Elipsa chyb a Helmertova křivka

Prezentace na téma: "Elipsa chyb a Helmertova křivka"— Transkript prezentace:

1 Elipsa chyb a Helmertova křivka
Jiří Buneš Pavel Hromádka

2 Abstrakt Helmertova křivka a elipsa chyb jako nositel informace o středních chybách souřadnic v rovině a v prostoru. Geometrický význam HK a elipsy chyb, její odvození. Ukázka výpočetního prostředí Matlab užitého při vykreslení křivek, ploch a tvorbě uživatelského rozhraní.

3 Význam elipsy chyb jako nositele informace
Elipsa chyb vyjadřuje velikost středních chyb ve směru svých poloos Velikost poloos a,b odpovídá odmocninám vl. čísel kovarianční matice Směr poloos odpovídá vl. vektorům kovarianční matice Elipsa chyb je geometrické místo koncových bodů vektorů majících stejnou hustotu pravděpodobnosti výskytu

4 Poloosy a,b elipsy chyb

5 Význam Helmertovy křivky jako nositele informace
Helmertova křivka vyjadřuje velikost středních chyb v libovolném směru Pro zjištění velikosti střední chyby užijeme zákon hromadění středních chyb a výsledkem je průvodič HK Zjednodušené vyjádření bez uvážení korelace

6 Průvodič HK Průvodič ECH

7 Vznik fce. elipsy chyb z hustoty pravděpodobnosti
Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 2D chyby V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. elipsy Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů

8 Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 2D chyby
V případě proměnné hustoty pravděpodobnosti (korelované), je rce. elipsy

9 V případě závislých (korelovaných) stř
V případě závislých (korelovaných) stř. chyb má elipsa své poloosy pootočeny a proto je potřeba souřadnice x a y transformovat do nové soustavy pro zjištění velikosti poloos Úhel stočení Transformační rce

10

11 Helmertova plocha a elipsoid chyb
HP a ECH mají svou podobu i v 3D, stejně jako v rovině je největší rozdíl mezi oběma plochami to, že ECH zobrazuje stř. chybu v jednotlivých poloosách, kdežto HP v libovolném směru Opět je zde volen parametr t jež určuje procento výskytu možných hodnot

12 Poloosy a,b,c elipsoidu chyb
Řešení vl. Čísel této matice vede k rovnici 3. stupně

13 Význam HP jako nositele informace
Pro zjištění střední chyby v libovolném směru zjistíme velikost průvodiče v daném místě Pro zjištění rozdělení pravděpodobnosti v požadovaném směru vedeme řez HP a výsledkem je Gaussova křivka rozdělení hustoty pravděpodobnosti

14 Zjednodušené vyjádření průvodiče HP a ECH bez uvážení korelace
Odvození je provedeno pomocí zákona hromadění středních chyb Průvodič HP Průvodič ECH

15 Vznik fce. elipsoidu chyb z hustoty pravděpodobnosti
Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 3D chyby V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. Elipsoidu Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů

16 Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 3D chyby

17

18

19 Vysvětlivky Geometrické charakteristiky rozptylu

20 Příklad Vyrovnání jednoduché vázané sítě kde byly měřeny pouze délky a ukázka použití ECH a HK v praxi za použití skriptu vytvořeného v prostředí Matlab Kovarianční matice

21 Parametry a,b elips vypočtené jako vl. čísla diagonálních submatic
Situační náčrt

22 Vykreslení HK a ECH bod 407

23 Vykreslení HK a ECH bod 422

24 Vykreslení HK a ECH bod 424

25 Děkuji za pozornost