Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞)

Prezentace na téma: "Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞)"— Transkript prezentace:

1 Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f je rostoucí na svém definičním oboru, f ( + ∞ ) = + ∞ , f ( - ∞ ) = 0 f (0) = e 0 = 1 e = 2, 78…. Eulerova konstanta y = f ( x ) = e - x = 1 / e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f klesající na svém definičním oboru, f ( + ∞ ) = 0, f ( - ∞ ) = + ∞ f (0) = e 0 = 1 e = 2, 78…. Eulerova konstanta

2 Funkce logaritmus. y = f ( x ) = log ( x ) D ( f ) = (0, +∞) R ( f ) = R f je rostoucí na svém definičním oboru, f ( x ) ∞ , pro x ∞ f ( x ) ∞ , pro x f (1) = log 1 = 0

3 Funkce obecná mocnina = mocninná funkce.
y = f ( x ) = a x , a > 0 a x = e x log a D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f je rostoucí na svém definičním oboru pro a > 1, f je klesající na svém definičním oboru pro a < 1 f (0) = a 0 = 1 y = f ( x ) = a - x = 1 / a x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f klesající na svém definičním oboru pro a > 1, f rostoucí na svém definičním oboru pro a < 1 f (0) = 1/a 0 = 1 Inverzní funkcí k funkci y = a x , a > 0, a  1, je funkce logaritmus při základu a y = log a x Speciálně: Dekadický logaritmus y = log 10 x přirozený logaritmus y = log e x Budeme-li hovořit o logaritmu, budeme VŽDY myslet přirozený logaritmus a budeme ho značit log.

4 Pravidla pro počítání s logaritmy a mocninami.
Příklady. nebo

5 Příklady. e(0.5x+1) ex Posun po ose x v exponentu má multiplikativní účinek Na funkční hodnotu. Graf je symetrický podle osy y.

6 Příklady. Srovnání exponenciely a polynomů. Tečna k exponenciele. Pro x  0 platí neboli neboli

7 Příklady. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je N(t), t ≥ 0 a že platí: Víme, že N(0) = 100 a N(10) = 1 Vypočtěte a.

8 Periodické funkce – goniometrické funkce.
Funkce f se nazývá periodická s periodou T, jestliže když x  D( f ), pak x + T  D( f ) f ( x ) = f ( x + T ) Funkce y = f ( x ) = sin x. D ( f ) = R R ( f ) = <-1, 1> f je periodická na svém definičním oboru s periodou 2p, f (0) = 0

9 Funkce y = f ( x ) = cos x. D ( f ) = R R ( f ) = <-1, 1> f je periodická na svém definičním oboru s periodou 2p, f (0) = 1

10 Funkce y = f ( x ) = tg x = sin x / cos x.
D ( f ) = R \ {(2k + 1) p/2, k  Z } R ( f ) = (- ∞, + ∞ ) f je periodická na svém definičním oboru s periodou p, f (0) = 0 Na intervalech ((2k - 1) p/2, (2k + 1) p/2) je funkce rostoucí

11 Funkce y = f ( x ) = cotg x = cos x / sin x.
D ( f ) = R \ {kp, k  Z } R ( f ) = (- ∞, + ∞ ) f je periodická na svém definičním oboru s periodou p, f (p / 2) = 0 Na intervalech (-kp, kp) je funkce klesající

12 + - + - Pravidla pro počítání s goniometrickými funkcemi. sin [0, 1]
cos - [-1, 0] [0, 0] [1, 0] + p 0, 2p - [0, -1] 3p/2

13 Cyklometrické funkce. arcsin x je inverzní funkce k funkci sinus na intervalu (- p/2, p/2 ). D(arcsin) = (-1, 1) R(arcsin) = (- p/2, p/2 ). arccos x je inverzní funkce k funkci cosinus na intervalu (0, p ). D(arccos) = (-1, 1) R(arccos) = (0, p). arctg x je inverzní funkce k funkci tangens na intervalu (- p/2, p/2 ). D(arctg) = (- ∞, + ∞) R(arctg) = (- p/2, p/2) arccotg x je inverzní funkce k funkci tangens na intervalu (0, p ). D(arccotg) = (- ∞, + ∞) R(arccotg) = (0, p ).

14 arcsin (x) sin (x) arccos (x) cos (x)

15 tg (x) arctg (x) Pro x  0 je arctg (x)  x

16 Pro x  0 je sin (x )  x

17 Příklady. 1. Určete periodu funkce, posunutí po osách, obor hodnot a hodnotu v bodě 0. Pak graf funkce nakreslete. Posun o p/2 po ose x do kladných hodnot. R( f ) = <-2, 6> 0 < 2x – p < 2p určuje základní periodu funkce cosinus. Odtud p/2 < x < 3p/2. Perioda je tedy p. Pro x = 0 je y = 4 cos(-p) + 2 = -2. perioda 

18 2. Poločas rozpadu C14 je 5730 let. Proces rozpadu se řídí funkcí
Určete l. 3. Víme, že povrch krychle S závisí na délce hrany krychle L (S = aL2) a objem krychle V závisí na délce hrany L (V = bL3). Určete zvislost mezi S a V. Položme Pak