecky Πλάτων, 427 př. n. l. – 347 př. n. l.), vlastním jménem Aristoklés. Řecký aristokrat, matematik a jeden z nejvýznamnějších západních filosofů. rozdíl mezi pravým poznáním a pouhým míněním; ctnost a možnost výchovy ke ctnosti; spravedlivé a přitom trvalé uspořádání obce; dobro jako konečný cíl člověka i obce.

10 Euklides Eukleidés též Euklides nebo Euklid (řecky Εὐκλείδης, žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l) Řecký matematik a geometr. Většinu života strávil v Alexandrii v Egyptě.

11 Základy 1. kniha: pojednání o základech geometrie, rovnoběžkách, trojúhelnících a rovnoběžnících, důkaz Pythagorovy věty 2. kniha: pojednání o planimetrii 3. kniha: pojednání o kružnici a kruhu 4. kniha: pojednání o tětivových a tečnových mnohoúhelnících a kružnici vepsané a opsané 5. kniha: pojednání o poměrech 6. kniha: pojednání o geometrické podobnosti 7. kniha: pojednání o teorii čísel, 8. kniha: pokračování pojednání o teorii čísel 9. kniha: teorie čísel - prvočísla, důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho 10. kniha: teorie iracionálních čísel. 11. kniha: stereometrie- pojednání o geometrii těles 12. kniha: pojednání o povrchu a objemu těles 13. kniha: pojednání o pravidelných (Platonských) tělesech

12 Postuláty Základy začínají definicemi, například:
Bod je to, co nemá části. Úsečka je délka bez šířky. Konce úsečky jsou body. Následují „obecné pojmy“, jež se netýkají pouze geometrie: Věci rovné jedné a téže věci jsou rovné i sobě navzájem. Když se k rovným přidá stejné, jsou i součty stejné. Úsečku lze bez omezení prodloužit. Celek je větší než jeho část. Vlastních postulátů je pět: Každými dvěma body lze vést úsečku. Tuto úsečku lze libovolně prodloužit. Každou úsečkou lze opsat kružnici kolem jednoho jejího konce. Všechny pravé úhly jsou si rovny. Mějme přímku a bod. Tímto bodem lze vést jen jednu rovnoběžku s danou přímkou.

13 Římská říše Římská matematika nebyla nikdy rozvinutá a pouze využívala to, co převzala od Řeků. Římská společnost uznávala pouze tu část matematiky, která se hodila pro aplikace ve stavitelství a vojenství. Zájem o čistou matematiku včetně pojmu matematického důkazu byl v podstatě nulový. Římská říše tak představuje začátek evropského úpadku.

14 Středověk V raném středověku prožívala matematika období temna.
Řecké pojetí matematiky a důkazu bylo dále provozováno pouze v Byzantské říši. Zde se s tímto pojetím seznamovali Arabové (značný vliv na arabskou matematiku měla i matematika indická).

15 Arabská matematika V plné síle se arabská matematika projevila v Al-Chorezmího díle Hisáb al-džabr wa-l-muqábala (حساب الجبر و المقابلة‎) v němž byly položeny základy algebry a s tím souvisejícího nového druhu matematického důkazu – důkazu výpočtem. Tento nový druh důkazu byl používán také později italskými renesančními matematiky při hledání obecných řešení algebraických rovnic.

16 Novověk Pro pojetí matematického důkazu v Evropě v období od 16. do první poloviny 19. století je podstatný pojem oboru, na němž byla tehdejší matematika založena. Obor je vymezení jisté třídy uskutečnitelných objektů takové, že o každém objektu lze rozhodnout (alespoň teoreticky), zda do tohoto oboru patří či nikoli.

17 Bernard Bolzano 1781 – 1848 Významný německy hovořící český matematik, kněz a filozof. Nahrazení oborů trvale existujícími seskupeními objektů – budoucími množinami.

18 Nekonstruktivní (existenční) důkaz
Protože objekty trvale existují, není nutné je konstruovat, ale stačí ukázat jejich existenci. Příkladem použití nekonstruktivního důkazu je Cantorův důkaz existence transcendentních čísel. Algebraických čísel je pouze spočetně mnoho (lze je očíslovat přirozenými čísly), zatímco všech reálných čísel je nespočetně mnoho (nelze je očíslovat). Proto musí alespoň jedno transcendentní číslo existovat. Z tohoto důkazu není však vůbec jasné, jak nějaké transcendentní číslo najít.

19 Neuskutečnitelnost sporného
Dodejme, že již někteří dřívější filosofové a teologové (Giordano Bruno, Rodrigo de Arriaga) zdůvodňovali užitím předpokladu Boží existence, že objekty, které nejsou vzájemně v logickém sporu již musí být uskutečnitelné (a to v Boží mysli). Toto tvrzení, které je obrácením klasické Aristotelovy poučky o neuskutečnitelnosti sporného, se později v matematice ujalo. 16. století

20 Vznik formálního důkazu
V důsledku Bolzanovy práce se do oblasti zkoumání matematiky dostaly i takové objekty, jejichž existence je sice dokazatelná, ale není je možné nijak zkonstruovat. Spojitá funkce, která nemá v žádném svém bodě derivaci. Peanova křivka, což je prostá spojitá křivka definovaná na intervalu (0,1), jejíž obraz vyplňuje celý čtverec (0,1) × (0,1). funkce z reálných do reálných čísel, která na každém intervalu nabývá všech reálných hodnot.

21 Selhání intuice Odvracím se s děsem a hrůzou od této politováníhodné záplavy spojitých funkcí bez derivace. Charles Hermite

22 II. Krize matematiky Geometrický názor a intuice se dostaly do sporu s dokazatelnými tvrzeními. Proto, aby se zabránilo spornosti celé matematiky, bylo nezbytné odmítnout intuici a názor jako důkazové prostředky. Tímto pevným základem se stala axiomatická metoda a epsilon delta aritmetika.

23 III. Krize v matematice Podle Gödelových vět o neúplnosti existují v každé dostatečně složité (natolik, aby v ní šlo hovořit o přirozených číslech) matematické teorii, jejíž axiomy lze efektivně vypsat, tvrzení, která v této teorii nelze ani dokázat ani vyvrátit (teorie je takzvaně neúplná). Mezi takové teorie patří například Peanova aritmetika nebo Zermelo-Fraenkelova teorie množin.

24 Přímý důkaz Přímý důkaz je postup, při kterém je dokazované tvrzení odvozeno přímou aplikací definic, předpokladů a dříve dokázaných tvrzení, jinak řečeno je odvozeno metodou „jestliže… pak…“ či „…tedy…“.

25 Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz je metoda sloužící k prokazování tvrzení typu „jestliže A, pak B“, při které se prokáže „jestliže ne B, pak ne A“. Má úzký vztah k důkazu sporem – každý nepřímý důkaz může být snadno převeden na důkaz sporem.

26 Důkaz sporem Důkaz sporem (lat. reductio ad absurdum) se zakládá na použití chybného předpokladu, který je posléze doveden ke sporu (je z něj odvozeno zjevně nepravdivé tvrzení). Stane-li se tak, je prokázána neplatnost daného předpokladu a tedy platnost jeho opaku.

27 Důkaz indukcí Důkaz indukcí spočívá v prokázání nějakého tvrzení typu „pro všechny objekty jisté třídy platí…“ způsobem, při němž se objekty dané třídy rozdělí do několika (většinou nekonečně mnoha) podtříd, které se uspořádají do posloupnosti a ukáže se o nich: (první krok) Pro všechny objekty z první podtřídy platí… (indukční krok) Jestliže platí … pro všechny objekty z předcházejících podtříd, pak platí… i pro všechny objekty z podtřídy bezprostředně za nimi následující.

28 Geometrický důkaz Geometrický důkaz je takový důkaz, který využívá metod geometrie. Jeho názornost je značnou měrou dána možností geometrické představy, přesný geometrický důkaz však nesmí být na takovémto názoru založen. Geometrické důkazy jsou nejčastěji využívány v samotné geometrii, ale velmi často také v matematické analýze a teorii čísel.

29 Důkaz výpočtem Důkaz výpočtem slouží k prokázání tvrzení, která jsou tvaru rovnosti, nerovnosti či nějaké soustavy předchozích dvou. K požadovanému výsledku se dospívá z předpokladů výpočtem, tj. opakovanou aplikací základních aritmetických a algebraických pravidel a různých odhadů. V současné době se důkaz výpočtem nejvíce uplatňuje v matematické analýze, lineární algebře, teorii pravděpodobnosti, numerické matematice a příbuzných oborech, kde tento postup tvoří hlavní část důkazů mnoha tvrzení. Je však v menší míře užíván snad ve všech matematických disciplínách s výjimkou geometrie.