Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky"— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 02 Množiny, relace

2 O čem budeme hovořit: Rovnost a inkluse množin Operace s množinami
Vlastnosti množin Vázané kvantifikátory Kartézský součin množin Binární relace v množinách

3 Rovnost a inkluse množin

4 Co to jsou množiny? Intuitivně se pojem množiny zavádí tak, že je to:
soubor určitých objektů, u kterého je možné rozhodnout, zda libovolně zvolený objekt do souboru patří či nepatří. Příklady: Množinu můžeme určit výčtem jejích prvků: například { 1; a; # }. Množinu můžeme určit charakteristickou vlastností jejích prvků: například { x; x > 100 }.

5 Kdy se dvě množiny sobě rovnají? Kdy jsou ve vztahu inkluse?
Aby byly množiny A , B sobě rovny, musí se skládat z týž prvků, tedy definujeme: A = B  (x) x A  x  B Aby byla množina A „částí“ množiny B, musí být každý prvek množiny A také prvkem množiny B, proto definujeme: A  B  (x) x A  x  B

6 Věta o rovnosti množin A  B  B  A  A = B
Inklusi si představíme snadno: fakt, že množina A je „částí“ množiny B, přesněji množina A je podmnožinou množiny B, znázorníme takto: Zřejmě platí tato věta: A  B  B  A  A = B Jak jí dokážeme?

7 Operace s množinami

8 Průnik množin Průnik množin A, B bude budeme označovat A  B . Je to množina takových prvků, které náleží oběma těmto množinám. Definice x  A  B  x  A  x  B A  B = { x ; x  A  x  B }

9 Sjednocení množin Sjednocení množin A, B bude budeme označovat A  B . Je to množina takových prvků, které náleží alespoň jedné z těchto množin. Definice x  A  B  x  A  x  B A  B = { x ; x  A  x  B }

10 Rozdíl množin Rozdíl množin A, B bude budeme označovat A  B . Je to množina takových prvků, které náleží první množině, ale zároveň nenáleží druhé množině. Definice x  A  B  x  A  x  B A  B = { x ; x  A  x  B }

11 Univerzální třída a prázdná množina
Třída, která obsahuje všechny myslitelné objekty se označuje V a nazývá se univerzální třída . Množina, která neobsahuje žádný prvek, se označuje  a nazývá se prázdná množina . Definice x  V  x = x x    x  x V = { x ; x = x }  = { x ; x  x }

12 Doplněk množiny A = { x ; x  A }
Rozdíl V  A budeme nazývat doplňkem množiny A a označovat A . Doplněk množiny obsahuje všechny prvky, které do původní množiny nepatří. Definice x  A  x  A A = { x ; x  A }

13 Vlastnosti množin

14 Jak dokazovat věty o vlastnostech množin?
Dokažme například větu: A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) Máme dvě možnosti. 1) Problém můžeme převést podle definic na tautologii: (x) x A  ( B  C )  x ( A  B )  ( A  C ) atd. 2) Užijeme tzv. Vennovy diagramy:

15 Důležité věty o vlastnostech množin
A  B = B  A ( A  B )  C = A  ( B  C ) A  B = B  A ( A  B )  C = A  ( B  C ) ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) A = A  A = A  A = A  V = A   = A    ( A  B ) = (  A )  (  B )  ( A  B ) = (  A )  (  B ) A  B  A A  A  B A  B  B B  A  B A  B  A  B = A A  B  A  B = B

16 Vázané kvantifikátory

17 Vázané kvantifikátory
V matematice často používáme nejenom formule (x)  (x) nebo (x)  (x) ale také formule tvaru (xA)  (x) nebo (xA)  (x) . Jejich význam je tento: (xA)  (x)  (x) xA   (x) (xA)  (x)  (x) xA   (x) Rozmyslete si, jak se negují vázané kvantifikátory! Zjistěte, zda jsou vázané kvantifikátory vůči některým logickým spojením „distributivní“!

18 Kartézský součin množin

19 Uspořádané dvojice V matematice často pracujeme s pojmem uspořádaná dvojice. (Setkali jste se s ním například u souřadnic bodů v rovině.) Jsou-li dány objekty, například a, b, c, d, e , můžeme z nich vytvářet uspořádané dvojice, například: a;b] , a;c] , b;d] , d;b] , c;b] , e;e] , atd. V uspořádaných dvojicích je podstatné, který objekt je prvním členem dvojice, a který objekt je druhým členem dvojice.

20 Kartézský součin tříd (množin)
Definice: Pro každé dvě třídy (množiny) A, B definujeme jejich kartézský součin A  B takto: A  B = { a;b ; aA  bB } Příklad: Pro množiny K = {a;b;c}, L = {1;2} jsou kartézské součiny tohoto tvaru: K  L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 } L  K = { 1;a; 1;b; 1;c; 2;a; 2;b; 2;c }

21 Představa kartézského součinu
Z množin K = {a;b;c}, L = {1;2} je vytvořen kartézský součin: K  L = { a;1; a;2; b;1; b;2; c;1; c;2 }

22 Důležité věty o kartézském součinu
A  B  B  A K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B) K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B) K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B) K   =   K =  A  B  K  A  K  B

23 Binární relace v množinách

24 Binární relace v množinách A, B
Definice: Množinu R nazýváme binární relací v množinách A, B právě tehdy, když R  A  B . Binární relace znázorňujeme spojnicovými nebo kartézskými grafy.

25 Úmluvy o zápisech Jestliže platí x R y , zapisujeme to x  y  R .
Příklady: Protože platí 2 < 3 , zapisujeme to 2  3  < . Protože platí 5  5 , zapisujeme to 5  5   . Protože platí 3  9 , zapisujeme to 3  9   . Protože neplatí 8 < 3 , zapisujeme to 8  3  < . Protože neplatí 4  7 , zapisujeme to 4  7   .

26 První a druhý obor relace R
Definice: Nechť je dána relace R  A  B . Prvním oborem relace R nazýváme množinu ⃞R = xA  (yB) x R y , druhým oborem relace R nazýváme množinu R ⃞ = yB  (xA) x R y . Jak určíme oba obory z grafů relace R ?

27 Inverzní relace R-1 k relaci R
Definice: x R-1 y platí právě tehdy, když y R x . Tedy x  y  R-1 právě tehdy, když y  x  R . Z toho plyne, že je-li R  A  B , pak R-1  B  A . Příklady: Binární relace > je inverzní k binární relaci < . Binární relace „být dělitelem“ je inverzní k binární relaci „být násobkem“ . Jak vypadají grafy inverzní relace?

28 Doplňková relace –R k relaci R
Definice: x (–R) y platí právě tehdy, když neplatí x R y . Tedy x  y  (–R) právě tehdy, když x  y  R . Příklad: Binární relace  je doplňková k binární relaci > . Jak vypadají grafy doplňkové relace?

29 Relace složená z dvou relací R a S
Definice: Nechť jsou dány relace R a S. x R⃝S y platí právě tehdy, když (z) x R z  z S y. Příklad: Binární relace „být babičkou z otcovy strany“ je složená relace z binárních relací „být matkou“ a „být otcem“ . Jak zkonstruovat grafy složené relace?

30 Co je třeba znát a umět? Vztahy rovnosti a inkluse množin,
definice a vlastnosti množinových pojmů (průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk), důkazy vlastností pomocí logických tautologií či Vennových diagramů, vázané kvantifikátory, kartézský součin množin a jeho vlastnosti, pojem binární relace v množinách, spojnicový a kartézský graf relace, obory relace, inverzní, doplňkové a složené relace.

31 Děkuji za pozornost