Základní teorie grafů a její aplikace

Základní teorie grafů a její aplikace
Teorie grafů - Michal Brejcha Základní teorie grafů a její aplikace Michal Brejcha Teorie grafů - Michal Brejcha

Teorie grafů - Michal Brejcha
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest Čím se budeme zabývat. Na začátku se seznámíme alespoň se základními pojmy teorie grafů, což nám pomůže při objasňování dalších témat. Dále si řekneme něco o aplikacích grafů a především jakým způsobem je lze prohledávat. Další témata jsou již důležitá z pohledu aplikací, kdy hledáme například nejkratší z možných cest. Celá prezentace je omezena trváním, proto se zabývá pouze jednoduchými aplikacemi a úlohami. Výklad těžkých úloh je již nad tento rámec. Teorie grafů - Michal Brejcha

Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem nebo bodem v grafu. Hrana grafu: {množina E} Reprezentuje spojení jednotlivých vrcholů. Toto spojení vyjadřuje nějaký vztah mezi vrcholy. Nejprve základní pojmy. Vrcholem grafu je nějaké styčné místo, tj. místo, kde se stýkají hrany. Je místem, kde se můžete v grafu „zastavit“ a kde si vybíráte, kudy se vydáte dál. Každý vrchol je nějakým způsobem pojmenován nebo značen například číslem, aby jej bylo možné jednoznačně určit. Jinak je na tom hrana, která symbolizuje jednotlivá spojení mezi vrcholy. Pokud hrana mezi vrcholy neexistuje, nemůžete se mezi danými vrcholy pohybovat. Vztah incidence vyjadřuje zobrazení, které každé hraně přiřazuje jednoprvkovou nebo dvouprvkovou množinu vrcholů. Pokud je hrana orientovaná, pak se jedná vždy o dvojici a tato dvojice je uspořádaná. I hrana může být značena, ale v tomto případě toto značení v převážné míře vyjadřuje spíše, jak uvidíme dále, vlastnosti dané hrany. Teorie grafů - Michal Brejcha

Základní pojmy Orientovaný a neorientovaný graf V orientovaném grafu jsou vždy orientované hrany, tj. hrany s definovaným počátečním a koncovým vrcholem. V neorientovaných grafech se lze pohybovat přes hrany oběma směry. Hrany i vrcholy jsou v četných aplikacích ohodnoceny Podle typu hran rozlišujeme dva základní druhy grafů. Orientovaný graf obsahuje orientované hrany, které vyjadřují směr pohybu grafem a jejich orientace se značí obvykle šipkou. V některých případech na orientaci hran nezáleží, tehdy se můžeme pohybovat oběma směry přes hrany a pak se jedná o neorientovaný graf. Každý graf je definován trojicí: množina vrcholů, množina hran a vztah incidence, tj. vztahem mezi nimi. Velmi často používáme ohodnocený orientovaný nebo neorientovaný graf. Tyto grafy se odlišují tím, že jejich vrcholům nebo hranám jsou přiřazeny nějaké obvykle číselné hodnoty. Ty mohou reprezentovat například vzdálenosti jednotlivých vrcholů, pravděpodobnost výběru dané hrany apod. Ohodnocený orientovaný (neorientovaný) graf Teorie grafů - Michal Brejcha

Základní pojmy Sled: Orientovaný v1, e1, v2, e2, v3, e5, v4 Neorientovaný v2, e3, v3, e5, v4, e6, v1 Není sledem v1, e2, v3, e5, v2, e1, v4 Posloupnost vrcholů a hran jak jdou za sebou. Sled je posloupnost vrcholů a hran, které následují po sobě a navazují na sebe. Takový sled je orientovaný, pokud předcházející vrchol hrany je jejím počátečním vrcholem a následující vrchol je jejím koncovým vrcholem (orientovaná hrana). Pokud tak tomu není, jedná se o sled neorientovaný. Hrany i vrcholy se mohou ve sledu opakovat. Teorie grafů - Michal Brejcha

Základní pojmy Tah Sled, kde se neopakují hrany Cesta Sled, kde se neopakují vrcholy Kořenový strom - orientovaný graf, kde existuje vrchol r (kořen), ze kterého jsou všechny vrcholy dostupné a nevede do něj žádná hrana. Pokud se ve sledu neopakují hrany, pak tento sled nazýváme orientovaným nebo neorientovaným tahem. Pokud se ve sledu neopakuje žádný vrchol pak jej nazýváme orientovanou nebo neorientovanou cestou. Jako poslední se ještě zmíníme o grafu jménem kořenový strom. Tento graf je snad nejpoužívanější hlavně z důvodů jeho jednoduché hierarchické struktury, kterou pochopí i člověk, který se grafy nezabývá. V kořenovém stromě je vždy jeden význačný vrchol, do kterého nevede žádná hrana a z něhož jsou dosažitelné všechny ostatní vrcholy a do každého jiného vrcholu vede přesně jedna hrana. Teorie grafů - Michal Brejcha

Speciální pojmy Hamiltonovská cesta: Cesta, která projde všemi vrcholy a každým pouze jedenkrát (turista). Eulerův tah: Tah, který projde všemi hranami a každou pouze jedenkrát (sedm mostů v Königsbergu). Teorie grafů - Michal Brejcha

Popis grafu Incidenční maticí – orientace hran (+1, -1) Matice sousednosti – počet hran mezi sousedy Spojové seznamy – seznamy následníků Matice délek – délka hrany mezi vrcholy (i,j) Matice vzdáleností Popis grafu zde uvádím pro úplnost výkladu, my jej v této přednášce nebudeme potřebovat. Teorie grafů - Michal Brejcha

Úlohy s grafy Grafické znázornění úlohy je názorné a v jednoduchých případech lze odhalit řešení i bez použití jakéhokoliv algoritmu. Úloha pro převozníka: Vlk, koza, zelí Výhody kreslení grafů si ukážeme na úloze převozníka, který musí převézt na druhý břeh vlka, kozu a zelí. Do loďky se s ním vejde vždy jen jeden z nich a pokud by byly na břehu spolu sami, tak by se navzájem požrali. Pochopitelně vlk a zelí se navzájem neohrožují. Převozník chce vědět, zda je převoz vůbec možný a jaké má možnosti. Při řešení takové úlohy si nejprve nakreslíme možnosti, které mohou nastat jako vrcholy. Vrcholy, které nesmí nastat je pochopitelně zbytečné kreslit. Následuje nakreslení hran, budou to hrany neorientované, protože převozník může každou akci vrátit. Teorie grafů - Michal Brejcha

Vlk, koza, zelí Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání grafů Úkolem prohledávání je hledání cesty z daného výchozího vrcholu do jednotlivých vrcholů grafu. To může pomoci i při vytváření grafu pro danou úlohu. Tři způsoby prohledávání: Značkování vrcholů Prohledávání do šířky Prohledávání do hloubky Co je to prohledávání a proč jej děláme? U řešení úloh pomocí grafů je zpravidla vždy důležité určit zda je daný cílový vrchol dostupný případně orientovaně dostupný z daného počátečního vrcholu. Například mě může zajímat, jestli se dostanu z nádraží domů, když pojedu pouze po cyklo-steskách. Navíc někdy bývá obtížné pro některé úlohy vůbec stanovit kompletní graf, protože návaznost jednotlivých vrcholů je příliš složitá. V takovém případě nám opět pomohou postupy prohledávání, například abychom zakreslili všechny hrany, které lze využít při postupu z daného vrcholu a nezakreslovali zbytečně ty hrany, které při tomto postupu nepoužijeme. To nám úlohu jen usnadní a zpřehlední. My se budeme zabývat třemi způsoby a to nejprve tím nejjednodušším, kterým je značkování vrcholů a poté prohledáváním grafu do šířky a do hloubky. Teorie grafů - Michal Brejcha

Značkování vrcholů Vrcholům přiřazujeme značky, pokud vrchol značku má, pak do něj vede cesta z daného výchozího vrcholu => vyjadřuje možnost Výsledek lze převézt na kořenový strom, pokud zaznamenáme každou použitou hranu a její počáteční a koncový vrchol. U neorientovaných grafů má tato metoda malý význam (pouze u velmi složitých, kde není zřejmé propojení jednotlivých vrcholů částí grafu). Jak už bylo řečeno, jedná se o tu nejjednodušší metodu prohledávání grafu. Značkováním zjišťujeme, zdali vede nějaká cesta z počátečního vrcholu, do ostatních vrcholů. Používá se v případech velmi složitých orientovaných grafů a jejím výsledkem je kořenový strom, pokud zaznamenáváme počáteční a koncový vrchol dané hrany. Teorie grafů - Michal Brejcha

Značkování vrcholů U takto složitého grafu je těžké určit, kterých vrcholů můžeme dosáhnout a kterých ne. Naším výchozím bodem je ten červený. Algoritmus spočívá v tom, že si vybereme jakoukoliv hranu, která začíná v označeném vrcholu a pokud její koncový vrchol není označený, tak jej označíme atd. dokud nám zbývají takové hrany. Teorie grafů - Michal Brejcha

Značkování vrcholů Označíme další Teorie grafů - Michal Brejcha

Značkování vrcholů Vše Teorie grafů - Michal Brejcha

Značkování vrcholů Vlastnosti: Odpovídá na otázku: „Je možné?“ Jednoduchý algoritmus Malé časové nároky: max V(G) – 1 Nelze jej použít při hledání cest s určitými vlastnostmi (nejkratší, nejdelší). Vlastnosti algoritmu Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání grafu do šířky
Teorie grafů - Michal Brejcha Prohledávání grafu do šířky Algoritmus lze přirovnat ke štěpné reakci. Probíhá tak, že počátečnímu vrcholu označíme všechny následníky, pak označíme následníky následníků atd. Metoda vede k nalezení nejkratší cesty, za předpokladu, že hrany mají stejnou hodnotu => nejmenší počet tahů. Prohledávání do šířky je trochu náročnější postup. Algoritmus spočívá v tom, že po hladinách označujeme (zaplavujeme) jednotlivé vrcholy. Výhodou tohoto postupu je, že pokud jsou všechny hrany stejně ohodnoceny, získáme soustavu nejkratších cest do jednotlivých vrcholů. Opět platí, že označujeme pouze neoznačené vrcholy. Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání do šířky Postup si ukážeme na úloze šachového koníka. Otázkou je, zda se ze své pozice může dostat na všech 16 polí a pokud ano, je třeba najít nejmenší počet tahů. Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání do šířky Zaplavíme (označíme) první hladinu možných přeskoků. Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání do šířky Zaplavíme (označíme) další hladinu možných přeskoků. Je nutné postupovat systematicky po jednotlivých vrcholech, abychom neopomenuli nějaký skok. Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání do šířky Zaplavíme (označíme) další hladinu možných přeskoků. Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání grafu do šířky
Teorie grafů - Michal Brejcha Prohledávání grafu do šířky Vlastnosti: Podobné časové nároky jako v případě značkování vrcholů: max V(G) – 1 Získáme kořenový strom s nejmenším počtem úrovní Vlastnosti algoritmu Teorie grafů - Michal Brejcha

Prohledávání do hloubky
Teorie grafů - Michal Brejcha Prohledávání do hloubky Podobá se průzkumu neznámých tras. Je základem pro další metody. Jdeme do hloubky grafu kam až můžeme a pak se vracíme a hledáme odbočky, kterými lze dále pokračovat. Algoritmus je časově náročnější než oba předešlé, avšak jeho úpravou a zaznamenáváním jednotlivých tras jej lze využít pro hledání cest splňujících nějakou speciální podmínku. Například cesta začínající v r a obsahující všechny vrcholy =Hamiltonovská cesta Tato metoda je základní metodou pro práci s grafy. Její význam je zřejmý až v širší teorii grafů, zde si však ukážeme jen jedno její užitečné použití. Algoritmus vypadá tak, že postupujeme do vnitřku grafu dokud můžeme. Pak se vracíme a hledáme hrany ve vrcholech, které jsme minuly a jimi jdeme opět nejdál kam můžeme. Teorie grafů - Michal Brejcha

Návštěvník zábavního parku
Teorie grafů - Michal Brejcha Návštěvník zábavního parku Chce se dostat na všechny atrakce Atrakce jsou spojeny elektrickým vláčkem Žádné nádraží nechce navštívit dvakrát Příkladem může být návštěvník zábavního parku, který chce vidět všechny atrakce, ke kterým se dostane pomocí elektrického vláčku. Na žádném nádraží však nechce být dvakrát, aby neztrácel čas zbytečným čekáním na další vláček. Teorie grafů - Michal Brejcha

Teorie grafů - Michal Brejcha Návštěvník zábavního parku Naplánuje jednu trasu a kouká kam až dojde. Označí si koncový vrchol a vrchol, který mu zabránil v cestě. Návštěvník si naplánuje trasu dokud nedojde do koncového bodu. Pokud jej najde, označí jej, a označí také vrchol, který způsobil cyklus (pokud takový existuje a není jím počáteční vrchol). Teorie grafů - Michal Brejcha

Teorie grafů - Michal Brejcha Návštěvník zábavního parku Vrací s e zpět, až k prvnímu vrcholu, kde může odbočit. Označí hranu, kterou se vrátil. Pokud narazí na další koncový bod, vrátí se až za nejbližší vrchol, který působí konec a začne hledat znovu Pak se vrací stejnou cestou zpět až k první odbočce a zde hranu, kterou se vrátil označí jako slepé rameno. Hledá další koncový bod. Pokud najde jiný koncový bod, znamená to, že tato cesta má dvě slepá ramena, vrátí se tedy až za nejbližší vrchol působící konec a pokusí se hledat znovu, s tím, že hranu kterou se vrátil opět označí. Tento krok je velmi logický, protože nemůžete končit ve dvou vrcholech. Teorie grafů - Michal Brejcha

Teorie grafů - Michal Brejcha Návštěvník zábavního parku Tak postupuje stále dokola, dokud mu na samém začátku zbývají nějaké neoznačené cesty. Teorie grafů - Michal Brejcha

Teorie grafů - Michal Brejcha Návštěvník zábavního parku Nic Teorie grafů - Michal Brejcha

Teorie grafů - Michal Brejcha Návštěvník zábavního parku Je důležité poznamenat, že ten vrchol, který je poslední a ukazuje na začátek naší cesty, musí být i poslední pokud existuje celý okruh přes všechny vrcholy. Pokud takové vrcholy najdeme dva, tak Hamiltonovská cesta neexistuje. Teorie grafů - Michal Brejcha

Eulerův tah Uzavřený:  Vrátíme se do stejného vrcholu Otevřený:  Skončíme v jiném vrcholu Teorie grafů - Michal Brejcha

Eulerův tah Uzavřený: Neorientovaný – vrcholy mají sudý stupeň Orientovaný – počet vstupních hran je stejný jako počet výstupních Otevřený: Neorientovaný – obsahuje právě dva vrcholy s lichým stupněm Orientovaný – stejně jako neor. + do jednoho vrcholu musí hrana vcházet, z druhého vycházet. Teorie grafů - Michal Brejcha

Eulerův tah Sedm mostů v Königsbergu Musí se začít ve spodních vrcholech! Oblíbená hvězda, kterou nelze nakreslit jedním tahem. Elerův důkaz, že všechny mosty nelze projít v jednom tahu je pokládán za počátek teorie grafů. Teorie grafů - Michal Brejcha

Nejkratší cesty Úloha: najít nejkratší cestu z daného výchozího vrcholu do daného cílového vrcholu z daného výchozího vrcholu do každého vrcholu z každého vrcholu do daného cílového vrcholu mezi všemi uspořádanými dvojicemi Lze vynechat smyčky a rovnoběžné hrany Zde jsou uvedeny úlohy pro nejkratší cesty. My se budeme zabývat pouze úlohou najít nejkratší cestu z daného vrcholu do každého vrcholu grafu. V případě, že se v našich grafech budou vyskytovat smyčky tak je vynecháme a z rovnoběžných hran vybereme vždy tu nejkratší. Teorie grafů - Michal Brejcha

Nejkratší cesty Aby byla úloha řešitelná, nesmí graf obsahovat záporný cyklus. Pokud jej obsahuje, lze zkracovat vzdálenost do nekonečna. Platí trojúhelníková nerovnost. Musíme počítat s tím, že graf neobsahuje záporný cyklus, protože v takovém případě, by bylo možno zkracovat vzdálenosti do nekonečna. Odtud plyne, že mezi vzdálenostmi tří sousedních vrcholů musí platit trojúhelníková nerovnost. Teorie grafů - Michal Brejcha

MATICE DÉLEK Charakterizuje délky hran mezi jednotlivými vrcholy. Definice: aii= 0, aij= délka hrany mezi vrcholy i a j; Pokud zde hrana nevede, pak značím nekonečno. Teď si řekneme o dvou důležitých maticích, které nám usnadňují práci při hledání nejkratších cest. První je matice délek, jejíž definice je taková, že její prvky určují délku hrany vedoucí z vrcholu i do vrcholu j. Teorie grafů - Michal Brejcha

MATICE VZDÁLENOSTÍ Charakterizuje vzdálenosti jednotlivých vrcholů. Definice: uii= 0, uij= vzdálenost mezi vrcholy i a j; Pokud do vrcholu j nevede cesta z i pak je uij rovno nekonečnu. Matice vzdáleností naproti tomu určuje již vzdálenosti konkrétních vrcholů. Teorie grafů - Michal Brejcha

MATICE VZDÁLENOSTÍ Matice vzdáleností je přímo maticí nejkratších cest. Pokud nás nezajímá kudy cesta vede, lze použít k jejímu výpočtu následující způsoby: Upravené násobení matic Floydův algoritmus Naším prvořadým cílem je určit matici vzdáleností. To můžeme učinit dvěma možnými způsoby, které jsou si provedením velmi podobné a proto budeme dále vysvětlovat pouze Floydův algoritmus, který je rychlejší a elegantnější než upravené násobení matic. Teorie grafů - Michal Brejcha

MATICE VZDÁLENOSTÍ Floydův algoritmus: Podmínka: Vyjdeme z matice délek a postupujeme po diagonále. Celý algoritmus vychází z trojúhelníkové nerovnosti, kde doplňujeme ty prvky, tak aby byla splněna. Takto postupujeme, dokud neslezeme po diagonále až nakonec. Pokud bychom hledali nejdelší cestu, pak by stačilo obrátit znaménka v matici. Teorie grafů - Michal Brejcha

MATICE VZDÁLENOSTÍ Příklad: Minimální náklady na dopravu zboží Příklad grafu a použití Floydova algoritmu. Představme si, že děláme ekonomickou analýzu přepravy zboží a hledáme nejnižší náklady na tuto přepravu, abychom sestavily plán proveditelnosti, který počítá s minimálními náklady. Teorie grafů - Michal Brejcha

MATICE VZDÁLENOSTÍ Příklad: Minimální náklady na dopravu zboží Tady jsou již vypočteny náklady na dopravu do jednotlivých měst a pokud uděláme sumy nákladů, můžeme určit nejvhodnější město pro centrálu přepravy. Teorie grafů - Michal Brejcha

Konstrukce nejkratších cest
Teorie grafů - Michal Brejcha Konstrukce nejkratších cest Není vždy žádoucí určovat celou matici (paměť počítače), chceme jen řádek týkající se našeho výchozího bodu. Chceme vědět, kudy nejkratší cesta vede. Možnosti: Ve Floydově algoritmu přibude matice Q(i,j), informující o vrcholu těsně následujícím za vrcholem i při cestě z i do j. Algoritmus s opakovanou kontrolou všech hran Ne pokaždé chceme určit celou matici, většinou potřebujeme jen její jeden řádek. Často však bývá ještě žádoucí vědět, kudy daná nejkratší cesta vede. K tomu nám může při Floydově algoritmu pomoci další matice, do které při změně hodnoty některé vzdálenosti zapíšeme na danou pozici číslo vrcholu, který tuto změnu způsobil (vrchol i,k). Druhým způsobem je použití algoritmu opakované kontroly všech hran, který navíc určuje jen jeden řádek matice. Teorie grafů - Michal Brejcha

Opakovaná kontrola všech hran
Teorie grafů - Michal Brejcha Opakovaná kontrola všech hran Podmínka: Výpočet končí, pokud po průchodu všemi hranami nedošlo k žádné změně U. Zápis provádíme nejlépe formou tabulky, kde každému Kv(e) náleží dva sloupce: U(Kv(e)), odkud(Kv(e)) Na začátku si nadefinujeme vrchol, ze kterého hledáme nejkratší cesty. Pak procházíme všechny hrany, a pokud nalezneme takovou, že zkrátí cestu do svého koncového vrcholu, tak změníme hodnotu vzdálenosti tohoto vrcholu a do sloupečku odkud zapíšeme počáteční vrchol hrany, která zkrácení způsobila. Teorie grafů - Michal Brejcha

Kritická cesta Příklad: Chceme najít nejdelší cestu z vrcholu 0 do vrcholu 5. Cesta s nejdelšími časovými nároky Vše si názorně ukážeme na problému nalezení kritické cesty. Tentokráte hledáme tu nejdelší cestu, proto všem hranám přiřadíme záporná čísla. Teorie grafů - Michal Brejcha

Hledání kritické cesty
Teorie grafů - Michal Brejcha Hledání kritické cesty Zde je uveden postup pro prví krok hledání kritické cesty. Teorie grafů - Michal Brejcha

Hledání kritické cesty
Teorie grafů - Michal Brejcha Hledání kritické cesty Tady je druhý krok, ve kterém již neproběhla žádná změna. Teorie grafů - Michal Brejcha

Závěrem Použití grafů je názornou pomůckou při řešení složitých problémů. Složitá řešení se zpravidla již neobejdou bez použití výpočetní techniky. Byl to jen letmý úvod, grafy se dále zabývají toky, hledání cyklů, nejlevnějších tahů, úlohami o párování… Děkuji za pozornost Grafy lze využít k řešení složitých problémů názornou cestou, avšak zde jsme probírali jen ty nejjednodušší algoritmy a úlohy. Složitější již vyžadují použití výpočetní techniky. Teorie grafů - Michal Brejcha

Zdroje Demel Jiří, GRAFY a jejich aplikace, Academia, Praha 2002 Šeda Miloš, Teorie grafů, skripta VUT Brno, Brno 2003 Teorie grafů - Michal Brejcha

Základní teorie grafů a její aplikace

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Základní teorie grafů a její aplikace"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář

Přihlásit se

Přihlásit se přes sociální síť:

Základní teorie grafů a její aplikace

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Základní teorie grafů a její aplikace"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář