Fibonacciho posloupnost

Prezentace na téma: "Fibonacciho posloupnost"— Transkript prezentace:

1 Fibonacciho posloupnost
Jakub Töpfer Pavel Zbytovský

2

3 Rekurentní vzorec První členy 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946, 17711,28657,46368,75025,121393, ,317811,514229,832040, , , , , , , ,

4 Vzorec pro n-tý člen lze odvodit například pomocí vytvořujících funkcí
v praxi se pro výpočet používá spíše vyjádření pomocí matic (přesné)

5 Zlatý řez Poměr, pro který platí Jiná vyjádření
Platí také zajímavý vztah

6 Souvislost se zlatým řezem
Podíl F(n+1) / F(n) konverguje ke zlatému řezu 1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666...; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1, Vzorec pro n-tý člen lze upravit

7 Vlastnosti

8 Vlastnosti II. Dělitelnost 11

9 Vlastnosti III. Číslo N je Fibonacciho právě když je 5N2 + 4 nebo 5N2 - 4 úplný čtverec Každé přirozené číslo n lze právě jedním způsobem zapsat jako součet

10 Vlastnosti IV.

11 Pythagorejské trojúhelníky
Zvolme libovolné čtyři po sobě jdoucí Fibonacciho čísla: a, b, c = a+b, d = a+2b Pak existuje Pythagorejský trojúhelník s odvěsnami 2bc, ad a přeponou b2+c2 Příklad: 1, 2, 3, 5. Odvěsny budou 2*2*3 = 12 a 1*5 = 5, přepona 4+9 = 13

12 Výskyt v přírodě

13 Výskyt v přírodě

14 Výskyt v přírodě

15 Fylotaxe Pravidelné uspořádání semen nebo šupin tvořící spirály po a proti směru hodinových ručiček. Počet spirál jdoucích po a proti směru hodinových ručiček jsou často dvě po sobě jdoucí Fibonacciho čísla.

16

17

18

19

20 Pozorujeme, kolik listů je v jednotlivých patrech
patro končí listem 1. 3 2. 5 3. 8

21 Příklady Mějme chodbu ve tvaru obdélníka 2 x n. Kolika způsoby ji lze vydláždit pomocí dlaždic o rozměrech 2 x 1? Kolika způsoby můžeme vyjít schodiště dlouhé n schodů, pokud vynecháváme vždy maximálně jeden schod? Mějme v řadě Ž židlí. Na každé židli může sedět buď učitel nebo student. Žádní dva učitelé ale nechtějí sedět vedle sebe. Kolika způsoby můžeme lidi usadit? (Máme k dispozici libovolný počet studentů i učitelů.)

22 Příklady II. Mějme opět řadu Ž židlí. Kolika způsoby ji můžeme zaplnit pomocí párů (dva lidé vedle sebe)? Některé židle mohou zůstat volné. Představme si, že do automatu je možné házet pouze 1Kč a 2Kč mince. Kolika způsoby můžeme zaplatit částku Č Kč? (Rozlišujeme pořadí mincí.)

23 Zdroje informací http://mks.mff.cuni.cz/
index.asp Lenka Zdebová: Květ slunečnice a Fibonacciova čísla, Rozhledy matematicko-fyzikální, ročník 82, číslo 1