Úvod do teorie pravděpodobnosti

Prezentace na téma: "Úvod do teorie pravděpodobnosti"— Transkript prezentace:

1 Úvod do teorie pravděpodobnosti
Přednáška 1 Úvod do teorie pravděpodobnosti Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to pravděpodobnost? Kolmogorovův axiomatický systém Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesova věta Statistika, FEI, VŠB-TU Ostrava © Litschmannová, 2014

2 Úvod do teorie pravděpodobnosti

3 Počátky teorie pravděpodobnosti – 17. století
Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně? Blaise Pascal (1623 – 1662) zdroj: Pierre de Fermat (1601 – 1665) zdroj: kids.britannica.com

4 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti?
Pokus – děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. X Deterministické pokusy Náhodné pokusy Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek.

5 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

6 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi

7 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období

8 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne šestka.

9 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne sudé číslo.

10 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. Pro laika v oboru nutno specifikovat!!!

11 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Během jedné hodiny bude vytvořeno více než 300 funkčních požadavků.

12 Základní pojmy Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, …) Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů Náhodný jev (jinak) – libovolná podmnožina základního prostoru

13 Typy jevů Padne „7“. Padne „6“. Padne méně než „7“. Jev nemožný
Jev náhodný Jev jistý  Ω A … jev praktický nemožný ⟺ 𝑃 𝐴 <0,05 B … jev praktický jistý ⟺ 𝑃 𝐵 >0,95

14 Vybrané vztahy mezi jevy
Ω A doplněk jevu A 𝐴 Ω A B průnik jevů A a B 𝐴∩𝐵 Ω A B sjednocení jevů A a B 𝐴∪𝐵 𝐴 Ω A B jevy disjunktní Ω 𝐵 1 𝐵 2 𝐵 5 𝐵 6 𝐵 3 𝐵 4 𝐵 7 úplná množina vzájemně disjunktních jevů Ω= 𝑖=1 𝑛 𝐵 𝑖 , 𝑘𝑑𝑒 ∀𝑖≠𝑗: 𝐵 𝑖 ∩𝐵 𝑗 =∅

15 Co je to pravděpodobnost?
Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

16 Klasická definice pravděpodobnosti (Pierre Simon de Laplace, 1812)
Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. Pravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: Mějme „férovou“ hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne „6“? Označme: A … padne „6“, pak

17 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20
Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí „6“ na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka „férová“?

18 Statistická definice pravděpodobnosti
Relativní četnost jevu "padne 6"

19 Geometrická pravděpodobnost
Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

20 Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech
Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?  3 10

21 Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech
Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?  A 3 10 𝑃 𝐴 = 7 10 =0,7

22 Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 15. a 16
Dva známí se domluví, že se sejdou na určitém místě mezi 15. a 16. hodinou, přičemž doba čekání je 20 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se při této dohodě setkají? 60 𝑥−𝑦 ≤20 minut A 20  20 60

23 Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2/9 ? 1 x y  2/3 Průsečíky: 1/3 A 1/3 2/3

24 Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou kladných čísel menších než 1 bude nejvýše 1 a zároveň jejich součin bude menší než 2/9 ? 1  2/3 y 1/3 A 1/3 2/3 1 x

25 Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933)
Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů.

26 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C … náhodně vybraný útvar je červený ♥ … náhodně vybraný útvar je srdíčko

27 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 .

28 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 .

29 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 . 𝑃 𝐶 = 𝑛 𝐶 𝑛 = 5 20 =0,25

30 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete 𝑃 𝐶∩♥ .

31 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete 𝑃 𝐶∩♥ . 𝑃 𝐶∩♥ = 2 20 =0,10

32 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

33 Podmíněná pravděpodobnost
tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 ≠0 P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

34 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

35 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

36 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ . 𝑃 𝐶|♥ = 𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 ♥ = 𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 𝑛 ♥ 𝑛 = 𝑃 𝐶∩♥ 𝑃 ♥

37 Podmíněná pravděpodobnost
tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 ≠0 Jestliže výskyt jevu A nezávisí na výskytu jevu B a zároveň výskyt jevu B nezávisí na výskytu jevu A, pak říkáme, že jevy A a B jsou nezávislé. Pak platí: 𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐴 . P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

38 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

39 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

40 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

41 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek)
V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ . 𝑃 𝐶∪♥ = 𝑛 𝐶 + 𝑛 ♥ −𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 =𝑃 𝐶 +𝑃 ♥ −𝑃 𝐶∩♥

42 Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti
Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť P je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. Potom platí : 0≤𝑃 𝐴 ≤1 𝑃 Ω =1;𝑃 ∅ =0 𝑃 𝐴 =1−𝑃 𝐴 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 A, B … disjunktní jevy ⇒ 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴|𝐵 .𝑃 𝐵 A, B … nezávislé jevy ⇒𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 .𝑃 𝐵

43 Pan Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš Pick; přednáška „Dirichletovy šuplíčky“ na semináři OSMA)

44 Něco je tady špatně! Ale co???
Jaká je pravděpodobnost, že na kostce nepadne ani sudé ani liché číslo? Řešení: A … padne sudé číslo 𝑃 𝐴 =0,5 B … padne liché číslo 𝑃 𝐵 =0,5 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 =0,5∙0,5=𝟎,𝟐𝟓 Něco je tady špatně! Ale co??? Opravte chybu!

45 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1
Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, Jev Definice jevu B1 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička B2 při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C2 při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička 10 ks 5 ks

46 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček
Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že b) vytáhli-li jsme v prvním tahu bílou kuličku, ve druhém tahu vytáhneme taky bílou kuličku, 1. tah 10 ks 5 ks 2. tah (byla-li v 1. tahu vytažena bílá kulička) 10 ks 4 ks

47 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček
Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky,

48 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček
Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, nebo

49 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček
Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, nebo Pokus probíhající po etapách … možnost záznamu pomocí rozhodovacího (stochastického) stromu

50 Věta o úplné pravděpodobnosti
𝐵 1 𝐵 2 𝐵 5 𝐵 6 𝐵 3 𝐵 4 𝐵 7 𝐴 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑖=1 𝑛 𝐴∩ 𝐵 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴∩ 𝐵 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴| 𝐵 𝑖 𝑃 𝐵 𝑖

51 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

52 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

53 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

54 Pravoúhlý Vennův diagram
10% 90% 70% 30% 80% 20%

55 0,07 0,63 0,24 0,06

56 Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

57 Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

58 Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761)
zdroj:

59 Apriorní pravděpodobnost
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

60 Aposteriorní pravděpodobnost
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 𝑃 𝐶𝐻|𝐷𝑉 =? Aposteriorní pravděpodobnost

61 Studenti D DV KV CH Daný stav Výsledek testu

62 Aposteriorní pravděpodobnost
Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

63 Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

64 Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

65 Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

66 Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. 𝑃 𝐷𝐷 = 1 4

67 Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka
Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

68 Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka
Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

69 Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka
Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

70 Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka
Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. 𝑃 𝐷𝐷 = 1 3

71 Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: 𝑃 𝐾| 𝐷 𝑖 = 10 5 347 235 ≈0,000002
Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? § 62 odst. 1 zákona o matrikách: „Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče.“ Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: 𝑃 𝐾| 𝐷 𝑖 = ≈0,000002 𝑃 𝐷𝐾 𝑖 =𝑃 𝐾 𝐷 𝑖 𝑃 𝐷 𝑖 =0,000002⋅0,5=0,000001 𝑃 𝐷 𝐾 𝑖 =𝑃 𝐾 𝐷 𝑖 𝑃 𝐷 𝑖 =0,999998⋅0,5=0,499999 Označme: K … dítě je pojmenováno Kleopatra 𝐷 𝑖 … i - té dítě je dívka 𝐶𝐻 𝑖 … i – té dítě je chlapec 𝐷𝐾 𝑖 … i – té dítě je dívka a jmenuje se Kleopatra 𝐷 𝑖 ∩𝐾 𝐷 𝐾 𝑖 … i – té dítě je dívka a nejmenuje se Kleopatra 𝐷 𝑖 ∩ 𝐾

72 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra
Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷𝐾 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000

73 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra
Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐷𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000

74 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra
Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐷𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000 𝑃 𝐷∩𝐷|𝐾𝑙 = 𝑃 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 +𝑃 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝑃 𝐶𝐻+𝐷𝐾 +𝑃 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 +𝑃 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 +𝑃 𝐷𝐾+𝐶𝐻

75 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra
Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 0,500000 0,500000 0,000001 𝐷 𝐾 +𝐷𝐾 𝐷 𝐾 +𝐷 𝐾 𝐷 𝐾 +𝐶𝐻 𝐶𝐻+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐶𝐻 𝐷𝐾+𝐷 𝐾 𝐶𝐻+𝐷𝐾 𝐷𝐾+𝐶𝐻 0,499999 0,500000 0,000001 0,499999 0,500000 𝑃 𝐷∩𝐷|𝐾𝑙 = 0, , =0,5

76 Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Marie
Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Marie. D) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? § 62 odst. 1 zákona o matrikách: „Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče.“ Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: 𝑃 𝑀|𝐷 = ≈0,054037 0,493

77 A co tenhle? Dokážete najít řešení?
Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte (senzitivita testu), nebo nemáte (specificita testu). Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má? Jak by se tato pravděpodobnost změnila, pokud by opakovaný (nezávislý) test vyšel negativní?

78 A nyní byste měli dokázat vyřešit i narozeninový problém a Monty Hallův paradox!

79 Kdyby na tuto přednášku přišli všichni studenti prezenčního studia, kteří mají zapsán předmět Statistika, bylo by v posluchárně 210 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že by mezi těmito studenty byli alespoň dva studenti, kteří mají narozeniny ve stejný den?

80 Soutěžní cena – auto – je umístěna náhodně za jedny ze tří dveří
Soutěžní cena – auto – je umístěna náhodně za jedny ze tří dveří. Za každými ze zbývajících dveří je cena útěchy – koza. Úkolem soutěžícího je zvolit si jedny dveře. Poté moderátor otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, ale jen ty, za nimiž je koza. Teď má soutěžící možnost buď ponechat svou původní volbu, nebo změnit volbu na zbývající dveře. Soutěžící vyhrává cenu, která je za dveřmi, které si zvolil. Soutěžící nemá žádné předchozí znalosti, které by mu umožnily odhalit co je za dveřmi Zvýší se šance na výhru auta, pokud soutěžící změní svou původní volbu?

81 Děkuji za pozornost!