Matematické základy Teorie redistribučních systémů (pracovní podklady na teoretický seminář 4.11.) Radim Valenčík VŠFS.

Prezentace na téma: "Matematické základy Teorie redistribučních systémů (pracovní podklady na teoretický seminář 4.11.) Radim Valenčík VŠFS."— Transkript prezentace:

1 Matematické základy Teorie redistribučních systémů (pracovní podklady na teoretický seminář 4.11.) Radim Valenčík VŠFS

2 Co už umíme a co ne? Umíme: - Popis systému (základní symbolika). - „Chodící“ počítačový model, který ukazuje, jak se hráči za různých podmínek chovají. Co neumíme: - Harmonizovat popis systému a úloh v něm se standardními postupu při popisu a řešení úloh v koaličních hrách N hráčů. - Přesně vyjádřit, co je hlavním smyslem přístupu, jaký typ úloh se řeší, a to matematickými prostředky. - Přesně vymezit specifika úloh, které se řeší v rámci teorie redistribučních systémů, od těch, které se řeší v teorií dosud uvažovaných koaličních hrách N hráčů.

3 Základní parametry (upřesněné) - x 1, x 2,...x N jsou výplaty jednotlivých hráčů (v původním modelu elementárního redistribučního systému se jednalo o proměnné x, y, z); - e 1, e 2,...e N závisí na výkonnosti hráčů, je to velikost odměny (výplaty), kterou by hráč dostal, pokud by byl odměněn podle své výkonnosti (v původním modelu elementárního redistribučního systému se jednalo o hodnoty 6, 4, 2); - d 1, d 2,...d N jsou nejmenší možné výplaty jednotlivých hráčů (v původním modelu elementárního redistribučního systému se jednalo o hodnotu rovnou 1 pro každého hráče).

4 Redistribuční rovnici pak můžeme přepsat následujícím způsobem: x 1 + x 2 +...x N = E - η.R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) kde: x 1 + x 2 +...x N je součet výplat jednotlivých hráčů; E = e 1 + e 2 +...e N je maximální částka, která by mohla být rozdělena, pokud by výkon redistribučního systému byl maximální, což znamená, že by nedocházelo k redistribuci a rozdělení výplat by tedy proběhlo podle výkonnosti, R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) je funkce vzdálenosti rozdělení skutečných výplat od výplat podle výkonu. η je parametr citlivosti poklesu výkonnosti systému v důsledku odchylky výplat od výkonnosti hráčů (tj. předpokládá se lineární závislost na funkci vzdálenosti).

5 Jeden z rozdílů běžně uvažovaných koaličních her s N hráči a Teorie redistribučních systémů: Při koeficientu η = 0 může jít za určitých podmínek i o případ běžné koaliční hry N hráčů. Z geometrického hlediska v dosud uvažovaných koaličních hrách 3 hráčů můžeme představit množinu všech maximálně možných redistribucí často jako rovinu v prostoru. V redistribuční hře je v důsledku vlivu členu η.R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) tato rovina zakřivená. To má při řešení některých úloh má významné důsledky.

6 Počítačový model systému:

7 Podobně jako v koaličních hrách N hráčů zde můžeme formulovat podmínku společné a individuální racionality - Podmínkou společné racionality: x 1 + x 2 +...x N + η.R(x 1 - e 1 ; x 2 - e 2 ;... x N - e N ) > E (tj. zjednodušeně řečeno - hráči si rozdělí vše, co si mohou rozdělit) - Podmínky individuální racionality jsou: x 1 > d 1 x 2 > d 2... x N > d N (tj. každý z hráčů musí dostat nejméně minimální výplatu, tj. výplatu, při které dojde k jeho největší možné diskriminaci). Zpracováno s využitím podkladů M. Vlacha

8 Základní pojmy koaliční hry N hráčů Koaliční hra n hráčů ve tvaru charakteristické funkce je dána reálnou funkcí na systému všech podmnožin množiny všech hráčů. Tato funkce se nazývá charakteristická funkce hry a podmnožiny množiny všech hráčů se nazývají koalice. Hodnota charakteristické funkce se obvykle interpretuje jako „výhra“, kterou si členové příslušné koalice mohou rozdělit mezi sebou. Je-li tato výhra „dokonale“ dělitelná, hovoříme o hrách s přenosnými platbami (přenosnými výhrami, přenosným užitkem apod.). Pro jednoduchost značení pojmenujeme hráče přirozenými čísly 1, 2,..., n, takže koalice budou reprezentovány podmnožinami množiny N = {1, 2,..., n}. Zpracováno s využitím podkladů M. Vlacha

9 Poznámka k charakteristické funkci Charakteristická funkce předpokládá, že každé podmnožině hráčů (koalici) K je přiřazena výplata v(K) kterou si mohou uráči rozdělit. V našem přístupu předpokládáme, že každé koalici je přiřazena funkce odvozená od redistribuční funkce, podle které si mohou výplaty rozdělovat. Tj. to, co si hráči v určité koalici mohou rozdělit, není konstanta, ale mění se podle toho, jak si to rozdělí (v souladu s průběhem redistribuční funkce). Tento problém nevzniká tam, kde:η = 0

10 Otázky M. Vlacha: - Co bude považovat za řešení (re)distribuční hry? - Bude to přípustná redistribuce mající předepsané vlastnosti? (Jaké?) - Bude to množina přípustných redistribucí mající předepsané vlastnosti? (Jaké?) K tomu (můj) laický názor: - Jde o pochopení toho, jak se budou hráči chovat, pokud známe parametry, které je charakterizují. - Každý hráč se chová tak, že: * Snaží se maximalizovat svou výplatu. * Bude jednat s tím hráčem, se kterým bude mít větší výplatu. (K tomu moje otázka: Stačí to, aby chování systému bylo jednoznačně předurčeno?)

11 Nashův vyjednávací problém n hráčů je dán dvojicí (S, d), kde S je kompaktní konvexní podmnožina n-rozměrného prostoru a d je takový bod množiny S, pro který existuje v S bod a s vlastností a > d (nerovnost je myšlena po souřadnicích). Vezmeme-li za množinu S množinu přípustných redistribucí a za bod d bod o souřadnicích d i = v({i}) i = 1,2,..., n dostaneme speciální případ Nashova vyjednávacího problému. Písmenem B označíme množinu všech Nashových vyjednávacích problémů n hráčů a řešením budeme rozumět zobrazení f, které každému problému z B přiřazuje nějaký bod množiny S, tj. f(S, d) patří do S pro každý problém (S, d) z množiny B. Dá se ukázat, že existuje jediné řešení, které vyhovuje následujícím čtyřem podmínkám (axiomům) A1-A4. Budeme mu říkat Nashovo řešení. A toto jediné zobrazení přiřazuje problému (S, d) bod, ve kterém nabývá maxima funkce x → (x 1 - d 1 )·(x 2 - d 2 ) · · · (x n - d n ) na množině těch bodů z množiny S, pro něž x ≥ d. Zpracováno s využitím podkladů M. Vlacha

12 Laické (moje) definování chování hráčů (1. část): (Zatím uvažujeme jen případ tří hráčů, možná lze zobecnit na více hráčů) Každý hráč se chová následujícím způsobem: 1. Vidí svoji největší výplatu, kterou může dosáhnout s jedním hráčem, a kterou může dosáhnout s druhým hráčem, pokud uzavře koalici plně diskriminující třetího hráče.. 2. Vybere jako základ svého rozhodnutí tu výplatu, která je větší. 3. Dá každému z obou ostatních hráčů nabídku, která vychází z toho, že chce pro sebe ke své předcházející výplatě část rozdílu mezi svou nejmenší a největší výplatou. (Existují různé možnosti, jak tuto část definovat.) K tomu ještě musí rozhodnout, jak bude reagovat na nabídky, které dostane. Tyto nabídky jsou generovány ostatními dvěma hráči podle stejných podmínek. Postup, který volí, je jednoduchý. Vybere z obou nabídek tu lepší. Systém se dostal do dalšího kola. Každý hráč nyní vidí, zda jeho nabídka byla vybrána (a byl by v tomto kole ve vítězné koalici), nebo ne.

13 Laické (moje) definování chování hráčů (2. část): Nutno ještě odpovědět, co se bude dít v dalším kole. Rozhodující roli hraje hráč, který není ve vítězné koalici. Za předpokladu plné informovanosti hráčů všichni vědí, který to je, a všichni vědí, že to vědí. 1. Hráč, který není ve vítězné koalici (je plně diskriminován, tj. má výplatu d i ) vidí, jakou by dostal největší výplatu, pokud by uzavřel koalici s jedním ze dvou hráčů ve vítězné koalici, a společně diskriminovali třetího. 2. Vybere jako základ svého rozhodnutí tu výplatu, která je větší. 3. Dá každému z obou ostatních hráčů nabídku, která vychází z toho, že chce pro sebe ke své předcházející výplatě (nejmenší, tj. rovné d i ) část rozdílu mezi svou nejmenší a největší výplatou podle stejného principu určení této části.

14 K tomu několik poznámek: - Jak si ukážeme hned, není tento popis ještě plně harmonický se standardním popisem vyjednávání v koaličních hrách N hráčů. - Za zmínku stojí zajímavý případ, kdy se určitý hráč znovu ve dvou kolech po sobě mimo vítěznou koalici. Tento případ je nutné ještě lépe vyšetřit a odvodit odsud upřesnění pravidel chování. - Výše uvedenou část toho, co požaduje navíc, lze stanovit různé (např. pravděpodobnostním mechanismem, „půl na půl“, procentuálním poměrem od 0 % do 100 % a chápat ji jako „žádostivost“ hráče).

15 Lze patně dokázat: 1. Postup podle toho, co je uvedeno v příběhu prvním vede k tomu, že systém konvergujeme mezi třemi diskriminačními rovnováhami. 2. Dokonce i jiné dělení než založené na principu poloviny (v jakémkoli jiném procentuálním dělení větším než 0 % a menším než 100 %), tj. podle principu žádostivosti, vede ke stejnému řešení (jen s jednou malou modifikací, která reaguje na situaci, kdy žádostivost hráčů je natolik velká, že neexistuje nabídka přijatelná pro dva hráče) vede ke konvergenci ke třem diskriminačním rovnováhám 3. A co je nejzajímavější, k témuž výsledku vede i to, když hráči budou zcela nahodile vybírat jakoukoli hodnotu mezi min a max a tuto nabízet ostatním dvěma hráčům. 4. Rovněž tak, když se hráči budou řídit různými strategiemi ze strategií výše uvedeného typu.

16 Standardní postup u koaličních her N hráčů: Nutno definovat strom hry (nemusí byt konečný). Uzly stromu (pozice hry) reprezentují: - Jednak situace, v nichž se některý z hráčů rozhoduje (tj. má na výběr z několika (třeba z nekonečně mnoha) možností (možné tahy v dané pozici. Jednak koncové pozice hry, to jsou ty, kde hra končí. Máme-li strom hry a u každého uzlu stromu právě jednoho hráče, kterému uzel patří, pak strategie hráče, např. hráče A, bude zobrazení definované na množině všech nekoncových uzlu (pozic), které patří hráči A (tj. ve kterých se A rozhoduje mezi svými možnými tahy) a které přiřazuje každému jeho uzlu (pozici) právě jednu hranu (tah) z uzlu vycházející. Takových zobrazeni (strategií) má každý hráč spoustu, ale vybere-li každý hráč jednu ze svých strategii, bude tím průběh hry jednoznačně určen. Jde o to dát takové pravidlo výběru strategie, kterým se bude řídit každý z hráčů, aby mohla být hra zahrána kýmkoli místo něj (počítačem). Zpracováno s využitím podkladů M. Vlacha

17 Jedním z prvořadých úkolů je dokončit harmonizaci, tj. převést popis chování hráčů v naivní (laické) teorii redistribučních systémů do standardní terminologie. Zdá se, že k tomu již moc nechybí. Přesto nutno uvažovat následující otázky: 1. Lze převést a neztratí se nic při tomto převodu (tj. něco důležitého, co je reflektováno jen intuitivně a při převodu do potřebné formy bude „vytlačeno“, resp. zapomenuto)? 2. Jsou problémy převodu dány jen nedostatečnou (mou) erudicí v dané oblasti, nebo mají částečně i jiné příčiny?

18

19 Proč je přesná formulace tak důležitá? Příklad: Uvažujme případ paralelní hry: - Původní hra. - Další hra v témže systému pro kterou platí: - Hraje ji jen část hráčů (a ti vědí, že se hraje). - Zvyšují si výplaty ze základní hry. - Daná paralelní hra znamená další dodatečné snížení výkonnosti systému (další oproti tomu, které je v důsledku odchylky výplat od výkonnosti). - Nutnou podmínkou paralelní hry je, aby v původní hře existovala určitá koalice (či určité koalice); někteří z hráčů nesmí být součástí původní koalice, protože by paralelní redistribuční hru nepřipustili. - Hráči, kteří nejsou o paralelní hře informováni a kteří i v průběhu hry zůstanou neinformování mohou být členy vítězné koalice v původní redistribuční hře.

20 Lze například dokázat následující tvrzení?: Ve vítězné koalici v původní redistribuční hře musí existovat (musí být do této hry začleněni) hráči, kteří pobírají výplatu jen z původní redistribuční hry. Jednou z příčin může být, že nejsou o paralelní redistribuční hře informováni. Pokud by tomu tak nebylo, tak hráči schopni vytvořit vítěznou koalici původní redistribuční hře, by si pohoršili oproti svým výplatám, které by mohli získat v této původní redistribuční hře. Zde je nutná mnohem důslednější formalizace, závěr (za přesně definovaných předpoklad) však může mít velkou praktickou hodnotu.

21 Jiný příklad: Pokud se v systému hraje více paralelních her (např. hlavní a vedlejší paralelní hra), mohou být hráči ve vítězné koalici v původní redistribuční hře, kteří umožňují hrát hlavní redistribuční hru, odměněni (uspokojeni) tím, že je jim umožněna hrát vedlejší redistribuční hra, aniž by byli informováni o dominantní paralelní hře. S tím souvisí otázka: Kdy je efektivnější pro informované hráče v dominantní redistribuční hře použít korupci formou zapojení do diskriminující koalice a kdy umožněním paralelní redistribuční hry?

22 Přesná odpověď na uvedené otázky je cestou k odhalení původu lidských slabostí. Můžeme si např. udělat představu o některých základních „lidských“ charakteristikách hráčů, kteří jsou nutnou součástí koalice podmiňující hlavní paralelní hru, ale nejsou o ní informováni? Ano. Lze o nich říci např. následující: - Jsou natolik „inteligentní“, že nevidí či nechtějí vidět paralelní redistribuční hry, které se v systému hrají (mají zablokovanou schopnost vidět paralelní redistribuční hry). - V důsledku předešlého proto ani nepožadují výplaty z paralelních redistribučních her a spokojují se s tím, že dostávají větší výplaty z původní redistribuční hry (včetně nepeněžních výplat, např. formou různých ocenění). - Svým působením ve vítězné koalici umožňují přetrvávání těch narušení institucionálního rámce, která podmiňují příslušnou paralelní hru či příslušné paralelní hry (mají zablokovanou schopnost vidět narušení institucionálního rámce, příp. jsou schopni narušení institucionálního rámce podpořit). - Svou větší výplatu oproti svým schopnostem si sami sobě odůvodňují tím, že byli vybráni díky svým nějakým (blíže nespecifikovaným) výjimečným kvalitám, nikoli právě v důsledku své omezenosti (neschopnosti kriticky reflektovat, co se v systému odehrává); to je v nich utvrzováno hráči zasvěcenými do paralelních redistribučních her tím, že jim udělují různá ocenění.

23

24