Poskytuje daný generátor opravdu posloupnost náhodných čísel?

Prezentace na téma: "Poskytuje daný generátor opravdu posloupnost náhodných čísel?"— Transkript prezentace:

1 Testy náhodnosti, metody transformace náhodných čísel na hodnoty náhodných veličin

2 Poskytuje daný generátor opravdu posloupnost náhodných čísel?
To je nutno testovat! K tomuto účelu se používají tzv. empirické testy náhodnosti, které hodnotí vlastnosti vygenerované posloupnosti, nebo testy teoretické, vycházející z teorie čísel. Testů bylo navrženo několik, žádný test nám ovšem nedává definitivní jistotu. Úspěšnost v několika testech zvyšuje důvěru v náhodnost čísel. Čísla generovaná počítačem jsou tedy prohlášena za náhodná, jestliže testy nemohou odhalit rozdíl mezi čísly získané aritmetickým generátorem a skutečně náhodnou posloupností.

3 Testy náhodnosti Slouží k ověření, že náhodná čísla jsou skutečně náhodná, tj. mají rovnoměrné rozdělení na intervalu (0;1) Frekvenční test Poker test Test autokorelace

4 1. Frekvenční test Test je využíván k testování rovnoměrnosti rozdělení náhodných čísel. Interval (0,1) rozdělíme na k intervalů (pozn. intervaly nemusejí být stejné délky). Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu (a,b) je rovna rozdílu b-a. Nulová hypotéza předpokládá shodu očekávaných a skutečných četností v jednotlivých intervalech. Nejpoužívanějším testem je chí-kvadrát test dobré shody.

5 Frekvenční test (pokračování)
Hodnota chí-kvadrát pro k intervalů se vypočítá podle vzorce: kde oj je očekávaná četnost v intervalu j, ej je empirická četnost v intervalu j. Vypočtená hodnota se porovná s kritickou hodnotou s k-1 stupni volnosti pro zvolenou hladinu statistické významnosti. Při překročení kritické hodnoty zamítneme na určené hladině významnosti nulovou hypotézu o rovnoměrném rozdělení souboru náhodných čísel.

6 2. Poker test Testuje četnost výskytu různých číslic ve vygenerovaných náhodných číslech Varianta Název Pravděpodobnost a b c d e Všechny různé 0,3024 a a b c d Jedna dvojka 0,5040 a a b b c Dvě dvojky 0,1080 a a a b c Trojka 0,0720 a a a b b Dvojka a trojka 0,0090 a a a a b Čtyřka (poker) 0,0045 a a a a a Pětka 0,0001

7 3. Test autokorelace K ověření existence či neexistence vazeb mezi prvky posloupnosti náhodných čísel r1, r2, …, rN

8 Metody transformace náhodných čísel na hodnoty náhodných veličin
Vygenerujeme náhodné číslo z intervalu (0;1), to pak transformujeme pomocí vhodné metody na náhodnou veličinu zvoleného rozdělení (rovnoměrného, normálního, …) Metoda inverzní transformace Zamítací metoda Kompoziční metoda

9 A. Metoda inverzní transformace
Předpokládá, že existuje rostoucí distribuční funkce F(x) pro náhodnou veličinu X a také funkce k ní inverzní F-1(x) Pokud je hodnota x náhodné veličiny X z intervalu (a,b) a náhodné číslo r(0;1), pak mezi nimi existuje vzájemně jednoznačné přiřazení. r = F(x)  x = F-1(r)

10 B. Zamítací metoda Hustota pravděpodobnosti f(x) je ohraničena v intervalu (a,b) Existuje číslo c takové, že f(x) ≤ c Generujeme body [x;y], x(a,b), y(0,c) Pokud je y > f(x), generujeme znovu, jinak je x generovaná hodnota z požadovaného rozdělení

11 C. Kompoziční metoda Skládá „špatně generovatelné“ či složité rozdělení z rozdělení jednodušších Pokud je fi(x) hustota pravděpodobnosti dobře generovatelného rozdělení a pi náhodně nagenerované číslo pro i-tý výběr, pak hustota pravděpodobnosti složitého rozdělení f(x):