Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava

Prezentace na téma: "Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava"— Transkript prezentace:

1 Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava

2 Elementární funkce Obsah: 1. Lineární a konstantní funkce
2. Kvadratická funkce 3. Mocninná funkce 4. Lineární lomená funkce 5. Exponenciální funkce 6. Logaritmická funkce

3 Lineární a konstantní funkce
Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Lineární funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax+b , a,b R, D(f)max = R. Př.: f1: y = 2x - 3 , f2: y = - 0,5x +1 , f3: y = x , f4: y = 10x apod. Grafem každé lineární je přímka. (pro D(f) R je grafem část přímky) U Graf lineární funkce je určen dvěma libovolnými různými body (pro dvě různá x D(f) určíme f(x)). y = ax + b f(x2) x1 x2 f(x1)

4 Lineární a konstantní funkce
Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 1) Je-li a = 0, stává se lineární funkce f: y = ax + b funkcí konstantní f: y = b. Grafem konstatní funkce je přímka (nebo její část), která je rovnoběžná se souřadnicovou osou x a procházející bodem [0; b]. D(f) = R *) H(f) = {b} je omezená není prostá v každém x D(f) je maximum i minimum je sudá y = b b *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

5 Lineární a konstantní funkce
Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 2) Je-li b = 0 , a ą 0, jde o tzv. přímou úměrnost f: y = ax. Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) různoběžná se souřadnicovými osami a procházející bodem [0;0]. D(f) = R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola pro a > 0 je rostoucí pro a < 0 je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = ax , a > 0 y = ax , a < 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

6 Lineární a konstantní funkce
Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 3a) Pro a > 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti: D(f) = R *) H(f) = R je rostoucí není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum y = ax + b a > 0 [0;b] [-b/a;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

7 Lineární a konstantní funkce
Ű Zpět na obsah Lineární a konstantní funkce Vlastnosti lineární funkce: 3b) Pro a < 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti: D(f) = R H(f) = R je klesající není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum *) y = ax + b a < 0 [0;b] [-b/a;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

8 Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax2 + bx + c , a, b, c R, a ą 0, D(f)max = R. U Grafem každé kvadratické funkce je křivka zvaná parabola , která je osově souměrná podle osy rovnoběžné se souřadnicovou osou y. Průsečík osy paraboly a paraboly se nazývá vrchol paraboly (většinou označen V). (pro D(f) R je grafem část paraboly) kvadratický člen absolutní člen Př.: f1: y = 2x2 - 3x + 5 f2: y = x2 +1 f3: y = -4x2+x f4: y = 3x2 apod. f: y = ax bx c lineární člen kvadratický trojčlen ax2 + bx + c

9 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce:
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce: 1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2. Grafem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0]. 1a) Pro a > 0 : D(f) = R *) H(f) =  0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-Ą; 0  je rostoucí na  0; +Ą) není prostá má ostré abs. minimum v xm = 0 nemá maximum je sudá y = ax2 , a > 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit V=[0;0] U

10 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce:
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce: 1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2. Grafemem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0]. 1b) Pro a < 0 : D(f) = R *) H(f) = (-Ą ; 0  je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-Ą; 0  je klesající na  0; +Ą) není prostá má ostré abs. maximum v xM = 0 nemá minimum je sudá V=[0;0] y = ax2 , a < 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

11 Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Tvar paraboly - grafu ryze kvadratické funkce y = ax2 ovlivňuje hodnota koeficientu a . Nejjednodušší kvadratickou funkcí (tzv. základní kvadratickou funkcí) je funkce : y = 1.x2 = x2 (tj. a = 1, b = c = 0). Grafy ostatních ryze kvadratických funkcí y = ax2 jsou v porovnání s ní a) užší pro |a| > b) širší pro 0 < |a| < 1 y = ax2 y = ax2 a = 1 a = -1 a = 2 a = -2 a = 3 a = -3

12 Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Graf funkce y = ax2 + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2 ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ 0 ; k ]. y = ax2 + k a > 0, k > 0 a < 0, k < 0 y = ax2 + 2 y = ax2 + 1 y = ax2 y = ax2 - 1 y = ax2 y = ax2 - 3 vrchol V = [ 0 ; k ]

13 Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Graf funkce y = a(x-m)2 vznikne posunutím grafu funkce y = ax2 ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; 0 ]. y = a(x-m)2 a > 0, m < 0 a < 0, m > 0 y = ax2 y = a(x-1)2 y = a(x+1)2 y = ax2 y = a(x-3)2 y = a(x+3)2 vrchol V = [ m ; 0 ]

14 Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Graf funkce y = a(x-m)2 + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2 ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; k ]. y = a(x-m)2 + k a > 0, m < 0, k > 0 y = a(x+1)2 + 2 y = ax2 vrchol V = [ m ; k ]

15 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce:
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce: 2) Graf každé kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c lze získat posunutím grafu ryze kvadratické funkce y = ax2 . Vrchol paraboly, která je grafem kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c , je bod V = [xV;yV], kde Funkční předpis každé kvadratické funkce (kvadratický trojčlen) lze upravit na tvar Hodnota m určuje posun grafu funkce y = ax2 ve směru osy x, hodnota k posun ve směru osy y. -m k

16 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce - příklad:
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce - příklad: y = x2 - 2x - 3 y = x2 V = [ 1; -4 ] y = x2- 2x - 3 = (x-1)2 - 4 V = [ 0; 0 ] V = [ 1; -4 ]

17 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c :
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c : y Pro a > 0 : D(f) = R *) H(f) = ; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je rostoucí na ; +Ą) je klesající na (-Ą;  není prostá má ostré abs. minimum v xm = nemá maximum x V *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

18 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c :
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c : y Pro a < 0 : D(f) = R *) H(f) = (- Ą; ´  je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-Ą;  je klesající na ; +Ą) není prostá má ostré abs. maximum v xM = nemá minimum V x *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

19 Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c :
Ű Zpět na obsah Kvadratická funkce Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c : Při sestrojování grafu kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c nám mohou pomoci další jeho body (pokud existují) - průsečíky se souřadnicovými osami: průsečík s osou y - bod [ 0 ; f(0) ] průsečíky s osou x - body [ x1; 0 ], [ x2 ; 0 ] , kde x1, x2 jsou řešení kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 y [ 0 ; f(0) ] [ x1; 0 ] [ x2 ; 0 ] x

20 Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Mocninnou funkcí s přirozeným exponentem n je každá funkce f: y = xn, n N, D(f)max = R. Grafem této mocninné funkce je pro n = 1 přímka (jde o nejjednodušší lineární funkci y = x), pro n >1 parabola n-tého stupně (pro n = 2 jde o nejjednodušší kvadratickou funkci y = x2). Př.: y = x3 y = x4 y = 2x5 y = -x3+2

21 Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N :
Ű Zpět na obsah Mocninná funkce y = x5 Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N : y = x3 a) Pro n liché : D(f) = R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = x1 [1;1] [-1;-1] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

22 Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N :
Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N : b) Pro n sudé : D(f) = R *) H(f) = R je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-Ą;0  je rostoucí na  0;+Ą) není prostá má ostré abs. minimum v xm = 0 nemá maximum je sudá y = x6 y = x4 y = x2 [-1; 1] [1;1] [0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

23 Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Mocninnou funkcí se záporným celočíselným exponentem n je každá funkce f: y = xn , n Z-, D(f)max = R - {0}. Grafem této mocninné funkce je hyperbola s asymptotami splývajícími se souřadnicovými osamu x, y. Př.: y = x-1 y = x-2 y = 4x-3

24 Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn , n  Z-
Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn , n  Z- y = x-3 a ) Pro n liché : D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = x-5 [1;1] y = x-1 [0;0] [-1; -1] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U

25 Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn , n  Z-
Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn , n  Z- y = x-4 b ) Pro n sudé : D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená zdola není omezená shora je rostoucí v (-Ą; 0) je klesající v (0;+Ą) není prostá nemá maximum nemá minimum je sudá y = x-6 [-1; 1] [1;1] y = x-2 [0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U

26 Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Speciálním případem mocninné funkce se záporným celým exponentem je funkce nepřímá úměrnost, tj. funkce f: y = , D(f)max = R- {0}, k R, k ą 0. k x Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola (souměrná posle os kvadrantů a podle počátku k.s.s.) s asymptotami v osách x, y. Pro k > 0: D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá 1,5 y = x [1;k] [k;1] [0;0] [-k; -1] [-1; -k] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U

27 Ű Zpět na obsah Mocninná funkce Pro posuny a změny tvaru mocninných funkcí platí stejná pravidla jako pro funkci kvadratickou. Graf funkce y = a(x-m)n + k vznikne posunutím grafu funkce y = axn ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Střed popř. vrchol křivky je bod V = [ m ; k ]. y´ 2 (x-3)2 + 1 2 x2 x´

28 Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = R. ( pro a = 1 by šlo o funkci konstatní y = 1x = 1 ): Př.: y = 2x , y =( )x , y = 10x 1 3 Speciální případy: dekadická exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = 10 , tj. funkce f: y = 10x přirozená exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = e , tj. funkce f: y = ex e - Eulerovo číslo , e = 2,718 Grafem exponenciální funkce je křivka nazývaná exponenciální křivka (nebo exponenciála), která prochází body [0;1], [1;a] , [-1; ] a která se asymptoticky blíží k ose x. 1 a

29 Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1: Pro 0 < a < 1 : D(f) = R *) H(f) = (0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum y = ax 0 < a < 1 1 [-1; ] a [1;a] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

30 Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1: Pro a > 1 : D(f) = R *) H(f) = (0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum y = ax a > 1 [1;a] 1 [-1; ] a *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit U

31 Ű Zpět na obsah Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a R+,a ą 1: Graf funkce y = ax se pro a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "strmějším". Graf funkce f: y = ax-m + k je posunutým grafem funkce f: y = ax. y = 0,33x y = 0,25x y = 4x y = 3x y = 2x y = 2x y = 0,5x y = 2x+1 - 3

32 Logaritmická funkce se základem a je tzv. inverzní funkce k funkci
Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a je funkce f: y = log a x , a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = (0; +Ą). Logaritmická funkce se základem a je tzv. inverzní funkce k funkci exponenciální se základem a. Pro každé x (0;+Ą), y R, a (0; +Ą), a ą 1 platí: log a x = y  ay = x. Grafem logaritmické funkce je křivka zvaná logaritmická křivka, která je osově symetrická podle osy I. a III. kvadrantu souř.soustavy s exponenciální křivkou se stejným základem a asymptoticky se blíží k souřadnicové ose y. Každá logaritmická křivka prochází body [1;0], [a;1] , [ ;-1]. 1 a Speciální případy: dekadická logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = 10, tj. funkce f: y = log10x = log x přirozená logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = e , tj. funkce f: y = ln x (e - Eulerovo číslo , e = 2,718)

33 Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 : Pro a > 1 : D(f) = (0; +Ą) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum y = logax a > 1 [a;1] [1;0] 1 [ ;-1 ] a *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = (0;+Ą), pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnit U

34 Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 : Pro 0 < a < 1 : D(f) = (0; +Ą) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum y = logax 0 < a < 1 [ a ; 1 ] [1;0] 1 [ ;-1] a *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = (0;+Ą), pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnit U

35 Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 : Graf funkce y = log ax se při a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "pozvolnějším". Graf funkce f: y = log a(x-m) + k je posunutým grafem funkce f: y = log a x. y = log2x y = log3x y = log2(x-1)+2 y = log4x y = log2x y = log0,25x y = log1/3x y = log0,5x

36 Goniometrické funkce Zobrazení množiny R do jednotkové kružnice
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Zobrazení množiny R do jednotkové kružnice Každému reálnému číslu x lze přiřadit na jednotkové kružnici právě jeden bod K = [ xK ; yK ] tak, že délka oblouku JK je rovna x. (délka oblouku je měřena po jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček pro x > 0, po směru pro x < 0; měří se ve stejných jednotkách jaké jsou v k.s.s., J = [1;0]) y y |JK| = x 1 1 K x yK x K yK J J x x -1 -1 xK xK 1 1 -1 -1 Každému reálnému číslu x lze tedy takto jednoznačně přiřadit dvě reálná čísla xK ( x-ová souřadnice bodu K ) a yK (y-ová souřadnice bodu K).

37 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Každý bod K jednotkové kružnice je obrazem nekonečně mnoha reálných čísel v uvedeném zobrazení. Jejich velikost se liší o násobek hodnoty 2p (délka jednostkové kružnice). Jestliže x = x0 + k.2p , kde k Z , x ; 2p) , je číslům x i x0 přiřazen stejný bod K na jednotkové kružnici. y y 1 1 K K yK yK x = x p x0 J J x x -1 xK -1 xK 1 1 -1 -1

38 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Funkcí sinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslu x přiřazuje číslo yK (y-ová souřadnice bodu K). y y 1 1 x K yK x sin x J J x x -1 -1 1 1 sin x yK K -1 -1 x K yK = sin x sinus_4.fig přechod do programu Cabri Geometry II Plus Ü

39 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Funkcí kosinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslu x přiřazuje číslo xK (x-ová souřadnice bodu K). y y 1 1 x K x xK cos x J J x x -1 -1 cos x xK 1 1 K -1 -1 x K xK = cos x

40 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Velikost oblouku JK může vyjadřovat velikost úhlu J0K v obloukové míře - |JK| = | J0K | = x rad. Funkce sinus a kosinus lze tedy definovat i pro každý úhel (libovolný úhel a umístit v k.s.s. tak, aby bod 0 byl jeho vrcholem a polopřímky 0J a 0K jeho ramena, a > 0 proti směru, a > 0 po směru hodinových ručiček) y y a ş J0K 1 x |a| = | J0K| = x rad 1 K yK x a sin a = sin x cos a = cos x a J J x -1 1 x sin a = sin x -1 1 cos a = cos x yK K -1 -1 a K yK = sin a = sin x a K xK = cos a = cos x

41 } je omezená Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = sin x :
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = sin x : D(f) = R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x kp ; kp je rostoucí pro x kp ; kp je lichá není prostá má minimum v xm = kp má maximum v xM = kp je periodická s periodou 2p } je omezená p 3 p 2 2 p p 2 2 3 p 2 p 2 p -2p p ( k Z ) 3 3 p -p p p 2p 2 2 2 2 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2p ) . U

42 } je omezená Goniometrické funkce D(f) = R *) H(f) = -1;1
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = cos x : D(f) = R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x kp ; p + 2kp je rostoucí pro x p + 2kp ; 2p + 2kp je sudá není prostá má minimum v xm = p+ 2kp má maximum v xM = 2kp je periodická s periodou 2p } je omezená ( k Z ) -2p 3 p p -p p p 3 p 2p 2 2 2 2 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2p ) . U

43 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Význačné hodnoty goniometrických funkcí sin x a cos y pro x 0;2p p p p p 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 p p p p p p p p p p p 2p X 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 6 X (°) 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 sin x 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 cos x 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

44 Goniometrické funkce + + - - + - - + y = cos x , D(f) = 0; 2p)
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce y = sin x , D(f) = 0; 2p) y = cos x , D(f) = 0; 2p) p p p 3 (0; ) ( ; ) ( ; ) p p ( ; ) 3 p 2p x 2 2 2 2 + + - - sin x + - - + cos x y = cos x p p 3 p 2p 2 2 y = sin x p p (0; ) ( ; ) p 3 ( ; ) 3 p p ( ; ) p 2p x 2 2 2 2 sin x rost. kles. kles. rost. cos x kles. kles. rost. rost.

45 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = a.sin x ( resp.y = a.cos x ) y = sin x y = 2.sin x y = 0,5.sin x

46 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin x + n (resp. y = cos x + n ) y = sin x y = sin x + 1 y = sin x - 2

47 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin(x - m) (resp. y = cos(x - m) ) y = sin x p p 3 y = sin( x ) 3 y = cos x p p y = cos( x+ ) 4 4

48 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin(k.x) (resp. y = cos(k.x) ) , k ą 0 y = sin x y = sin(2x) Perioda funkce y = sin(kx) resp. y = cos(kx) je 2p p = k y = cos x y = cos( x) 1 2

49 Goniometrické funkce sin x
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce sin x Funkce tangens se nazývá funkce daná rovnicí y = cos x p p sin x , x ą (2k+1). D(f) = R - U{(2k+1). } tj. Je tedy f: tg x = cos x 2 2 k Z Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem J = [1;0]: y t 1 K´ K tg x x J x -1 xK 1 p D(f) = R - U{(2k+1). } 2 k Z -1

50 Goniometrické funkce cos x
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce cos x Funkce kotangens se nazývá funkce daná rovnicí y = sin x cos x p p , x ą 2k. D(f) = R - U{2k. } Je tedy f: cotg x = tj. sin x 2 2 k Z Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem L = [0;1]: y L K´ 1 cotg x t K x J x -1 xK 1 -1

51 Goniometrické funkce D(f) = R - U{(2k+1). } *) H(f) = R
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = tg x : y = tg x p D(f) = R - U{(2k+1). } *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je periodická s periodou p je rostoucí pro x ( + kp ; kp) je lichá není prostá nemá minimum nemá maximum 2 k Z p p 2 2 -2p 3 -p p p p 3 p p 2p 2 2 2 2 ( k Z ) D(f) = R - U{(2k+1). } p *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = , pro D(f) D(f)max se moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; p ) nebo ; ) . 2 U k Z p p 2 2

52 Goniometrické funkce D(f) = R - U{2k. } *) H(f) = R není omezená zdola
Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Vlastnosti funkce f: y = cotg x : y = cotg x p D(f) = R - U{2k. } *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je periodická s periodou p je klesající pro x ( 0 + kp ; p + kp) je lichá není prostá nemá minimum nemá maximum 2 k Z -2p 3 p -p p p 3 p p 2p 2 2 2 2 ( k Z ) *) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = , pro D(f) D(f)max se moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; p ) . D(f) = R - U{(2k. } p 2 U k Z

53 Ű Zpět na obsah Goniometrické funkce Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí tangens a kotangens platí stejná pravidla jako pro funkce sinus a kosinus.

54 Zdroje: Použitá literatura: Použitý software:
Doc. RNDr. Josef Polák, CSc. - Přehled středoškolské matematiky (Prometheus) Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová, RNDr. Ladislav Skříček - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 2. (Prometheus) Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 3. (Prometheus) Použitý software: Cabri Geometry II plus - vlastník licence: SŠS Jihlava ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava TI Inter Active! - vlastník licence: SŠS Jihlava ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava