A5M33IZS – Informační a znalostní systémy Testování chordality grafů (rozložitelnosti modelu)

Prezentace na téma: "A5M33IZS – Informační a znalostní systémy Testování chordality grafů (rozložitelnosti modelu)"— Transkript prezentace:

1 A5M33IZS – Informační a znalostní systémy Testování chordality grafů (rozložitelnosti modelu)

2 Algoritmus testující triangulovanost (chordalitu) grafu

3 7 9 8 4 2 3 1 6 5

4

5

6

7 Důkaz lemmatu 4: Nejprve dokážeme, že z Q vyplývá chordalita 1 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk

8 2 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x (w)(u) (v) Červená čára = není hrana Důkaz lemmatu 4: Nejprve dokážeme, že z Q vyplývá chordalita

9 3 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x

10 4 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x

11 5 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x

12 6 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x

13 7 v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x Dokázali jsme sporem, že platí-li (P), pak žádná cesta bez chordy nemůže mít vlastnost (Q). Důkaz lemmatu 4: Nejprve dokážeme, že z Q vyplývá chordalita

14 Důkaz lemmatu 4: dokončení v w u

15 w u v 1

16 w u vx 2

17 Tarjan Yannakakis – shrnutí (1) 1.Známe algoritmus, který generuje očíslování vrcholů bez výplně (perfektní očíslování) právě na chordálních grafech? V takovém případě by stačilo vrcholy očíslovat a zjistit, zda je výplň prázdná. 2.Dokázali jsme, že takovou vlastnost má maximum cardinality search algoritmus. Jak jsme to dokázali ?

18 Tarjan Yannakakis – shrnutí (2) v0v0 v1v1 v2v2 vjvj vkvk x Lemma 4: 1.Dokázali jsme sporem, že platí-li (P), pak žádná cesta bez chordy nemůže mít vlastnost (Q). 2.G je chordální a  splňuje (P). Je v-w hranou původního grafu? Ano, jinak by platilo (Q), což jsme vyloučili.  má tedy prázdnou výplň (bez výplně). v w u G je chordální a  splňuje (P) =>  je očíslování bez výplně.

19 Tarjan Yannakakis – ZÁVĚR (1) Zatím bychom postupovali takto: 1.Vygenerujeme očíslován algoritmem mcs. 2.Otestujeme prázdnost výplně. 3.Je-li výplň prázdná, konstatujeme G je chordální, není-li prázdná, konstatujeme G není chordální. Kritika: Výpočetně náročné, prázdnost výplně lze kontrolovat již během mcs.

20 Tarjan Yannakakis – ZÁVĚR (2) Modifikovaný maximum cardinality search algoritmus, který rovnou testuje chordalitu grafu (Jayson Rome: Graph Triangulation, October 14, 2002) :

21 Tarjan Yannakakis – shrnutí (3) Věta 2: Libovolné uspořádání  generované algoritmem maximum cardinality search má vlastnost (P) a tudíž je uspořádáním bez výplně, pokud je G chordální. w u v 1.Situace, která je na levé straně implikace (P): x 2.Z principu algoritmu mcs vyplývá existence vrcholu x. wu v 3.Existence vrcholu x s danými vztahy k okolním vrcholům => vlastnost (P) splněna. 4.Očíslování vygenerované algoritmem mcs má na chordálních grafech vlastnost (P).