Přednáška 11 Aplikace určitého integrálu

Prezentace na téma: "Přednáška 11 Aplikace určitého integrálu"— Transkript prezentace:

1 Přednáška 11 Aplikace určitého integrálu jiri.cihlar@ujep.cz
Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 11 Aplikace určitého integrálu

2 O čem budeme hovořit: Obsah rovinné oblasti Objem rotačního tělesa
Délka křivky Povrch rotačního tělesa Další aplikace

3 Obsah rovinné oblasti

4 Opakování Obsah rovinné oblasti rozložíme na elementární útvary.
Obsah plochy pod grafem funkce vypočítáme určitým integrálem:

5 Příklad Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolou o rovnici y = 6x – x2 a osou x.

6 Příklad Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolami o rovnicích:

7 Znaménková konvence Při výpočtu obsahu se oblasti ohraničené grafem funkce, které leží nad osou x, počítají s kladným znaménkem a oblasti, které leží pod osou x, se záporným znaménkem.

8 Příklad Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené křivkou o rovnici y = x . sin x a osou x.

9 Objem rotačního tělesa

10 Jak počítat objem? Těleso rozřežeme na tenké válečky.
Objem rotačního tělesa vytvořeného rotací grafu funkce vypočítáme tímto integrálem:

11 Příklad Vypočítejte objem kužele. (Vzniká rotací funkce f(x) = rx/v).

12 Příklad Vypočítejte objem anuloidu.

13 Délka křivky

14 Jak počítat délku křivky?
Křivku aproximujeme krátkými úsečkami. Délku křivky vypočítáme tímto integrálem:

15 Příklad Vypočítejte délku kružnice.

16 Povrch rotačního tělesa

17 Jak počítat obsah pláště rotačního tělesa?
Těleso rozřežeme na tenké válečky. Plášť rotačního tělesa vypočítáme tímto integrálem:

18 Příklad Vypočítejte obsah pláště kužele.

19 Příklad Vypočítejte povrch koule.

20 Další aplikace

21 Příklad Vypočítejte potenciální energii tělesa hmotnosti m v nehomogenním gravitačním poli Země. Použijte Newtonův gravitační zákon.

22 Příklad Vypočítejte únikovou rychlost z nehomogenního gravitačního pole Země. Ze zákona zachování energie plyne: Odtud pak vypočítáme:

23 Co je třeba znát a umět? Vypočítávat určitým integrálem obsahy rovinných oblastí, umět vypočítat objem rotačních těles, umět vypočítat délky křivek, umět vypočítat povrch rotačních těles, umět používat určité integrály k dalším výpočtům z oblasti přírodních věd.

24 Děkuji za pozornost