Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků

Prezentace na téma: "Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků"— Transkript prezentace:

1 Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků
Daniel Traub, T4C Mocniny, odmocniny Pravidla pro počítání Částečné odmocňování Usměrňování zlomků

2 Mocnina a historie Již u starověkých řeků ( geometrické úlohy)
Druhá a třetí mocnina Heron z Alexandrie –čtvrtá mocnina Diofantos z Alexandrie (konec 3. stol. n. l.) šestá mocnina Vliv indické matametiky René Descartes (1596 až 1650), fran. Matem. dílo Géométire (1637), zaveden souč. zápis

3 Umocňování Matematická funkce, vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násebení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

4 Umocňování V tomto vzorci se a označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je n-tá mocnina čísla a, a na n-tou. Speciálním případem prázdného součinu je a0 = 1 (pro a > 1).  (pro  Když nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také a**b.

5 Zobecnění funkce Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro přirozené exponenty. Záporné exponenty označují mocninu převráceného čísla: Zobecnění pro racionální exponent:

6 Zobecnění funkce Mocniny s komplexními exponenty jsou definovány následujícím způsobem: Je-li s reálnými čísly a, b, r > 0 a φ, pak platí

7 Pravidla pro počítání a0 = 1 pro a ≠ 0 (pro 00 viz dále) Umocňování není obecně komutativní (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

8 Rychlost růstu Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji rostoucích běžně používaných funkcí. List papíru se nechá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi sedmkrát. Výsledkem je 128 (27) vrstev papíru. Pokud by (teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na Měsíc. Každý člověk má dva biologické rodiče, čtyři prarodiče, osm praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento rodokmen dále, dejme tomu 70 generací, dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista. V tomto případě počet předků každého člověka představuje 270 =  180 591 620   303 424 lidí. To výrazně přesahuje počet všech dosud žijících lidí.

9 0 na 0-tou Obecně není výraz 0 na 0ltou definován
Limita v tomto tvaru je tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např. L'Hôpitalovo pravidlo) Dvojí pohled 1) funkce x0, všude (kromě nuly) = 1 , je možno ji v nule dodef. stejně a klade se 00  = 1. 2) funkce 0x, všude (kromě nuly) nulová, takže se v nule dodefinuje 00  = 0. Běžně hlavně první definice, 00  = 1. Pro použití první definice několik závažných důvodů, mezi nejdůležitější patří binomická věta, pro jejíž obecnou platnost je tato definice vyžadována.

10 Algoritmus výpočtu druhé mocniny
umocníme dvěma první číslici, k dvojnásobku čísla zapsaného první číslicí připíšeme druhou číslici a vzniklé číslo násobíme touto druhou číslicí, k dvojnásobku čísla zapsaného prvními dvěmi číslicemi připíšeme třetí číslici a vzniklé číslo násobíme třetí číslicí, dále pokračujeme v načatém algoritmu, součin každého dalšího řádku píšeme o dvě místa vpravo. Příklad:

11 Odmocnina a historie Objev Pythagorovy věty pomohl zjistit, že úhlopříčka čtverce není vyjádřitelná racionálními hodnotami, tj. že její délku není možné vyjádřit jako celé nebo lomené číslo. Tento objev způsobil velký nesoulad v tehdejších řeckých filozofických a matematických poznatcích. Nemáme bezpečnou zprávu o tom, jak Archimédes (asi 287 – 212 před n. l.) určoval druhé odmocniny ve svých výpočtech. Používal pravděpodobně, stejně jako Heron, přibližnou hodnotu podle vzorce Tento způsob odmocňování znali prý už Babyloňané. Znak odmocniny se objevil na konci 15. století. Současný znak se začal používat už Simon Stevin (1548 – 1620) a Albert Girard (1595 – 1632) na konci 16. století a poupátkem 17. století.

12 Odmocňování Odmocňování jako inverzní operace k umocňování
Nechť n  je libovolné přirozené číslo,  a  nezáporné číslo, pak takové (jediné) nezáporné číslo  b,  pro které platí bn = a , se nazývá n – tá odmocnina čísla  a. Zapisujeme   Číslu  se říká základ odmocniny (nebo odmocněnec) a číslu  n  odmocnitel. Je-li   Je-li a > 0 ,je pro každé Speciálně pro n=2 píšeme jen pro každé reálné číslo a platí Neboť pro a >= 0 je , avšak pro a < 0 je Zobecnění: Pro každé sudé přirozené číslo  n  a každé reálné číslo a  platí     .  je 

13 Vzorce pro počítání s odmocninami
Pro m,n … přirozená čísla, a >= 0 Vzorec lze rozšířit na libovolný konečný počet odmocnin s týmž odmocnitelem: Pro m,n … přirozená čísla, a >= 0, b > 0 Pro n,o … přirozená čísla, a >= 0

14 Částečné odmocňování Ze vzorců plyne že je Pro každé
Této úpravě se říká částečné odmocňování  a  obrácené úpravě převedení činitele  a  do odmocněnce. 

15 Algoritmus výpočtu druhé odmocniny
odmocněnce rozdělíme na dvojčísli zprava doleva, při desetinném čísle na dvojčísli od desetinné čárky doprava i doleva, první číslici odmocniny dostaneme odmocněním prvního dvojčíslí od prvního dvojčíslí odečteme druhou mocninu první číslice odmocniny a k rozdílu připíšeme další dvojčíslí v dělenci zatrhneme poslední místo a zbylé číslo dělíme dvojnásobkem dosavadního výsledku, výsledek dělení zapíšeme do výsledku a současně ji připíšeme k děliteli vzniklé číslo násobíme stejným číslem a výsledek odečteme od původního čísla (viz příklad).

16 Grafy funkcí Funkce y = Öx je inverzní k funkci y = xn, x Î <0, + ¥) a n je sudé.

17 Usměrňování zlomků Některé zlomky obsahují ve jmenovateli odmocniny. Tyto zlomky můžeme vhodným rozšířením upravit na zlomky jim rovné, které ve jmenovateli odmocninu nemají. Tato úprava se nazývá usměrňování zlomků. 1) Zlomek typu kde  rozšíříme číslem , čímž ve jmenovateli dostaneme číslo  a ; 2) Speciálně zlomek typu  rozšíříme číslem abychom ve jmenovateli dostali číslo a.

18 Usměrňování zlomků 3) Zlomek typu rozšíříme dvojčlenem
  , takže ve jmenovateli bude pak číslo 

19 Příklady

20 Příklady

21 Příklady

22 Příklady

23 Konec Zdroje http://adyhash.jinak.cz/funkce/6.6.htm