O metodě konečných prvků Lect_10.ppt M. Okrouhlík Ústav termomechaniky, AV ČR, Praha Liberec, 2010 Transient tasks Šíření napěťových vln.

Prezentace na téma: "O metodě konečných prvků Lect_10.ppt M. Okrouhlík Ústav termomechaniky, AV ČR, Praha Liberec, 2010 Transient tasks Šíření napěťových vln."— Transkript prezentace:

1 O metodě konečných prvků Lect_10.ppt M. Okrouhlík Ústav termomechaniky, AV ČR, Praha Liberec, 2010 Transient tasks Šíření napěťových vln

2 1D wave equation

3 Wave equation 2D - plane stress S … shearP … primary Longitudinal dilatational irrotational extension Transversal shear rotational distortion equivolumetrical

4 2D plane strain and 3D P … primary Within the scope of linear theory of elasticity, P and S waves are uncoupled.

5 2D wave fronts - Huygen’s principle

6

7 Wave equation on the surface Rayleigh waves

8 Typical values for steel in m/s For E = 2.1e11 Pa, r = 7800 kgm^-3, m = 0.3

9 Podélný čelní ráz válcových tyčí Snaha vysvětlit existenci tahového napětí ve směru kolmém na osu a doprovázeného tlakovým napětím ve směru rázu, které vede k velkým smykovým napětím v blízkosti podélné osy symetrie, vyvolávajícím poškození materiálu – potvrzeném experimentálně v laboratoři prof. A. Farlíka v Brně.

10 Valeš – příčný ráz na tenký pás Na této úloze ukážeme metodiku v té době používaných analytických postupů. Na pohybové rovnice je nejprve aplikována Fourierova transformace v prostoru, pak Laplaceova transformace v čase. Následuje inverzní transformace, která vede na nekonečné řady nevlastních integrálů.

11 Například pro složku napětí vychází

12 Bezrozměrové polohové proměnné integrandu a integrační proměnná jsou vázány disperzními vztahy. Jsou to dvě transcendentní rovnice, jejichž kořeny je nutno vypočíst před integrací samou.

13 Prvních 35 větví disperzních závislostí pro úlohu rázu na tenký pás Kořeny se hledaly metodou půlení intervalu. Před vlastní integrací, která se prováděla jednotřetinovou Simpsonovou metodou, bylo třeba stanovit integrační obor konvergence. Výpočty byly naprogramovány v Algolu. Ing. F. Valeš

14 Srovnání s výsledky získanými metodou fyzikální diskretizace 6000 obyč. dif. rovnic, Runge-Kutta, CDC 6600, M. Okrouhlík, F. Valeš

15 Elastic waves and finite elements Finite element semidiscretization Mass matrix formulation –consistent –diagonal (lumped) Time discretization … integration in time –explicitcentral differences –implicitNewmark family, Houbolt

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37 P waves S waves R waves

38 Infinite speed of propagation in FE analysis

39

40 Axially loaded long, thin tube – surface strains

41 Strains, displacements, velocities and accelerations along the length of the rod for t = 0.2. Consistent mass matrix. Newmark vs. central differences

42 Let’s have a closer look at displacements … consistent mass matrix Full floating point range 3 orders only

43 Strains, displacements, velocities and accelerations along the length of the rod for t = 0.2. Diagonal mass matrix. Newmark vs. central differences

44 Again, a closer look at displacements … diagonal mass matrix pure zero

45

46

47

48

49 In FE analysis we have

50