Analýza kvantitativních dat II.

Prezentace na téma: "Analýza kvantitativních dat II."— Transkript prezentace:

1 Analýza kvantitativních dat II.
UK FHS Historická sociologie (LS 2012+) Analýza kvantitativních dat II. Standardní chyba a interval spolehlivosti (1.) – úvod do principů inferenční statistiky, SE a CI pro numerické/ kardinální proměnné (průměr) Jiří Šafr jiri.safr(AT)seznam.cz Poslední aktualizace 29/11/2014 ® Jiří Šafr, 2014

2 Obsah Logika měření ve výběrových šetřeních: chyby měření
Principy inferenční statistiky a intervalového odhadu Co předchází výpočtu intervalu spolehlivosti: 1. Standardní (směrodatná) chyba K čemu je standardní chyba (SE)? SE pro kardinální znaky (průměr) a pro nominální (p resp. %) 2. koeficient spolehlivosti (z-values) - krátký exkurz do normálního rozložení a teorie pravděpodobnosti Využití CfI Výpočet CfI pro kvalitativní – nominální proměnnou (tj. pro %) (Ne)možnosti výpočtu CfI v SPSS a alternativy Simultánní intervaly spolehlivosti Standardní chyba a intervaly spolehlivosti pro další parametry (korelační koeficient, medián, rozdíl podílů)

3 Chyby měření Při interpretaci a analýze výsledků z výběrových dat je třeba mít neustále na paměti, že vznikly zpracováním dat získaných z výběrového šetření (populace→vzorek). → všechny (publikované) údaje jsou pouze odhady zatížené určitou chybou a nikoliv přesná čísla. Tato chyba má dvě složky: výběrovou a nevýběrovou.

4 Nevýběrová chyba vyskytuje se u všech zjišťování (tedy i u vyčerpávajících – cenzovních šetření) Vzniká z důvodu: špatné práce v případné fázi výzkumu (konceptualizace, operacionalizace) neochotou respondentů sdělovat úplné a přesné informace atd. → validita nedokonalé metodiky, jejího nepřesného dodržování chybnými postupy při zpracování dat významně ovlivnit ji lze precizní prací ve všech fázích přípravy a průběhu šetření zhodnotit její vliv na výsledky je obtížné (možností je např. porovnání s údaji zjištěnými při úplném cenzu, pokud je máme k dispozici) (Dále se jí nebudeme zabývat.)

5 Výběrová chyba Populace → výběr → populace
Vybírá se náhodně (bez vracení) pouze jeden výběrový soubor a údaje z něho reprezentují základní soubor (populaci). Chybu způsobenou volbou výběrového souboru lze s určitou předem zvolenou pravděpodobností vymezit na základě teorie výběrových šetření

6 Přesnost → chyby měření
S výběrovými šetřeními jsou v sociálních vědách spjaty tzv. výběrové a nevýběrové chyby. Nevýběrové chyby (nonsampling error): odmítnutí odpovědi, chyby při pořizování dotazníku. → nelze kvantifikovat vychýlení odhadu. (ty se objevují i v případě šetření celé populace - cenzu) Výběrové chyby (sampling error): vznikající vztažením charakteristik výběrového souboru na celý základní soubor vliv: velikosti výběru, metody výběru, velikosti populace lze je interpretovat pomocí tzv. intervalů spolehlivosti = intervaly zkonstruované kolem bodového odhadu tak, že s určitou pravděpodobností skutečná hodnota odhadované charakteristiky (tj. v celé populaci) leží právě v tomto intervalu. Nejčastěji se u odhadů konstruuje 95% interval spolehlivosti v něm s 95% pravděpodobností leží skutečná hodnota odhadované charakteristiky (připouštíme 5 % chybu)

7 Velikost výběrové chyby
lze vyjádřit buď Standardní (směrodatnou) chybou - bodovým odhadem rozptylu/směrodatné odchylky nebo intervalem spolehlivosti pro odhad sledovaného ukazatele. Nejčastěji se okolo odhadu konstruuje tzv. 95 % interval spolehlivosti (vynásobením směrodatné odchylky odhadu kvantilem normovaného normálního rozdělení, tj. hodnotou 1,96). → interval, ve kterém s 95 % pravděpodobností leží skutečná hodnota odhadované charakteristiky

8 Chyba měření T = M + e T = skutečná hodnota proměnné (v populaci)
Pravděpodobnostní výběry nikdy nedávají statistiky (změřené hodnoty ve vzorku) přesně odpovídající parametru (hodnotám v celé v populaci) T = M + e T = skutečná hodnota proměnné (v populaci) M = naměřená hodnota T e = je chyba měření

9 Intervaly spolehlivosti
Tolerance chyb (margin of error) suma všech možných výběrových chyb, která kvantifikuje nejistotu výsledků měření → pravděpodobnostní interval ± (např. 95% interval spolehlivosti určuje rozpětí kolem naměřené hodnoty) ovlivněno: velikostí výběru, metoda výběru, velikost populace 95 % (konfidenční) interval spolehlivosti → jsme si jistí, že naše výběrová data z 95 % (tj. námi zvolená spolehlivost) budou obsahovat skutečnou hodnotu v celé populaci

10 Intervaly spolehlivosti (CI) → princip intervalového odhadu
Odhadujeme parametry základního souboru (populace) jsou-li nám známy pouze charakteristiky výběru Při intervalovém odhadování se charakteristika základního souboru popisuje pomocí intervalu, k níž se přidává pravděpodobnost, že odhad bude správný → spolehlivost odhadu (1-α). Použití pro průměr, podíl (%), rozptyl, korelační koeficient … Obecně CfI lze vyjádřit: Bodový odhad ± Koeficient spolehlivosti pro zvolenou hladinu x Směrodatná chyba odhadu Např. pro 95 % CfI a procentní údaj ohledně účasti ve volbách: Se spolehlivostí 95 % můžeme tvrdit, že podle zjištění výzkumu půjde volit 62,8 % (± 2,7 %) občanů, tj. v rozmezí 60,1 až 65,5 %.

11 Výsledky výběrových šetření jsou vždy jen odhadem skutečného parametru (v populaci).
Jejich přesnost je závislá především na velikosti výběrového souboru a podílu hodnot daného znaku. Orientační pomůcka: pro vzorek z velké (národní) populace cca N=1000 se skutečné (populační) relativní četnosti (procenta) pohybují v těchto intervalech: Zdroj: [Special Eurobarometer 337] My si ale dále ukážeme, jak to spočítat přesně a navíc pro jakoukoliv hodnotu a míru (%, průměr, rozdíl %, korelace, …)

12 Interval spolehlivosti
Interval spolehlivosti volíme. Například zvolíme-li 95 %, znamená to, že parametr naměřený ve výběrovém souboru (např. průměr) se bude v celé populaci nacházet v daném intervalu. Nebo obráceně: Zvolená chyba (alpha) např. 5%, je pravděpodobnost, že průměr (nebo jiná míra) nebude v celé populaci (jejíž vlastnosti z výběru zjišťujeme) mezi spočítaným intervalem a to díky náhodě. → 5% pravděpodobnost (type I error), znamená že naměřený rozdíl existuje (např., že lidé budou volit kandidáta X) oproti tomu, že naměřený rozdíl je ve skutečnosti způsoben tím, že vzorek je nereprezentativní.

13 Nejprve ujasnění pojmů (pro jistotu)
Rozptyl je variance v hodnotách proměnné Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu Standardní chyba (např. průměru) je vyjádřením nepřesnosti měření odhadu K jejímu odhadu můžeme použít právě směrodatnou odchylku (v případě průměru), výpočet viz dále

14 Princip inferenční statistiky - kardinální/číselné znaky distribuce průměru v náhodném výběru z populace Zdroj: [De Vaus 1986: 116] Ze vzorku víme, že průměrný příjem je 18tis$ (→ bodový odhad), jaký je ale skutečný populační průměr (tj. v celém základním souboru)? Protože víme, že výběrový průměr je zatížen výběrovou chybou, nemůžeme se na tento bodový odhad spolehnout. Potřebujeme zjistit, „jak přesně náš vzorek měří“. Pokud máme náhodný výběr, odpověď nám dá teorie pravděpodobnosti. Pokud bychom provedli velké množství náhodných výběrů, budeme se postupně blížit ke skutečné populační hodnotě průměrného příjmu. Rozložení hodnot ve vzorku se bude blížit tzv. normálnímu rozložení (Gaussově křivce).

15 Princip inferenční statistiky – kategoriální znaky distribuce pravděpodobnosti (tj. %) v náhodném výběru z populace Zdroj: [De Vaus (1986) 2002: 304] Dtto ale pro podíl (procenta). Na ose X je podíl (relativní počet výskytu) odpovědí pro volbu konzervativní strany v mnoha náhodných výběrech. S rostoucím počtem opakovaných náhodných výběrů se odhadovaná hodnota % blíží skutečné hodnotě v populaci.

16 Binomické rozdělení Náhodný výběr 4000 osob, se rozdělí na skupiny po 40 osobách, vznikne tak 100 dílčích náhodných výběrů. Toto rozdělení odpovídá jako při dotazování u 100 reprezentativních průřezů. Tyto dílčí náhodné výběry však nemají stejné procento osob, které chodí do kostela jen „málokdy“. Podle zákona velkých čísel musí přitom menší odchylky vystupovat častěji než velké. [Noelleová 1968: 115] Podíl 27,5 % osob, které „málokdy“ navštěvuji kostel, tj. 11 ze 40 dotazovaných, vystupuje např. u 18 ze 100 dílčích náhodných výběrů, naproti tomu jen v jednom výběru je podíl 10 % = 4 ze 40 dotazovaných. Z křivky zvonovitého tvaru lze vyčíst, jaké rozdělení by se dalo očekávat v mezním případě, kdyby se neprošetřovalo pouze 100, ale libovolné množství dílčích náhodných výběrů.

17 Co předchází výpočtu intervalu spolehlivosti:
1. Standardní (směrodatná) chyba a jejímu výpočtu předchází výpočet rozptylu/směrodatné odchylky 2. koeficient spolehlivosti → z-values (princip a odvození)

18 Standardní/směrodatná chyba odhadu parametru (např. průměru)
Neboli obecně standardní chyba vzorku Kvantifikuje nepřesnost našeho měření pro průměr: StD Error (of mean) SE = pro podíl (%): StD Error (of proportion) SE = Pozn. Pravděpodobnost, tj. podíl (%) je vlastně průměrem počtu pozorování, takže SE pro pravděpodobnost počítáme v podstatě stejně jako SE pro průměr (Směrodatná odchylka podílu děleného odmocninou z velikosti výběru).

19 Standardní/směrodatná chyba
Je menší pokud roste velikost výběrového souboru (roste přesnost odhadu parametru) Zvětšením výběru 2x se interval zmenší jen 1,41krát (√k-násobně), proto pro dvojnásobnou přesnost potřebujme čtyřnásobný rozsah výběru Obvykle nám stačí pokud je pravděpodobnost, že cca 2/3 naměřených hodnot leží v rozsahu hranice průměru nebo +/- 1 jejich vlastní standardní chyby (SE)

20 K čemu je standardní chyba (SE)?
ukazuje, jak (ne)přesné jsou naše výsledky pro výpočet intervalu spolehlivosti k testování, zda se dva parametry liší k testu, zda se výběrová charakteristika statisticky významně liší od nuly v základním souboru (dělíme-li např. korelační koeficient r jeho SE a dostaneme-li číslo větší než 2, pak je s 95% pravděpodobností korelace nenulová, tj. existuje i v celé populaci)

21 Malý exkurz do rozložení pravděpodobnosti
nejen k tomu abychom odvodili Z-hodnoty pro koeficient spolehlivosti (vlastnosti normálního rozložení využijeme ještě při testování hypotéz)

22 Procenta plochy pod křivkou Násobky Směrodatné odchylky
Normální rozložení – rozsah oblastí pod křivkou Pravděpodobnosti pozorování náhodné proměnné Procenta plochy pod křivkou Pravděpodobnosti pozorování hodnot, odpovídají oblastem pod křivkou Násobky Směrodatné odchylky Rozdíl mezi 2 až 3 StD odpovídá 5 % plochy pod křivkou normálního rozložení. Pravděpodobnost, že se (hodnota) pozorování vyskytne: nad bodem E je 0,025 mezi body A a E je 0,95 → 95 % interval spolehlivosti Tato vlastnost normálního rozložení nám umožňuje činit odhad parametrů základního souboru, známe-li pouze charakteristiky výběru.

23 Směrodatná odchylka a (konfidenční) interval spolehlivosti
Normální rozložení Násobky Směrodatné odchylky

24 Násobky Směrodatné odchylky
z-values → koeficient spolehlivosti (C) (= kritická hodnota dvoustranného standardního normálního testu) pro danou hladinu významnosti (α) → tu si zvolíme, podle toho, jak přesně výsledky chceme prezentovat (nejčastěji 5 %) α = 5 % α = 1 % 2,5 % 2,5 % Násobky Směrodatné odchylky α 10% 5% 1% z α/2 z.1 z.05 z.025 z.01 z.005 z.001 z.0005 C 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

25 a zpět do výpočtu intervalu spolehlivosti

26 Interval spolehlivosti (předpoklady)
Dále budeme uvažovat pouze dvoustranný interval spolehlivosti (existuje také jednostranný CfI, kdy určujeme buď jen horní nebo dolní hranici) pro prostý náhodný výběr a pro velké výběrové soubory (kde n > 30) Předpokládáme alespoň přibližně normální rozložení hodnot zkoumaného jevu (což dost často z principu nemusí být)

27 Intervaly spolehlivosti
Připomenutí z AKD I. Intervaly spolehlivosti pro spojitou – kardinální proměnnou → průměr

28 Odhad parametru (např. průměru) v populaci na základě výběrového vzorku
Standardní chyba průměru StD Error (of mean) SE =√s2/n nebo SE = s/√n kde s2 je rozptyl (ve výběrovém vzorku) nebo s je směrodatná odchylka 95 % konfidenční interval CI pro výběrový průměr X = X ± C * SE kde C = 1,96 (pro 95 % CI) → z-hodnota Prezentujeme buď dvě čísla: průměr ± konfidenční interval nebo tři čísla: dolní mez - průměr - horní mez.

29 Výpočet konfidenčního intervalu výběrového průměru
Hypotetická populace Průměr v celé populaci μ = 8 Náhodný výběr 2 jednotek (např. dětí v ulici) A (=2) a D (=10) Průměr ve výběru X = (2+10)/2 = 6 Rozptyl (s2) je ve výběru 32 → směrodatná odchylka (s) CI = X ± 1,96 * 4 = 6 ± 7,84 → -1,84 až 13,84 To znamená, že z námi vypočteného bodového odhadu průměrného věku ve výběru (6 let) můžeme usuzovat, že v celé populaci se jeho hodnota s přesností 95 % pohybuje v rozmezí -1,8 až 13,8. (Což je zde jistě neproduktivní informace.) jednotky A B C D E F hodnoty 2 6 8 10 12 Např. věk dětí v ulici

30 Rozdíl: populace / výběr, StD a SE
→ Vek_AKD2_ xls

31 Využití CfI Deskriptivní pro popis (odhad) určitého parametru v populaci měřeného pomocí výběru s použitím intervalového odhadu (např. průměr, podíl kategorie) → EXPLORE Porovnání rozdílů hodnot dvou či více proměnných – testování hypotézy pomocí principu statistické indukce (→ překrývají se hranice intervalů?), např. v grafech Error-Bar: A) vzájemné porovnání rozdílů hodnot (průměrů) u sady několika proměnných měřených na stejné škále (např. obliba 8 TV žánrů) B) Hodnoty průměrů jedné proměnné v podskupinách – kategoriích vysvětlujícího znaku (např. průměr příjmu v kategoriích vzdělání). C) porovnání hodnoty s výsledky z jiného výzkumu (např. časově nebo z jiné země)

32 Porovnání rozdílů hodnot (průměrů) pomocí „překryvu“ intervalů spolehlivosti
A) Obliba 8 TV žánrů B) Příjem v podskupinách podle vzdělání Zdroj: Kultura 2011 Zdroj: CVVM GRAPH ERROR (CI) k31_a TO k31_h. GRAPH ERROR (CI) prijem BY vzd4.

33 V SPSS: interval spolehlivosti pro spojitou proměnnou → průměr
Např. v rámci EXPLORE (v syntaxu EXAMINE): EXAMINE proměnná. */ → třídění 1.stupně včetně grafů. EXAMINE prijem /PLOT NONE /STATISTICS DESCRIPTIVES /CINTERVAL 95 /NOTOTAL. Poněkud nepřehledné, ve výstupu nejprve za celek, pak teprve podskupiny. V rámci MEANS dostaneme pouze standardní chybu průměru = SEMEAN. MEANS prijem /CELLS= MEAN COUNT STDDEV SEMEAN. */ pro třídění 1. ale i 2./3. stupně. Přehledněji dostaneme intervaly spolehlivosti pro třídění 2. stupně v jedné tabulce v rámci jednoduché analýzy rozptylu (One-way ANOVA): ONEWAY prijem BY vzd4 / STATISTICS=DESCRIPTIVES. Nebo graf pro průměry s CI v kategoriích další proměnné: GRAPH /ERRORBAR (CI 95)=prijem BY vzd4.

34 CI ve výstupu z EXPLORE resp. EXAMINE
v třídění 2.stupně: závislá proměnná = příjem nezávislá proměnná = pohlaví (s30) → Počítáme odděleně průměry s (S.E.) a CI v jejích kategoriích. EXAMINE proměnná. *třídění 1.stupně včetně grafů. EXAMINE prijem BY s30 /PLOT NONE /STATISTICS DESCRIPTIVES /CINTERVAL 95 /NOTOTAL. * třídění 2. stupně a pouze hlavní statistiky. Pro více kategorií je to již poměrně nepraktické uspořádání, proto můžeme použít např.: ONEWAY prijem BY vzd4 / STATISTICS=DESCRIPTIVES. Zdroj: data ISSP 2007

35 Graf chybových úseček (průměr s CI) v SPSS
GRAPH /ERRORBAR (CI 95)=Var1 BY Var2. Var1 je spojitá (pro ní počítáme průměr) Var 2 je kategoriální (podskupiny)

36 CfI pro průměry v podskupinách
ONEWAY prijem BY vzd4/ STATISTICS=DESCRIPTIVES. GRAPH ERROR (CI 95) prijem BY vzd4.

37 Vnitřní a vnější hradby
Rozdíl: ERRORBAR (graf chybových úseček) BOXPLOT (graf fousatých krabiček) BOXPLOT - graf fousatých krabiček → znázornění rozložení (rozptýlení) dat: medián, kvartilové rozpětí (horní a dolní kvartil) a hranic odlehlých (Outliers = ○) a vzdálených hodnot (Extremes = *). Jak pro populační tak pro výběrová data. ERRORBAR - graf chybových úseček → znázornění průměru a jeho (zvoleného) intervalu spolehlivosti Pouze pro výběrová data. Vnitřní a vnější hradby (hranice velmi vysokých/nízkých hodnot) Kvartilové rozpětí EXAMINE prijem BY s30 /PLOT=BOXPLOT /STATISTICS=NONE /NOTOTAL. GRAPH /ERRORBAR (CI 95) prijem BY s30. Zdroj: data ISSP 2007

38 Další možnosti využití Intervalu spolehlivosti

39 Standardizace kardinálních proměnných na z-skóre
Užitečná transformace data pro porovnání proměnných měřených na různých škálách (rozpětí) Jak na to viz Dimenze pro-čtenářského klimatu a čtení v dětství v závislosti na vzdělání rodičů, průměry z-skórů, věková kohorta narozených Příklad: dvě odlišné dimenze pro-čtenářského klimatu v rodině a čtení v dětství (3 průměry) podle vzdělání rodičů Závislé proměnné (dimenze pro-čtenářského klimatu a čtení) jsou spojité-kardinální a protože byly měřeny na škálách s odlišným rozpětím jsou standardizované na z-skóry, tj. mají stejnou metriku-rozsah (průměr =0 a StD=1) → můžeme porovnávat jejich relativní(!) intenzitu napříč vzdělanostními kategoriemi a to i uvnitř nich, nikoliv ale celkovou hodnotu jako takovou mezi sebou (tj. v třídění 1. stupně). nadprůměr Průměr škál (=0) ○ Dostupnost/nápodoba – Interakce/komunikace □ Četl/a v dětství podprůměr Zdroj: [Gorčíková, Šafr 2012: 75]

40 Simultánní intervaly spolehlivosti pro četnosti
Dosud jsme činili samostatné závěry, ale chceme-li zhodnotit několik četností zároveň, musíme zajistit, aby všechny parametry byly pokryty předem požadovanou spolehlivostí. Pro souběžný závěr o několika četnostech proto zpřísníme celkovou spolehlivost C na z α / S kde S = počet četnostní pro něž chceme simultánní intervaly spolehlivosti Např. pro 4 četnosti, při požadované α = 0,05: z α / 4 = z α / 0,0125 = 0,02497 tj. přibližně 2,5 Viz tabulky kritických hodnot standardního normálního testu pro simultánní testování. [Řehák, Řeháková 1986: 64-65]

41 Pro výpočet intervalu spolehlivosti pro kvalitativní - nominální proměnnou → četnosti (pravděpodobnost / procenta) viz prezentaci Standardní chyba a interval spolehlivosti (2.) – pro nominální znaky (podíl, procenta) (a další odhady parametrů)

42 Standardní chyba a intervaly spolehlivosti pro další parametry
(korelační koeficient, medián, rozdíl podílů (%), …)

43 Reference Agresti, Alan An Introduction to Categorical Data Analysis. Second Edition. Hoboken, New Jersey: JohnWiley & Sons, Inc. De Vaus, D. A Surveys in Social Research. London: George Allen & Unwin (Publishers) Ltd. Řehák, J., B. Řeháková Analýza kategorizovaných dat v sociologii. Praha: Academia. Noelleová, E. (1963) Výzkum veřejného mínění. Praha: Nakladatelství Svoboda. Šafr J. (ed.) a kol Mechanismy mezigenerační reprodukce nerovností. Praha: Sociologický ústav AV ČR, v.v.i.