Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky"— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 11 Řešení soustav lineárních rovnic

2 O čem budeme hovořit: Pojmy související se soustavami lineárních rovnic Existenční Frobeniova věta Řešení homogenní soustavy rovnic Řešení nehomogenní soustavy rovnic Řešení regulární soustavy rovnic

3 Pojmy související se soustavami lineárních rovnic

4 Příklad Soustavu lineárních rovnic 2x + 3u – v = 2
x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = – 2 můžeme vyjádřit pomocí násobení matic:

5 Pokračování příkladu Když k matici soustavy připojíme zprava matici (sloupec) pravých stran, vznikne tzv. rozšířená matice soustavy. (Formálně v ní oddělujeme sloupec pravých stran svislou čarou):

6 Definice soustavy lineárních rovnic
Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých budeme nazývat tuto soustavu:

7 Maticové vyjádření soustavy
Označme: Matici A typu (m,n) nazýváme maticí soustavy, matici X typu (n,1) nazýváme maticí neznámých, matici B typu (m,1) nazýváme maticí pravých stran. Soustavu lze vyjádřit v maticovém tvaru: A . X = B

8 Rozšířená matice soustavy
Rozšířenou maticí soustavy je matice: Má-li matice soustavy typ (m,n), má rozšířená matice soustavy typ (m,n+1).

9 Řešení soustavy rovnic
Řešením soustavy budeme nazývat uspořádanou n-tici reálných čísel ( r1, r2, … , rn ), která když dosadíme za neznámé, tak splňují všechny rovnice soustavy. Platí tedy :

10 Maticová podmínka pro řešení soustavy
Označíme-li řešení soustavy takto: můžeme podmínku vyjádřit v maticovém tvaru: A . R = B

11 Homogenní soustava rovnic
Je-li matice pravých stran nulová, nazývá se soustava homogenní. Její rozšířená matice je: Homogenní soustava rovnic má vždy alespoň jedno řešení Proč?

12 Frobeniova věta (o existenci řešení soustavy)

13 Co znamená, že soustava má řešení?
Čísla r1, r2, … , rn splňují podmínky: To lze pomocí sloupcových vektorů w1, w2, … , wn matice A zapsat v maticovém tvaru takto: r1.w1 + r2.w2 + r3.w3 + … + rn.wn = B

14 Co z toho dále plyne? Podmínka r1.w1 + r2.w2 + r3.w3 + … + rn.wn = B
vyjadřuje, že vektor B je lineární kombinací sloupcových vektorů w1, w2, … , wn matice A. To však znamená, že B leží ve vektorovém prostoru, který je generován vektory w1, w2, … , wn . To ale znamená, že generátory w1, w2, … , wn , B generují tentýž vektorový prostor a oba prostory mají pochopitelně tutéž dimenzi. Tyto dimenze jsou hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice soustavy .

15 Frobeniova věta Soustava m lineárních rovnic o n neznámých tvaru A . X = B má alespoň jedno řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy A je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (A  B) . Úloha: Zjistěte, zda je tato soustava řešitelná: x – 4y + 2u = 1 2x – 3y – u + 5v = – 7 3x – 7y + u – 5v = – 6 y – u – v = – 1

16 Řešení homogenní soustavy

17 Jaký tvar má homogenní soustava?
Při označení: má soustava maticový tvar A . X = O . To ale znamená, že každý vektor R, který je řešením soustavy, je ortogonální s každým řádkovým vektorem matice A.

18 Množina všech řešení homogenní soustavy
Jsou-li tedy u1, u2, … , um řádkové vektory matice A, platí ui . R = 0 pro všechna i . Vektor R je tedy ortogonální s podprostorem generovaným řádkovými vektory u1, u2, … , um matice A. To ale znamená, že množina všech řešení homogenní soustavy je ortogonálním doplňkem vektorového prostoru, generovaného řádkovými vektory matice A. Je-li hodnost matice A rovna h, pak všechna řešení tvoří prostor dimenze n – h .

19 Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic 2x + 3u – v = 0
x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = 0 Řešením soustavy jsou všechny uspořádané čtveřice: ( –2; –3; 2; 2 ).t . Všechna řešení soustavy tedy tvoří vektorový prostor dimenze jedna s generátorem ( -2; -3; 2; 2 ) .

20 Řešení nehomogenní soustavy

21 Množina všech řešení nehomogenní soustavy
Nehomogenní soustava nechť má tvar A . X = B . Předpokládejme, že R je jedno ze všech možných řešení nehomogenní soustavy, tedy že platí A . R = B . Ortogonální doplněk, který obsahuje všechna řešení příslušné homogenní soustavy A . X = O označme W. Každý vektor w  W je tedy řešením příslušné homogenní soustavy, a tedy platí A . w = 0 . Pak se snadno dokáže, že každé řešení nehomogenní soustavy má tvar R + w , kde w je vektor z W. POZOR !! Množina řešení nehomogenní soustavy není vektorový prostor!

22 Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic x – 4y + 6u + v = – 3
Řešením soustavy jsou všechny uspořádané čtveřice, které mají tvar: ( 1; 1; 0; 0 ) + ( –14; 13; 11; 0 ).s + ( –7; 1; 0; 11 ).t

23 Řešení regulární soustavy

24 Řešení pomocí inverzní matice
Regulární soustava nechť má tvar A . X = B . Matice A je regulární, má inverzní matici A-1 . Pak postupně: A . X = B A-1. (A . X) = A-1. B (A-1. A) . X = A-1. B E . X = A-1. B X = A-1. B

25 Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic 2x + 3y = 1 3x + 5y = 1
Po výpočtu inverzní matice získáme: Jediným řešením soustavy je dvojice ( 2;  1) .

26 Řešení pomocí determinantů
Regulární soustava nechť má tvar A . X = B . Vytvořme pomocí matice A matice A(i) tak, že v matici A nahradíme i-tý sloupec sloupcem B. Pak můžeme vypočítat všechny neznámé xi podle tzv. Cramerova pravidla takto:

27 Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic: x1 + 3x2 = 1 3x1 + 5x2 = 1

28 Co je třeba znát a umět? Základní pojmy související se soustavami lineárních rovnic, maticové vyjádření soustavy rovnic, Frobeniovu větu o existenci řešení soustavy, řešení homogenní soustavy (souvislost s ortogonálním doplňkem), řešení nehomogenní soustavy, řešení regulární soustavy pomocí inverzní matice a Cramerova pravidla.

29 Děkuji za pozornost