Algebra.

Prezentace na téma: "Algebra."— Transkript prezentace:

1 Algebra

2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména pak matematiky) a pro popis operací s těmito objekty chceme tento nástroj budovat postupně od nejjednodušších objektů (univerzálních) po úzce specializované objekty

3 Základní pojmy Každý objekt je reprezentován
datovým nosičem – množina popisující data, se kterými pracujeme operacemi – nejjednoduššími transformacemi, které nad daty můžeme provádět Binární operace na množině je zobrazení A  A  A, obvykle použijeme infixový tvar pro zápis operace a  b

4 Grupoid Nejuniverzálnějším objektem je grupoid (A, ), což je datový nosič A s jednou operací  Jedinou vlastností je fakt, že užitím operace na libovolné dva prvky z A dostaneme opět prvek z A. Tedy množina A je vzhledem k operaci  uzavřená. Zavádíme pojem komutativní grupoid a,b  A: a  b = b  a

5 Pologrupa Pro asociativní operaci platí a,b,c  A: (a  b)  c = a  (b  c) Pologrupa (A, ) je grupoid s asociativní operací POZOR! Vlastnosti grupoidu zůstávají Opět můžeme hovořit o komutativní pologrupě, pokud je operace navíc komutativní Opakovanou aplikací operace na tentýž prvek získáme mocninu v monoidu (A, ) označíme an = aa ... a (n-krát) pro lib. nN

6 Neutrální prvek Levý neutrální prvek je takové e  A, které splní a  A: e  a = a Analogicky pravý neutrální prvek je takové e  A, kde a  A: a  e = a Levých neutrálních prvků může být více, pokud nejsou žádné pravé (a naopak). Obsahuje-li pologrupa levý a pravý neutrální prvek, pak se musí jednat o tentýž prvek, který se nazývá neutrální prvek důkaz: el = el  ep = ep

7 Monoid Monoid (A, ) je pologrupa s neutrálním prvkem
Monoid je tedy množina s operací, kde platí uzavřenost, asociativní zákon a existuje neutrální prvek (oboustranný). V případě komutativní operace hovoříme o komutativním monoidu.

8 Inverzní prvek Mějme monoid (A, ) s neutrálním prvkem e Pak b  A je levý (resp. pravý) inverzní prvek k a  A, pokud platí b  a = e (resp. a  b = e) Inverzní prvek je pak takový prvek, který splní a  b = b  a = e Inverzní prvek k prvku a značíme a-1

9 Grupa Je dán monoid (A, ), kde je a  A, e neutrální prvek, l levý inverzní prvek k a a p pravý inverzní prvek k a. Pak platí: p = e  p = (l  a)  p = l  (a  p) = l  e = l Z uvedeného plyne, že l = p V monoidu tedy neexistuje nic jako levý a pravý inverzní prvek! Grupa (A, ) je monoid, kde ke každému prvku existuje prvek inverzní Opět hovoříme také o komutativní grupě

10 Řád prvku a řád grupy Řád prvku a grupy (G, ) je nejmenší přirozené číslo n takové, že an = e. Pokud takové n neexistuje, pak a má řád 0. Řádem grupy se nazývá mohutnost, tj. počet prvků její nosné množiny.

11 Zbytkové třídy Pro dané číslo n  N definujeme na množině Z relaci ρ takto: a ρ b  a ≡ b (mod n)  n | a-b Tedy v relaci jsou spolu právě taková čísla a a b, která dávají po dělení n stejný zbytek Relace ρ je relací ekvivalence na množině Z. Této relaci přísluší rozklad Z/ρ značí se Zn jednotlivé prvky (třídy) rozkladu se nazývají zbytkové třídy a značí se [a]n tedy [a]n = {a + kn | k  Z}

12 Operace se zbytkovými třídami
Na množině zbytkových tříd modulo n lze definovat operace + a * takto: [a]n + [b]n = [a+b]n [a]n  [b]n = [ab]n Operace jsou korektně definovány pomocí reprezentantů Modulární aritmetika; aplikace v kryptografii Množina zbytkových tříd je uzavřená vzhledem k operacím sčítání a násobení

13 Grupy zbytkových tříd Algebraická struktura (Zn,+) je komutativní grupa pro libovolné n operace je uzavřená, komutativní a asociativní existuje neutrální prvek e = [0]n ke každému prvku [a]n existuje inverzní prvek [-a]n Algebraická struktura (Zn, ) je komutativní monoid pro libovolné n existuje neutrální prvek e = [1]n inverzní prvky obecně existovat nemusí

14 Prvky, k nimž existuje inverze Třída [a]n má inverzi  NSD(a,n)=1
Invertibilní prvky Prvky, k nimž existuje inverze Třída [a]n má inverzi  NSD(a,n)=1 plyne z Bezoutovy rovnosti Vypustíme-li všechny třídy soudělné s modulem (včetně nulové), získáme grupu zbytkových tříd – značíme (Zn*,)

15 Tradiční matematické příklady
(N, +) komutativní pologrupa (N0, +) komutativní monoid (N, ) komutativní monoid (Z, +) komutativní grupa (Z, ) komutativní monoid (Q, +) komutativní grupa (Q, ) komutativní monoid (Q-{0}, ) komutativní grupa (Zn, +) komutativní grupa (Zn, ) komutativní monoid (Zn*, ) komutativní grupa

16 Vlastnosti struktur V pologrupách nezáleží na uzávorkování
V komutativní grupoidech nezáleží na pořadí V pologrupách definujeme mocninu an jako aplikaci operace na n činitelů a Mocnina se zápornými n se definuje jako inverze na mocninu V monoidu existuje také a0 = e V grupě je inverzí k prvku a  b prvek b-1  a-1 Lze dokázat (v monoidu) platnost am  an = am+n, (am)n = amn

17 Příklady Na konečné množině A = #, $,%} je možno zadat operaci * tabulkou. Rozhodněte, zda je operace * komutativní a asociativní Existuje v grupoidu (A,*) neutrální prvek? Pokud ano, existuje ke každému prvku inverzní prvek? Ukažte, že ({a,b}+, ·) je pologrupa, ale není monoid. Určete řád prvku 5 v grupě (Z7, +) Určete řád prvku 3 v grupě (Z5*, ·) Určete vlastnosti struktur ({0,1},+) a ({0,1},·) * @ # $ %

18 Podstruktury Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť BA. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa. Například (S0, +) je podmonoidem monoidu (N0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.

19 Podgrupy (H, ) je podgrupou grupy (G, ) právě tehdy, když:
H  G e  H a  H  a-1  H a,b  H  a  b  H Pomocí množiny M  G můžeme generovat podgrupu (M, ) grupy (G, ) – hovoříme o podgrupě generované množinou M Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická