Teorie her a sociální sítě Radim Valenčík Vystoupení na Teoretickém semináři EPS Vysoká škola ekonomická a správní o. p. s. Praha, 8. října 2014.

Prezentace na téma: "Teorie her a sociální sítě Radim Valenčík Vystoupení na Teoretickém semináři EPS Vysoká škola ekonomická a správní o. p. s. Praha, 8. října 2014."— Transkript prezentace:

1 Teorie her a sociální sítě Radim Valenčík Vystoupení na Teoretickém semináři EPS Vysoká škola ekonomická a správní o. p. s. Praha, 8. října 2014

2 O čem bude řeč? Existuje velké (mnohem větší, než si běžně dovedeme představit) množství úloh, kdy řešíme problém, jak rozdělit mezi hráče to, co vznikne tím, že budou kooperovat. Jen namátko: - Jakékoli vyjednávání na trhu ve smyslu „co za co“? - Nechceme válčit, jak se dohodnout na tom, co kdo získá a co ztratí? (dnes velmi aktuální) Jednou ze standardních úloh tohoto typu je tzv. Nashův vyjednávací (S, d) problém. Ukázalo se, že existuje větší množství (dnes již víme, že v mnoha směrech neomezené množství) naprosto „logických“, „intuitivně přijatelných“ či dokonce zdánlivě „jediných možných řešení“ tohoto problému, ale nevíme, kdy je které to skutečně správně a zda takové „skutečně správné“ existuje. Ukážeme, že pomocí této úlohy jsme schopni řešit nesmírně významnou otázku v (na první pohled zcela jiné oblasti věd): Ocenit sílu afinit, které vznikají v sociálních sítích nejrůznějšího typu, na základě toho dokonce předpovědět, které afinity (tedy to, co hráče do sítí spojuje) převládnou. Jedná se o jeden z významných směrů bádání, ve kterým tým působící na VŠFS dosáhl významné výsledky a který je perspektivní. Našim cílem mj. je, aby bylo ještě více známo, že takovýto teoretický problém se u nás řeší a jaký je přínos jeho řešení.

3 Tento a další obrázky jsou podkladem k vystoupení na semináři. Ukazují graficky vyjádřenou podstatu problému a jednotlivých přístupů k jeho řešení.

4 1. Individuální racionalita: Výplata každého z hráčů musí být větší než v bodě nedohody. 2. Paretovská optimalita: Pokud je řešením dvojice výplat hráčů (x *, y * ), pak musí být tato dvojice paretooptimální (žádný z hráčů nesmí mít možnost si polepšit, aniž by si druhý pohoršil). 3. Dosažitelnost: Řešení musí patřit do množiny možných výplat, tj. musí platit S(x, y) ˂ 0. Tyto tři první axiómy jsou triviální a těžko si představit, že by nějaké "rozumné" řešení mohlo být založeno na jiných. (Některé z těchto axiómů však mohou být nahrazeny jinými.) Hned další axióm již tak triviální není. Platí to i pro další dva.

5 4. Nezávislost na irelevantních alternativách: Existuje-li nějaká množina S´(x, y), která je podmnožinou množiny S(x, y), vyjednávání se omezuje jen na tuto množinu S´(x, y) a současně původní řešení v S(x, y), tj. (x *, y * ) zůstává prvkem S´(x, y), pak ani v S´(x, y) není možné najít jiné řešení než v S(x, y). Jinak řečeno - všechny podmnožiny S´(x, y) množiny S(x, y) tvoří irelevantní alternativy, které nepřinášejí nic nového, jejich přítomnost či nepřítomnost v původní vyjednávací množině nemá žádný vliv na výsledek vyjednávání. 5. Nezávislost na lineárních transformacích: Pokud je množina S´(x, y) získána lineární transformací množiny S(x, y), pak stejným způsobem je lineárně transformováno i řešení. Tj. je-li x´= ax + b, y´= cx + d, pak řešení v S´(x, y) je x * = ax + b, y * = cx + d. (Jedná se o velmi důležitý axióm, který, jak se "opticky" zdá, musí platit vždy a všude; tak tomu ovšem není.) 6. Symetrie: Je-li množina S(x, y) symetrická v tom smyslu, že pokud dvojice (x, y) do této množiny patří, pak tam patří i dvojice (y, x), a současně platí x 0 = y 0, pak platí i pro řešení, že x * = y *.

6 Nash dokázal, že pokud je těchto šest axiómů splněno (tj. "jsme ve světě", kde platí těchto šest axiómů), pak je tím pro jakoukoli množinu S dvojic (x, y), která splňuje některé elementární požadavky (je konvexní a kompaktní) jednoznačně určeno řešení (Nashova) vyjednávacího problému. Důkaz tohoto tvrzení je proveden zajímavým způsobem. Nash konstruuje funkci g(x, y) = (x − y 0 )(x − y 0 ) a pak již jen dokazuje, že hodnoty x a y, při kterých se tato funkce dotýká množiny S(x, y) jsou hledaným řešením a to řešením jediným.

7 Kalai-Smorodinského řešení se liší od Nashova řešení jedním jediným axiómem. Místo nezávislost na irelevantních alternativách zde platí požadavek slabé individuální monotonie.

8 Požadavek individuální monotonie neříká nic jiného než to, že rozšíříme-li původní množinu na množinu, která tuto původní množinu obsahuje jako svoji podmnožinu, pak pro Kalai- Smorodinského řešení v původní množině (x *, y * ) a v rozšířené (x´ *, y´ * ) množině platí: x * < x´ *, y * < y´ * tj. hodnoty výplat v rozšířené množině nejsou menší než v původní množině (mohou se zvětšit, nikoli však zmenšit). Pojmem "slabá" vyjadřujeme to, že příslušné nerovnosti jsou neostré. Pokud by nerovnosti byly ostré (x * < x´ *, y * < y´ * ), pak by se jednalo o silnou monotonii.

9 Soustava axiómů, jejichž splněním je rovnostářské řešení jednoznačně určeno, se liší od soustavy vedoucí k řešení Kalai-Smorodinského tím, že při rovnostářském řešení se vyžaduje silná monotonie (na rozdíl od slabé).

10

11 x +y = 5 odsud x = 3 x +z = 4y = 2 y + z = 3z = 1

12 Body velké koalice 3 hráči rovnostářský výchozí KS I KS II Raiffa I Raiffa II Nash ShaShu

13 Zadejme nyní afinitu B →A (Interpretace B "má rád" A) Jako ochotu B za koalici s A "zaplatit" částku rovnou 1 (protože z této koalice má "potěšení") Zaveďme y* = y + s yx podvojná výplata hráče B, která se rovná původní výplata y a výnos z uzavření koalice s hráčem A, k němuž má hráč B sympatie. Nechť s = 1. Podívejme se, jak se nám modifikuje původní soustava rovnic v námi uváděném jednoduchém případě x + z = 6 odsud x = 3,5 x + y* = 4 y* = 2,5odsud y = 1,5 y* + z = 3z = 0,5 Vidíme, že se nám výplaty hráčů v bodech diskrétní NM-množiny změnily

14

15 unlike in the original generalized Raiffa solution f(S, d) = d + 2/3(NM(S, d) – d). If we keep in force any other definition of generalized Raiffa solution, we call this solution NM – modified generalized Raiffa solution d1 for n = 3.

16

17

18 Příloha: Hra typu manželský spor Od nekooperativních her ke kooperativním Paretovská zlepšení v kooperativní hře

19 ONA FotbalDivadlo ONFotbal3; 21; 1 Divadlo0; 02; 3 Matice výplat hry typu Manželský spor K této matici výplat lze dát následující legendu: - ON má rád fotbal - a pokud jde na fotbal, přinese mu to užitek (potěšení), které lze ocenit hodnotou 1, zatímco návštěva divadla mu žádný užitek nepřinese. - ONA má ráda divadlo - a pokud jde do divadla, přinese jí to užitek (potěšení), které lze ocenit hodnotou 1, zatímco pokud půjde na fotbal, tak jí to žádný užitek nepřinese. - ON ovšem svou ženu miluje, a pokud je s ní, přinese mu to užitek (potěšení) dvakrát větší než to, jaké by měl, pokud by šel sám na fotbal. - ONA rovněž svého muže miluje, a pokud je s ním, přinese jí to užitek (potěšení) dvakrát větší než návštěva divadla, pokud by tam šla sama. Odsud vyplývá, že ON má v případě, že se sejdou na fotbalu, užitek 2 (ze společně stráveného času) a 1 (z fotbalu), tj. celkem 3, ONA 2, podobně pak v dalších případech. Problém je v tom, že se manželé včas nedomluvili, kam půjdou, a nemají mobil či jiný způsob, jak se dohodnout. Kam tedy jít?

20 Výplata hráče ON bude: 3pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 2(1 - p)(1 - q) = = p(4q - 1) -2q + 2 Výplata hráče ONA bude: 2pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 3(1 - p)(1 - q) = = q(4p - 3) - 2p + 3 Modře jsou dosazeny hodnoty z výplatní matice hry typu Manželský spor. Červeně v závorce výrazy, které rozhodují o tom, zda se příslušnému hráči vyplatí zvolit minimální či maximální pravděpodobnost, s níž bude hrát svou první či druhou strategii. Na základě toho již můžeme namalovat reakční křivky.

21

22

23

24

25

26

27

28

29