nerozvinutelné (zborcené) Zborcený rotační hyperboloid.

Prezentace na téma: "nerozvinutelné (zborcené) Zborcený rotační hyperboloid."— Transkript prezentace:

1 nerozvinutelné (zborcené) Zborcený rotační hyperboloid.
9.přednáška Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné (zborcené) Zborcený rotační hyperboloid.

2 Literatura: Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1999 Doležal, M. - Poláček, J. – Tůma,M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Rotační a šroubové plochy. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1995. Elektronické studijní materiály Internet

3 Pojmy: rozvinutelná přímková plocha zborcená přímková plocha
šroubový torzus kuspidální bod torzální přímka přímkové reguly

4 Vlastnosti rozvinutelných ploch
Rozvinutelné plochy jsou přímkové plochy, které mají ve všech bodech téže tvořící přímky stále stejnou (jedinou) tečnou rovinu. Tečná rovina se tedy dotýká plochy podél její tvořící přímky. Jediné rozvinutelné plochy jsou rovina, válcové plochy, kuželové plochy a plochy tečen prostorových křivek (např. šroubový torzus, což je plocha tvořená tečnami šroubovice).

5 Šroubový torzus Každou rozvinutelnou plochu lze rozvinout do roviny
(komplanovat). Komplanací (rozvinutím) plochy do roviny rozumíme takovou spojitou deformaci plochy v rovinu, při které se zachovávají délky křivek (tzn. i velikosti úhlů).

6 Vlastnosti zborcených (nerozvinutelných) ploch:
Zborcená plocha je taková přímková plocha, na které je v každém bodě jediné tvořící přímky jiná tečná rovina. Tzn., že při pohybu bodu T po tvořící přímce p se tečné roviny otáčí kolem přímky p a vytvoří tak svazek tečných rovin s osou v tvořící přímce p.

7 Nerozvinutelnou (zborcenou) přímkovou plochu vytvoří například přímka, která při svém pohybu stále protíná tři řídící křivky nebo se dotýká tří řídících ploch. Zborcená plocha vznikne např. i při rotaci přímky kolem osy, která je s ní mimoběžná (zborcený hyperboloid) nebo šroubovým pohybem (šroubové přímkové plochy).

8 Torzální přímka Pokud ve všech bodech tvořící přímky na zborcené ploše je stále stejná tečná rovina, pak je tato přímka torzální přímkou plochy a tečná rovina je torzální tečná rovina.

9 Kuspidální bod: Bod na torzální přímce, ve kterém existuje ještě jiná tečná rovina než torzální, se nazývá kuspidální bod. Kuspidální body plochy určené třemi řídícími křivkami mohou ležet jen na těchto křivkách. Pokud jsou na přímkové ploše všechny přímky torzální, pak se jedná o plochu rozvinutelnou.

10 Vytvoření a základní vlastnosti zborceného rotačního hyperboloidu
Rotační jednodílný hyperboloid lze také vytvořit rotací přímky kolem osy, která je s ní mimoběžná. Vyplývá to z rovnice této kvadriky:

11 Tvořící hyperbola v bokorysně  = (y,z), tzn. x = 0 , má rovnici:

12 Tečná rovina  v bodě H (a,0,0) hrdelní
kružnice má rovnici x = a a protne hyperboloid ve dvou přímkách o rovnicích: přímka p: x = a, přímka q: x = a, viz. model

13 Tyto přímky mají společný bod H
Tyto přímky mají společný bod H. Tato dvojice přímek je souměrná podle půdorysny (obecně roviny hrdelní kružnice) i podle nárysny (roviny meridiánu). Zjistili jsme, že na jednodílném rotačním hyperboloidu leží dvě přímky. Protože je to rotační plocha, pak na ploše leží i každá otočená poloha těchto přímek. Jednu soustavu přímek – přímkový regulus – vytvoří při rotaci přímka p, druhou přímka q.

14 Pro oba reguly přímek na jednodílném rotačním hyperboloidu platí:
Všechny přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné. Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu až na jednu, se kterou je rovnoběžná. Přímky opačných regulů určují ve svém průsečíku tečnou rovinu plochy. Rovnoběžné přímky obou regulů jsou souměrné podle roviny jdoucí osou o plochy. Rovnoběžné přímky obou regulů určují asymptotickou rovinu. Každý z obou regulů lze vytvořit kolmou souměrností z druhého podle roviny libovolného meridiánu nebo podle roviny hrdelní kružnice.

15 Rotační hyperboloid je zborcenou (nerozvinutelnou) přímkovou plochou, protože tečné roviny v bodech jedné tvořící přímky tvoří svazek rovin s osou v této přímce (je to společná přímka všech těchto tečných rovin).

16 Příklad : V Mongeově promítání zobrazte zborcený hyperboloid vytvořený rotací přímky a = AB kolem osy o . Plochu omezte rovnoběžkami bodů A a B a v bodě T plochy sestrojte její tečnou rovinu. [ A ( -1;11;0 ), B ( 5;4;10 ), o1 ( 0;6 ), T( 0,5 ;?;? ), T leží na AB ] Příklad – zobrazení zborceného hyperboloidu v MP.

17