MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ

Prezentace na téma: "MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ"— Transkript prezentace:

1 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů P Ř E D N Á Š K A 7 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ Přednáška 7.

2 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
I. Momenty setrvačnosti a deviační momenty fyzikálních objektů hmotné momenty setrvačnosti a hmotné deviační momenty desek hmotné momenty setrvačnosti a hmotné deviační momenty těles II. Momenty setrvačnosti a deviační momenty geometrických útvarů momenty setrvačnosti a deviační momenty ploch momenty setrvačnosti a deviační momenty objemů Přednáška 7.

3 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Obecná definice momentu setrvačnosti: Hmotný moment setrvačnosti dm - element hmotnosti fyzikálního objektu Moment setrvačnosti objemu dV - element objemu fyzikálního objektu Moment setrvačnosti plochy dA - element plochy fyzikálního objektu Když r - vzdálenost od bodu  polární moment setrvačnosti r - vzdálenost od osy  axiální moment setrvačnosti r - vzdálenost od roviny  planární moment setrvačnosti Přednáška 7.

4 MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY ROVINNÝCH OBRAZCŮ
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY ROVINNÝCH OBRAZCŮ Souřadnicová soustava průřezu prutu Přednáška 7.

5 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Rovinný obrazec (průřez prutu) v souřadnicové soustavě yz P≡O Axiální momenty setrvačnosti k ose y a z jsou definovány vztahy: Deviační moment je definován vztahem Polární moment setrvačnosti je definován vztahem: Centrální moment setrvačnosti je moment setrvačnosti k libovolné ose, která prochází těžištěm. Přednáška 7.

6 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Věty: Axiální momenty setrvačnosti a polární moment setrvačnosti nabývají vždy kladné hodnoty. (Tato věta vychází z definice – druhá mocnina vzdálenosti je kladná a obsah je také kladná hodnota.) Deviační moment může nabýt kladné nebo záporné hodnoty. (Opět věta vychází z definice, součin dvou souřadnic závisí na jejich znaménkách.) Deviační moment k osám, z nichž alespoň jedna je osou symetrie, se rovná nule. (Opět věta vychází z definice.) Přednáška 7.

7 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
x y dA b/2 h/2 Přednáška 7.

8 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
x protože Přednáška 7.

9 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
STEINEROVA VĚTA Pomocí Steinerovy věty lze určit momenty setrvačnosti a deviační moment k mimotěžišťovým osám, které jsou s osami těžišťovými rovnoběžné. Potřebujeme znát: plochu obrazce, polohu těžiště, velikosti momentů setrvačnosti a deviační moment, vzdálenosti k mimotěžišťovým osám. P≡O Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné mimotěžišťové ose Deviační moment k libovolným dvěma mimotěžišťovým osám y,z Přednáška 7.

10 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Důkaz Steinerovy věty: P≡O kde je statický moment k těžišťové ose Přednáška 7.

11 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Příklad y T [2r,r] yT r T xT x Přednáška 7.

12 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
AXIÁLNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENT K POOTOČENÝM SOUŘADNICOVÝM OSÁM y z a P≡O dA Vyjádříme transformační vzorce pro souřadnice a Podle definice vyjádříme moment setrvačnosti k pootočené ose a dosadíme transformační vzorce. Přednáška 7.

13 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Podobně Deviační moment Přednáška 7.

14 HLAVNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika HLAVNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI Při rotaci souřadnicových os, existuje taková jejich poloha, při kterých nabývají axiální momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot, tzn., že jeden moment setrvačnosti je maximální a druhý minimální, a deviační moment je nulový. Důkaz: Vyšetříme nulovou první derivaci momentu setrvačnosti v natočených souřadnicích obdobně Přednáška 7.

15 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Extrémních hodnot dosahují momenty setrvačnosti pro úhel , při kterém je pak deviační moment k osám , roven nule a vypočítá se z rovnice: potom Osy , jejichž poloha je určena úhly a nazýváme hlavní osy setrvačnosti. Potom platí pro ně platí: a hlavní momenty setrvačnosti jsou Přednáška 7.

16 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Po vyloučení úhlu lze napsat též pro určení hlavních momentů setrvačnosti vztah Platí opět invariantní vztah: Přednáška 7.

17 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Věta o hlavních osách setrvačnosti Hlavní osa setrvačnosti, ke které je moment setrvačnosti maximální, prochází 2. a 4. kvadrantem souřadnicové soustavy tehdy, je-li deviační moment Je-li deviační moment , prochází hlavní osa, ke které je moment setrvačnosti maximální 1. a 3. kvadrantem. Těžišťové osy, ke kterým je deviační moment roven nule, nazýváme hlavními centrálními osami setrvačnosti. Je-li jedna z os osou symetrie, je tato osa přímo hlavní centrální osou setrvačnosti a na ní leží také těžiště. Známe-li hlavní osy setrvačnosti a příslušné hlavní momenty setrvačnosti, platí pro libovolnou osu natočenou o úhel g od hlavní osy y0 (resp. x0 pro souřadnicový systém xy) Přednáška 7.

18 MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY SLOŽENÝCH OBRAZCŮ
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY SLOŽENÝCH OBRAZCŮ 1. Moment setrvačnosti složeného rovinného obrazce k osám y, z určíme jako součet axiálních momentů setrvačnosti jednotlivých základních obrazců k osám y, z. 2. Obdobně deviační moment. 3. Použitím tabulek nebo vzorců stanovíme známé momenty setrvačnosti pro jednotlivé základní obrazce a pomocí Steinerovy věty vypočítáme momenty setrvačnosti a deviační moment k osám y a z. Přednáška 7.

19 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Příklady použití q l Průhyb nosníku P l Kritické břemeno při vzpěrném tlaku Přednáška 7.