Faktory a jejich uspořádání

Prezentace na téma: "Faktory a jejich uspořádání"— Transkript prezentace:

1 Faktory a jejich uspořádání
Faktor (kvalitativní proměnná) factor (= categorial variable = categorical v.) Hladina faktoru factor level Máme-li dva nebo více faktorů, záleží správná volba modelu ANOVA na jejich vzájemném vztahu (uspořádání, design) Faktoriální (factorial design) x hierarchické (nested = hierarchical design)

2 Faktoriální uspořádání
Každá hladina určitého faktoru je kombinována s každou hladinou ostatních faktorů Mají-li naše faktory jen 2 hladiny, pak při 2 faktorech máme 4 kombinace při 3 faktorech máme 8 kombinací ... Obecně, mají-li faktory A, B, C,... a, b, c,... hladin, pak je počet kombinací a*b*c*...

3 Faktoriální uspořádání v terénu - faktory: tvar a vzor

4 Hierarchické uspořádání
tři lokality na každé lokalitě tři kytky na každé pět měření Faktor Kytka je vložen (vnořen) do faktoru Lokalita (Kytka is nested in Lokalita) Kytka 1 (kyt1) z první lokality nemá nic společného s kytkou 1 z druhé lokality

5 Faktoriální uspořádání: vyváženost
Je nejlepší, pokud máme pro každou kombinaci hladin faktorů stejný počet pozorování, dostáváme pak nejsilnější a nejvíce robustní test Přinejmenším bychom ale měli mít proporční uspořádání

6 Když jsou faktory “nezávislé”, a design je vyvážený
Vyvážený design Váhy krys

7 Když jsou faktory “nezávislé”, a design je proporční
Proporční design Váhy krys

8 Když jsou faktory “závislé”, tj. design není vyvážený ani proporční
Neproporční design Váhy krys Podle marginálnch průměrů se zdá, jako by poslech hudby ovlivňoval váhu krys. (Jsou metody, které si s tím jsou schopny částečně poradit [LS means], ale ztrácí se síla testu pro oba faktory).

9 Statistica spočítá cokoliv, ale
Pokud mám proporční uspořádání, výsledek by měl být vždy stejný Dvoucestnou ANOVu mohu počítat i při neproporčním uspořádání - předvolba, která tam je (Type III sum of squares - orthogonal) je v pořádku, ale mohu se podle situace pokusu rozhodnout i pro jiný (asi Type I - sequential), a měl bych vědět, co který znamená (a proč se tedy výsledky liší).

10 Dvoucestná ANOVA bez interakce
Nejprve začneme s modelem, ve kterém předpokládáme, že vlivy hnojení a kosení na počet druhů jsou aditivní: Xijk = m + ai + bj + eijk m je celkový (společný) průměr (např. 22.5) a je vliv kosení (např. a1=-5.0, a2=+5.0) b je vliv hnojení (např. b1=+2.5, b2=-2.5) e je náhodná variabilita, nezávislá na hodnotách faktorů

11 Dvoucestná ANOVA bez interakce
Aditivitu faktorů často nemůžeme předpokládat a priori, ověřujeme ji použitím neaditivního modelu (s interakcí): test interakčního členu a interaction plot SSTotal=SShnojeno+SSkoseno+SShnojeno*koseno+SSerror H0A: a1=a2=0 hnojení nemá vliv H0B: b1=b2=0 kosení nemá vliv H0AB: g11=g12=g21=g22=0 není interakce

12 Dvoucestná ANOVA s interakcí
Model bez interakce: Xijk = m + ai + bj + eijk Přidáme-li interakci: Xijk = m + ai + bj + gij + eijk Interakce mezi faktory je symetrická, a tak nám říká buď: „velikost (případně i směr) vlivu hnojení závisí na tom, zda je plocha kosená nebo ne“ nebo „velikost (případně i směr) vlivu kosení závisí na tom, zda je plocha hnojená nebo ne“ Speciální případ: “kosení má vliv jen u nehnojených ploch“ (můžeme vyjádřit i „hnojení má vliv jen u kosených ploch“)

13 Dvoucestná ANOVA s interakcí
Není interakce: Je interakce: Hlavní efekt (main effect) Je třeba zdůraznit, že spojování průměrů tady není interpolací: jde nám o zobrazení interakce pomocí (ne)rovnoběžnosti čar Když popisuji výsledky, nestačí říct, že interakce je průkazná, musím uvést proč (kde a jaká je odchylka od aditivity)

14 Méně častý typ interakce
Vliv 2 léků (A a B) na snížení teploty testován faktoriálním experimentem Hlavní efekt léku A vyšel neprůkazný, hlavní efekt léku B také, ale vyšla průkazná interakce Interaction plot vypadá takto: Výsledek neznamená, že by léky nebyly účinné! Jejich účinek se při společném podání ruší.

15 F statistika v dvoucestné ANOVA faktory s pevným efektem
Fhnojeno, Fkoseno, Fhnojeno*koseno jsou všechny počítány dělením příslušného MS hodnotou MSError Například: Fhnojeno=352.8/8.025 = Není tomu ale tak v případě faktorů s náhodným efektem!

16 Mnohonásobná porovnání
Ve faktoriální analýze variance (s 2 a více faktory) provádím obdobně jako ve one-way ANOVA V našem příkladu nemá smysl: máme jen dvě hladiny pro každý z faktorů Mohu porovnávat buď pro hlavní efekty nebo i pro interakci (tj. všechny faktoriálně vytvořené skupiny mezi sebou) Co budu porovnávat rozhoduji já (ovšem s ohledem na výsledky testu)

17 F statistika v dvoucestné ANOVA mixed effects (náhodný+pevný)
Zkoumám vliv kosení na druhovou bohatost, máme tři lokality, na každé mám tři kosené a tři nekosené plochy Fkoseno = MSkoseno / MSlokalita*koseno tj / 5.39

18 Experimentální uspořádání: 1 – úplně znáhodněné
Máme experiment se 4 zásahy (K, Z1, Z2, Z3) a se 4 opakováními pro každý typ zásahu (= pro každou hladinu faktoru) Je-li všech 16 ploch rozmístěno zcela náhodně (completely randomised design), hodnotím jednocestnou analýzou variance

19 Experimentální uspořádání: 2 – zcela nesprávné
Vliv zásahu nelze v datech získaných z tohoto špatného uspořádání odlišit od vlivu umístění v prostoru Pojem pseudoreplikace (pseudoreplication)

20 Experimentální uspořádání: 3 – znáhodněné bloky
Randomised blocks, ale pozor, někdy též jako Completely randomised blocks nebo randomized complete blocks! Náhodný faktor Blok, two-way ANOVA bez interakce. Silnější test, pokud se bloky liší

21 Experimentální uspořádání: 4 – Latinský čtverec
Latin square Známe směry prostorové variability a buď je jen jeden (např. vlhkost) nebo jsou kolmé 3-way ANOVA, náhodné fak. řádek a sloupec

22 Friedmanův test a je počet hladin studovaného faktoru b je počet bloků
Neparametrický test pro úplné znáhodnění bloky, ale na jiném principu než Wilcoxonův test (tady mi stačí hodnoty v rámci bloku seřadit, nepotřebuju tedy odečítat) Založeno na pořadí hodnot (pro jednotlivé hladiny faktoru) uvnitř bloků a je počet hladin studovaného faktoru b je počet bloků Ri je součet hodnot pořadí pro i-tou hladinu

23 Transformace: problémy s aditivitou 1
Porovnávám výšky sedmikrásek a slunečnic a jejich odpověď na přidání živin Faktoriální uspořádání, 2 faktory s pevným efektem a 2 hladinami (druh a živiny) Tři testovatelné hypotézy (2 hlavní efekty plus interakce): výška sedmikrásek a slunečnic se neliší výška rostlin se mění po přidání živin vliv přidání živin je stejný pro oba druhy

24 Transformace: problémy s aditivitou 2
Lze očekávat heterogenitu variancí (hodnoty výšky budou mít asi větší varianci u slunečnic než u sedmikrásek) S.D. bude lineárně závislá na průměru (CV bude konstantní) Interakce v ANOVA modelu testuje aditivitu, a tedy nárůst výšky díky přidání živin stejný (v cm) u obou druhů – např. 10 cm:

25 Transformace: problémy s aditivitou 3
Taková aditivita ale neodpovídá „biologické realitě“ – lze spíše očekávat nárůst proporční, např. o 100% Odpovídající model pro vliv druhu (slunečnice je 10-krát vyšší než sedmikráska; hnojení zvýší výšku 2-krát) je: Chceme-li dostat model ANOVA, musíme logaritmovat Tabulka logaritmů průměrných výšek pak vypadá takto:

26 Logaritmická transformace
Pokud byla v původních datech S.D. lineárně závislá na průměru, vede k homogenitě var. Mění multiplikativní efekty na aditivní Mění lognormální rozdělení e na normální Problém s nulami: v biologických datech časté (pokryvnost či početnost druhu ve vzorku) X’ = log(X+c), c by mělo odpovídat škále hodnot X (c=1 vhodné pro počty, procenta) Přičtení c narušuje (někdy ne moc) převod multiplikativity na aditivitu

27 Jiné transformace Předpokládáme-li pro závislou proměnnou Poissonovu distribuci: Pro procenta a podíly (na škále 0 – 1):

28 Hierarchické uspořádání (nested design)
tři lokality na každé lokalitě tři kytky na každé pět měření V příkladě je faktor Kytka jasně s náhodným efektem, u faktoru Lokalita si lze představit obě možnosti. Takto vypadají nejčastější případy hierarchické analýzy variance Vyrovnanost počtu pozorování je i zde velmi důležitá

29 Hierarchické uspořádání příklad s délkou trubky 1
3 2

30 Hierarchické uspořádání příklad s délkou trubky 2
Při rozkladu sumy čtverců (SS) počítáme čtverce rozdílů každého pozorování (průměru) od jeho hierarchicky nejbližšího vyššího příslušného průměru Jsou-li hierarchicky nižší efekty náhodné, je F statistikou poměr MS efektu a MS nejbližšího hierarchicky nižšího efektu

31 Nejčastější použití hierarchické analýzy variance
Rozklad variability znaků mezi jednotlivé hierarchické úrovně (taxonomické / prostorové) Často mne zajímá především hierarchicky nejvýše postavený faktor, podřazené faktory umožňují oddělení variability na nižších úrovních  zvýšení síly testu Příklad: vliv pastvy – 6 ohrad: ale v každé 5 ploch (zachytí variabilitu uvnitř ohrad), z každé plochy 3 vzorky pro analýzy (zachytí variabilitu v biomase a v anal. metodě)

32 Pseudoreplikace ještě jednou
Pozor na směsné vzorky: umožní zprůměrovat „nezajímavou variabilitu“, ale ztrácí se nezávislost pozorování v nich zahrnutých vzorků! Ale pozor – směsné vzorky samy o sobě není nic špatmného, ale musí být replikované Tohle nejsou nezávislá pozorování !!

33 Složitější modely ANOVA
Faktoriálně a hierarchicky uspořádané faktory se mohou různě kombinovat, přičemž některé budou s pevným a některé s náhodným efektem (Tohle nechci ke zkoušce, ale bude se vám to hodit na diplomky apod. – V mnoha diplomkách si s tím, co jste se naučili v tomhle kursu nevystačíte.)

34 Split plot (main plots and split plots - two error levels)
6 polí (3 vápenec, 3 žula), na každém poli 3 typy zásahů

35 ANOVA - Repeated measures
Mám nějaké experimentální uspořádání, a každý objekt sleduji v průběhu času, např.

36 Replicated BACI - repeated measures