Notace napětí 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Symetrie tenzoru,

Prezentace na téma: "Notace napětí 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Symetrie tenzoru,"— Transkript prezentace:

1 Notace napětí 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Symetrie tenzoru,
vektorový zápis Systém x, y, z Systém 1, 2, 3 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 2 List 1

2 Notace posuvů a deformace
2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Notace posuvů a deformace M M’ u u1 v u2 w u3 x x1 1 y x2 2 z x3 3 Systém x, y, z Systém 1, 2, 3 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 2 List 2

3 Pootočení souřadného systému
2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Pootočení souřadného systému Transformace napětí a deformace 1 x x1 2 y x2 1=1’ z=z’ x3 = x3’ 1’ x’ x’1 2’ y’ x’2 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 2 List 3

4 Transformace napětí a deformace
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 4 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Transformace napětí a deformace 1 x x1 2 y x2 1=1’ z=z’ x3 = x3’ 1’ x’ x’1 2’ y’ x’2

5 C …. matice tuhosti S…. matice poddajnosti
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 5 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Vztah mezi napětím a deformací Hookeův zákon C …. matice tuhosti S…. matice poddajnosti symetrie tenzoru napětí a deformace Matice C a S pro anizotropní materiál mají 21 nezávislých prvků

6 Vztah mezi napětím a deformací
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 6 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Vztah mezi napětím a deformací Hookeův zákon v pootočeném souřadném systému Matice tuhosti a poddajnosti v transformovaném systému Inverzní výrazy mají tvar . Přitom platí

7 Typy anizotropie 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 7 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Typy anizotropie Anizotropní materiál – 21 nezávislých prvků matice tuhosti neexistuje rovina symetrie materiálových vlastností Monoklinický materiál – 1 rovina symetrie materiálových vlastností, 13 nezávislých prvků matice tuhosti Ortotropní materiál – 3 roviny symetrie materiálových vlastností, 9 nezávislých prvků matice tuhosti Příčně (transverzálně) – 3 roviny symetrie materiálových vlastností izotropní materiál v jedné z rovin se chová jako izotropní 5 nezávislých prvků matice tuhosti Pseudo izotropní materiál – 3 roviny symetrie materiálových vlastností v těchto osách stejné elastické vlastnosti 3 nezávislé prvky matice tuhosti Izotropní materiál – 2 nezávislé prvky matice tuhosti stejné elastické vlastnosti ve všech směrech

8 Ortotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY matice tuhosti
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 8 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Ortotropní materiály hlavní směr anizotropie hlavní směr anizotropie rovina symetrie elastických vlastností x2 x3 vlastností x1 x2 vlastností x1 x3 matice tuhosti matice poddajnosti (2.50)

9 Ortotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 9 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Ortotropní materiály Inženýrské materiálové parametry matice poddajnosti – ortotropní materiál jsou moduly pružnosti v tahu v hlavních směrech anizotropie jsou moduly pružnosti ve smyku v rovinách rovnoběžných s příslušnou rovinou symetrie elastických vlastností jsou Poissonova čísla (též Poissonovy konstanty), u kterých první index odpovídá směru působícího normálového napětí a druhý směru, při němž vzniká příslušná deformace v příčném směru. 9 nezávislých prvků matice tuhosti Protože je matice poddajnosti ve výrazu (2.50) symetrická, platí

10 Příčně izotropní materiály
2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Příčně izotropní materiály Příčně (transverzálně) izotropní materiál 5 nezávislých prvků matice tuhosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 2 List 10

11 Izotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Izotropní materiál
2 nezávislé prvky matice tuhosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 2 List 11

12 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY
Pojmy: laminát x lamina mikro-mechanická x makromechanická analýza napětí jednosměrový kompozit ortotropní resp. příčně izotropní materiál souřadnicový systém ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 3 List 12

13 Příklad 1 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: Vyšetřete:
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 13 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 1 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy Vyšetřete: materiálové charakteristiky (elastické konstanty) v podélném a příčném směru

14 Vztahy mezi napětím a deformací
3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Vztahy mezi napětím a deformací Namáhání v podélné ose Namáhání v příčné ose Superpozice namáhání (rovinná napjatost) Namáhání smykem ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 3 List 14

15 Rovinná napjatost v lamině
3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Rovinná napjatost v lamině Příčně izotropní materiál nebo ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 3 List 15

16 Rovinná napjatost v lamině
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 16 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Rovinná napjatost v lamině

17 Příklad 2 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: 6,992 103 3,422 103
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 17 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 2 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy viz př. 1 zatížení Vyšetřete: deformace v souřadnicovém systému (L,T ) (deformace v podélném a příčném směru, a zkos) 3, 6,

18 Transformace napětí a deformace v lamině
3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Transformace napětí a deformace v lamině ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM Kap 3 List 18

19 Příklad 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: Vyšetřete:
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 19 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 3 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy a zatížení Vyšetřete: napětí v souřadnicovém systému (L,T )

20 Transformace napětí a deformace v lamině
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 20 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Transformace napětí a deformace v lamině

21 Mimoosová tuhost laminy
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 21 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Mimoosová tuhost laminy Při rovinné napjatosti

22 Mimoosová poddajnost laminy
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 22 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Mimoosová poddajnost laminy má obecně všechny prvky nenulové – důsledek:

23 Prvky mimoosové poddajnosti
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 23 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Prvky mimoosové poddajnosti

24 Prvky mimoosové tuhosti a poddajnosti
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 24 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Prvky mimoosové tuhosti a poddajnosti

25 Závislost mimoosové tuhosti na úhlu vláken
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 25 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Závislost mimoosové tuhosti na úhlu vláken

26 Příklad 4 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: Vyšetřete:
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 26 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 4 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy a zatížení Vyšetřete: deformace v souřadnicovém systému (x,y) a (L,T)

27 Příklad 1 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 27 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 1

28 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY
ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, Praha 6 MKM List 28 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY