CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA.

Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 14. PŘEDNÁŠKA Leden 2015 Lineární progr. (dopr.) - 4

2 leden 2015 Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování – 4, … … s trochou praxe ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Distribuční a dopravní modely Distribuční a dopravní modely Tyto modely jsou konstruovány pro řešení rozhodo- vacích problémů, se kterými se lze setkat zejména v oblasti klasické zásobovací, skladovací a distri- buční logistiky. Tam pomáhají řešit otázky jak, co a jak dlouho skla- dovat, případně vyrábět, odkud kam, kolik a kdy přepravovat. K těmto činnostem jsou přiřazování zdroje – pracovníci, materiál a hlavně informace. Distribuční a dopravní modely leden 2015

4 Distribuční a dopravní modely Distribuční a dopravní modely Zjednodušeně řešeno – jde o procesy řešící vztah výroba (dodavatel) *** spotřebitel (zákazník) - - ve smyslu = jak pokrýt potřeby na straně spotřeby při daném množství produkce z výroby + při dobré ekonomice rozvozu - nezabývá se formou vlastní dopravy a organizací kudy vést rozvozové trasy - nezabývá se ani vlastními sklady a jejich provozem Distribuční a dopravní modely leden 2015

5 Distribuční modely Distribuční modely Speciálním případem lineárních optimalizačních modelů jsou distribuční modely, které zachycují a řeší pohyb. Mají speciální typ základní matice A, ve které se prakticky nevyskytují nenulové (často jsou jednot- kové) koeficienty. Distribuční a dopravní modely leden 2015

6 Mezi klasické distribuční modely patří dopravní modely, které mají za cíl nalézt optimální a efektiv- ní způsob přepravy materiálu jakéhokoliv druhu a množství, přitom v dané časové relaci. Distribuční a dopravní modely leden 2015

7 Matice strukturních koeficientů dopravního pro- blému má specifickou strukturu, obsahuje pouze jedničky a nuly. Díky tomu je možno řešit dopravní problém i jinými metodami než je simplexová metoda. Distribuční a dopravní modely leden 2015

8 Dopravní modely Dopravní modely V dopravním problému (DP) se v typickém případě jedná o rozvržení rozvozu nějakého zboží či mate- riálu z dodavatelských míst (zdroje, skladu) k odbě- ratelům (cílová místa, spotřebitelé) tak, aby byly minimalizovány celkové náklady spojené s tímto rozvozem. Distribuční a dopravní modely leden 2015

9 Jednostupňová dopravní úloha Nejjednodušší úlohou je úloha obsahující dodava- tele + zákazníka a nerozlišuje použitelné dopravní prostředky. Je to tzv. jedno-stupňová dopravní úloha s jednostu- pňovým dvou-indexovým systémem. Jednostupňová dopravní úloha je nejjednodušší variantou dopravního problému a její grafické zná- zornění je na obrázku dále. Distribuční a dopravní modely leden 2015

10 Dopravní logistika koordinuje, synchronizuje a opti- malizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa jejich vstupu do sítě (do logistického systému) až po místo jejich výstupu z této sítě. Musí se tedy taky zabývat koordinací, synchronizací a optimalizací prostorového rozmístění, kapacit a pohybů všech prostředků a zařízení, jejichž součin- nost je nutná k uskutečnění přepravy určité zásilky (zboží, služby, informace). Distribuční a dopravní modely leden 2015

11 koordinuje, synchronizuje a optimalizuje Dopravní logistika koordinuje, synchronizuje a optimalizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa jejich vstupu do sítě (do logistického systé- mu) až po místo jejich výstupu z této sítě. Musí se tedy taky zabývat koordinací, synchroni- zací a optimalizací prostorového rozmístění, kapacit a pohybů všech prostředků a zařízení, jejichž součinnost je nutná k uskutečnění přepravy určité zásilky (zboží, služby, informace). Distribuční a dopravní modely leden 2015

12 Dopravní logistiku Dopravní logistiku lze proto chápat jako koordi- naci, synchronizaci a optimalizaci - pohybů zásilek (objektů, služeb, informací, pasiv- ních prvků, …) mezi uzly dopravní sítě - pohybů souvisejících s činností přepravních a do- pravních prostředků - činnosti uzlů na dopravní síti z hlediska odbavo- vání a zpracování zásilek. Distribuční a dopravní modely leden 2015

13 Řešitelnost dopravní úlohy Řešitelnost dopravní úlohy V diskuzi o řešitelnosti úlohy je potřeba respektovat dvě podmínky. První podmínkou je úplná zastupitelnost přepravo- vaného produktu – libovolný dodavatel musí být schopen dodat každému spotřebiteli libovolné množ- ství produktu (zde je vidět, že použít jen toto ome- zení nebude v praxi stačit) a dělitelnost materiálu. Distribuční a dopravní modely

14 Druhou je předpoklad vyváženosti úlohy (což říká, že nic (dodávaný produkt) nesmí přebývat a nic nesmí scházet, protože všichni dodavatelé dohro- mady musí být schopni uspokojit všechny požadav- ky spotřebitelů). Pokud toto platí a obě podmínky jsou splněny, pak omezující podmínky dopravní úlohy jsou soustavou lineárních rovnic, a proto jsou řešitelné. Distribuční a dopravní modely

15 grafickém Při grafickém zobrazení jsou: dodavatelé a spotřebitelé jako „uzly“ (vrcholy) grafů a možné cesty jako „hrany“ mezi uzly. Distribuční a dopravní modely leden 2015

16 Březen 2011 Grafické znázornění distribuční dvou-indexové úlohy S1S1 S2S2 S3S3 D1D1 D2D2 Distribuční a dopravní modely

17 Jednostupňové dopravní úlohy Jednostupňové dopravní úlohy Cílem úlohy je najít takový plán přepravy mezi dodavateli D i ( D 1, D 2,..., D m ) a spotřebiteli S j ( S 1, S 2,..., S n ). Plán vyčerpá kapacity dodavatelů, plně a včas uspokojí požadavky spotřebitelů (zákazníků) a hlavně minimalizuje přepravní náklady. Distribuční a dopravní modely leden 2015 S D c = ? x D, a x S, b (= ?) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

18 První předpoklad: Všech m zdrojů, dodavatelů D i ( D 1, D 2,..., D m ) s omezenými kapacitami a 1, a 2,..., a m vyjadřujícími množství, které je dodavatel schopen v uvažovaném období dodat. Druhý předpoklad: Je n cílových míst (odběratelů, spotřebitelů, zákaz- níků) S j (S 1, S 2,..., S n ) se stanovenými poža- davky b 1, b 2,..., b n vyjadřujícími množství, které odběratel v uvažovaném období požaduje. Distribuční a dopravní modely leden 2015

19 Nevyváženost versus vyváženost Nevyváženost versus vyváženost Nevyváženost může znamenat například přebytek kapacit dodavatelů nebo převis poptávky spotřebi- telů (znamenající, že u dodavatelů nejsou dispo- nibilní kapacity). V tom případě následné rozšíření o proměnnou x j bude vyjadřovat neuspokojené požadavky spo- třebitelů. Distribuční a dopravní modely leden 2015

20 Ve skutečnosti podmínka vyváženosti nebývá vždy splněna. Úlohy se součtem kapacit rovným součtu požadav- ků se nazývají vyvážené. Úlohy, v nichž se nerovná, jsou nevyváženými do- pravními úlohami. Přitom nevyváženou úlohu lze snadno převést na vyváženou tím, že ji rozšíříme (doplníme). Distribuční a dopravní modely leden 2015

21 Platí-li Σ(a i ) = Σ (b j ), je to vyrovnaný dopravní problém. Nevyrovnaný dopravní problém – platí nerovnost Σ(a i ) ≠ Σ(b j ) – lze na vyrovnaný snadno převést → → převis nabídky doplní se fiktivní cílové místo S F = fiktivní odběratel s požadavkem rovným rozdílu mezi celkovými kapacitami a (chybějícími) požadavky → převis poptávky doplní se fiktivní zdroj D F = fiktivní doda- vatel s kapacitou rovnou rozdílu mezi celkovou sumou požadavků a (chybějícími) kapacitami. Distribuční a dopravní modely leden 2015

22 Vyvážení úlohy Sazby ve fiktivním řádku i sloupci budou nulové Kapacita fiktivního sloupce (spo- třebitele) se rovná součtu kapacit dodavatelů mínus součet kapacit spotřebitelů Kapacita fiktivního řádku se rovná součtu kapacit spotřebitelů mínus součet kapacit dodavatelů Distribuční a dopravní modely leden 2015

23 Třetí předpoklad: Vztah každé dvojice zdroj – cílové místo je nějakým způsobem oceněn, např. vykalkulovanými náklady na přepravu jednotky zboží nebo kilometrovou vzdá- leností – kvantifikované ocenění = cenové koefici- enty (sazby za jednotku), se značí c ij, pro i = 1,..., m, j = 1,..., n. Ocenění vztahu mezi zdroji a cílovými místy je u fik- tivních činitelů nulové. Distribuční a dopravní modely leden 2015

24 Neznámou proměnnou x ij v tomto rozho- dovacím procesu je hledané množství zboží mezi i-tým dodavatelem a j-tým spotřebitelem. Distribuční a dopravní modely leden 2015

25 Cílem je naplánovat nejlevnější přepravu – mate- maticky se určují hodnoty proměnných x ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n, které vyjadřují objem přepravy mezi zdrojem a cílo- vým místem - tzn. stanovit objem přepravy mezi každou dvojicí zdroj – cílové místo. Distribuční a dopravní modely leden 2015

26 Nesmí být překročeny kapacity zdrojů a musí být uspokojeny požadavky odběratelů a celkové ná- klady byly minimální. Při reálných výpočtech je potřeba provést kontrolní optimalizační propočet, který by měl ukázat mini- malizační úspěšnost návrhu….. ……… viz literatura Distribuční a dopravní modely leden 2015

27 Najděte minimum (maximum) lineární funkce za podmínek a podmínek nezápornosti Matematický model dopravního problému Distribuční a dopravní modely leden 2015

28 Matematický model obsahuje m * n proměnných x ij vyjadřujících objem přepravy mezi i-tým zdrojem a j-tým cílovým místem m + n vlastních omezení. D 1 : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = a 1 D 2 : x 21 + x 22 + x 23 + x 14 = a 2 D 3 : x 31 + x 32 + x 33 + x 14 = a 3 S 1 : x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = b 1 S 2 : x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = b 2 S 3 : x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = b 3 S 4 : x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = b 4 Distribuční a dopravní modely leden 2015

29 Omezení jsou dvojího druhu - prvních m představuje bilanci pro jednotlivé zdroje – vzhledem k vyrovnanosti bude rovno kapacitě zdrojů - zbývajících n přísluší jednotlivým cílovým místům. Minimalizace z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + · · · + c 1n x 1n + c 21 x 21 + · · · + c mn x mn Distribuční a dopravní modely leden 2015

30 Distribuční a dopravní modely leden 2015 x 11 + x 12 + · · · + x 1n = a 1 x 21 + x 22 + · · · + x 2n = a 2 ……………. x m1 + x m2 + · · · + x mn = a m ---------------------------------------------------------- x 11 + x 21 + · · · + x m1 = b 1 x 12 + x 22 + · · · + x 2n = b 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, x 1n + x 2n + · · · + x mn = b n Sumační zápis min z = ΣΣ c ij * x ij

31 Matematická formulace Kriteriální funkce vyjadřuje náklady na přepravu: min L (x) = L ( x 11,…, x mn ) = ∑∑ c ij * x ij → c pro x Є S a pro sumace i = 1, 2, …, m a j = 1, 2, …, n Březen 2009 Distribuční a dopravní modely

32 Formulace vyrovnaného dopravního problému Distribuční a dopravní modely leden 2015 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa · · · S n Kapacity zdrojů D1D1 c 11 x 11 c 12 x 12 · · · c 1n x 1n a1a1 D2D2 c 21 x 21 c 22 x 22 · · · c 2n x 2n a2a2 ···· · ··· DmDm c m1 x m1 c m2 x m2 · · · c mn x mn amam Požadavky cílov. míst b1 b1 b 2 · · · bn bn Σ(a i ) Σ(b j )

33 Přepravované množství x ij Vzdálenost – cenový koef. c ij u i + v j Hodnota testu optimality Perspektivita Propustnost Q ij u i + v j + c ij Distribuční a dopravní modely leden 2015 Obvyklé rozložení informací v buňce pro tabulkové zobrazení řešeného dopravního problému.

34 Ohodnocení jednotlivých tras je výsledkem analýzy tras a následných optimalizačních řešení. Pokud jsou ohodnocením náklady nebo vzdálenosti, jedná se o minimalizační úlohy. Pokud je ohodnocením velikost dosažené ceny, jedná se o úlohy maximalizační.. Březen 2011 Distribuční a dopravní modely

35 simplexové metody Řešení probíhá podle speciálního algoritmu, tzv. distribuční metody. Použití simplexové metody je možné, ale je silně neefektivní. Březen 2011 Distribuční a dopravní modely

36 O něco složitější je varianta s mezisklady – například podobná té co je znázorněna na předcházejícím obrázku. Pro srovnání je jednoduchá jednostupňová úloha zachycena grafickou formou na dalším obrázku. Březen 2009 Distribuční a dopravní modely

37 Březen 2011 M1M1 M2M2 M3M3 S1S1 S2S2 D1D1 D2D2 Grafické znázornění distribuční tří-indexové úlohy Distribuční a dopravní modely

38 PŘÍKLAD PŘÍKLAD Firma má tři výrobní střediska, kde vyrábí překlady. Kapacita výroby je 330, 150 a 220 kusů měsíčně. Rozváží je čtyřem odběratelům – prodejcům staveb- ního zboží v počtu 180, 250, 160 a 110 ks měsičně. Distribuční náklady mezi výrobou a odběrateli vykal- kulované na 1 ks překladů ve stovkách Kč jsou v tabulce - není zohledněna cena překladu, ale pouze administrativní a dopravní náklady. Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015

39 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 114179330 D2D2 6 710 8150 D3D3 3 9 512220 Požadavky cílov. míst 180250 160 110 700 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Součet požadavků (sloupce) se rovná součtu kapacit (řádky) = vyrovnaný DP. Cena za kus TABULKOVÁ FORMA ZADÁNÍ ÚLOHY

40 min z = 11*x 11 + 4*x 12 + 17*x 13 + 9*x 14 + 6*x 21 + 7*x 22 + + 10*x 23 + 8*x 24 + 3*x 31 + 9*x 32 + 5*x 33 + 12*x 34 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 330 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 150 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 220 x 11 + x 21 + x 31 = 180 x 12 + x 22 + x 32 = 250 x 13 + x 23 + x 33 = 160 x 14 + x 24 + x 34 = 110 x ij ≥ 0,i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015

41 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 501703080 330 D2D2 50405010 150 D3D3 80408020 220 Požadavky cílov. míst 180250 160 110 700 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Počet kusů … x

42 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 zdroje D1D1 5506805107202460 D2D2 300280500801160 D3D3 2403604002401240 cílová místa 10901320141010404860 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Úlohou je hledat minimum této celkové částky. Variantou může být, že každý odběratel nebere všechny druhy překladů = ROZPOR se zadáním. Cena za dodávky

43 Danou úlohu lze řešit například pomocí metody VAM = Vogelova aproximační metoda Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Tato metoda je výpočetně složitější, poskytuje však většinou nejlepší řešení. Pro každý řádek a sloupec se vypočte DIFERENCE jako rozdíl mezi dvěma nejnižšími sazbami (ceno- vými koeficienty) v daném řádku či sloupci. Vybere se pole, které má v řádku nebo sloupci s ma- ximální diferencí. Může nastat situace, kdy existuje více řádků a sloupců se stejnou maximální diferencí.

44 Danou úlohu lze řešit například pomocí metody VAM = Vogelova aproximační metoda Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Pak se vybere pole, které má nejnižší sazbu z těch polí, které leží v řádcích a sloupcích s těmito maxi- málními diferencemi. Po obsazení pole dojde k vyloučení takto obsaze- ného řádku a sloupce. Potom se přepočtou diference a postup se opakuje. Diference může být i nulová, jsou-li dva nejmenší cenové koeficienty v daném řádku nebo sloupci stejné.

45 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 0250080 330 D2D2 1200030 150 D3D3 6001600 220 Požadavky cílov. míst 180250160110 700 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Počet kusů … x VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY

46 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 zdroje D1D1 0100007201720 D2D2 72000240 960 D3D3 18008000 980 cílová místa 9001000800960 3660 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Cena za dodávky VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY Součet financí je nejnižší, ale patří do úloh, které nerespektují zadání…..

47 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Dodané kusy jsou umístěny do pole s minimálními jednotko- vými přepravními náklady. Nebo je možné splnit požadavek v buňce, která je vlevo na- hoře ( x 11 ) a dorovnat v další buňce (vpravo od té první vy- plněné) na celkovou kapacitu první výroby. Pak se vyplní buňka dalšího levého horního rohu ( x 22 ) – hodnota je dána tak, aby v druhém řádku i druhém sloupci byly splněny hod- noty kapacity druhého výrobce i požadavek druhého odbě- ratele. A tak se pokračuje až do vyplnění celé tabulky…. Znamená to, že se nerespektují hodnoty nákladů na přepra- vu jednoho kusu – výsledek bývá obvykle špatný!!! Metoda severozápadního rohu

48 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 180150 00 330 D2D2 0xxx 0 150 D3D3 0xxx0110 220 Požadavky cílov. míst 180360 50 110 700 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 xxx15000 xxx D2D2 0 10050 0 150 D3D3 0 110 0 220 Požadavky cílov. míst xxx360 50 110 700

49 Další variantou může být, že každý odběratel nebere všechny druhy překladů. Je to poměrně obvyklá varianta v realitě dosti běžná. Tato úloha je ale v ROZPORU se zadáním. Ukázka náhodného zadání potřeb může vést i k hor- šímu finančnímu výsledku – ale to může být podříze- no jistému zadání…… Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015

50 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 18015000 330 D2D2 0100500 150 D3D3 01100 220 Požadavky cílov. míst 180360 50 110 700 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Počet kusů … x VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY

51 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 zdroje D1D1 1980600002580 D2D2 070050001200 D3D3 0990013202310 cílová místa 198022905001320 6090 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Cena za dodávky VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY

52 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 Kapacity zdrojů D1D1 18015000 330 D2D2 0100500 150 D3D3 00110 220 Požadavky cílov. míst 180250160110 700 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Počet kusů … x JINÁ VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ TÉŽE ÚLOHY

53 ZdrojeS1S1 Cílová S 2 místa S 3 S 4 zdroje D1D1 1980600002580 D2D2 070050001200 D3D3 0055013201870 cílová místa 1980130010501320 5650 Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015 Cena za dodávky JINÁ VARIANTA ÚLOHY

54 Protože daná úloha je vyrovnaným dopravním pro- blémem – tak má vždy optimální řešení. Používá se metoda MODI (modifikovaná distribuční metoda). Při výpočtu se jedná doplnění tabulky o hodnoty proměnných tak, aby jejich řádkové součty byly rovny kapacitám, sloupcové součty požadavkům a počet nenulových proměnných ≤ (m + n − 1). Distribuční a dopravní modely - příklad leden 2015

55 Matematická formulace a další informace … viz text OPORY…. Březen 2009 Distribuční a dopravní modely

56 leden 2015 …..… cw05 – p.14. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …..4…

57 ……… Březen 2015