DERIVACE A MONOTÓNNOST, LOKÁLNÍ EXTRÉMY Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55.

Prezentace na téma: "DERIVACE A MONOTÓNNOST, LOKÁLNÍ EXTRÉMY Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55."— Transkript prezentace:

1 DERIVACE A MONOTÓNNOST, LOKÁLNÍ EXTRÉMY Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55

2 ROLLEOVA VĚTA: Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci c)  (a) =  (b) Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, v němž  ´(c) = 0.  existence tečny rovnoběžné s osou x

3 LAGRANGEOVA VĚTA: Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, pro který platí:  existence tečny se stejnou směrnicí, jako tětiva spojující body A[a,  (a)], B[b,  (b)] V: Platí-li  ´(x) = 0 pro každé x  (a,b), potom  je konstantní funkce.

4 Monotónnost funkce a derivace V: Má-li funkce  v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce  v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti.

5 Lokální extrémy Def: Funkce  má v bodě x 0 lokální maximum, existuje- li takové okolí U(x 0 ) bodu x 0, že pro všechna x z U(x 0 ) a D f platí:  (x) <  (x 0 ). Funkce  má v bodě x 0 lokální minimum, existuje-li takové okolí U(x 0 ) bodu x 0, že pro všechna x z U(x 0 ) a D f platí:  (x) >  (x 0 ). V: Má-li funkce  v bodě x 0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace  ´(x 0 ), pak platí:  ´(x 0 ) = 0.

6 Zdroje: Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005