7. Přednáška limita a spojitost funkce

Prezentace na téma: "7. Přednáška limita a spojitost funkce"— Transkript prezentace:

1 7. Přednáška limita a spojitost funkce
BRVKA 7. Přednáška limita a spojitost funkce Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857)

2 Definice limity posloupnosti
BRVKA Definice limity posloupnosti Definice: Posloupnost má limitu , pokud pro každé okolí U bodu a existuje index n0 tak, že pro všechna přirozená n > n0 je člen an z okolí U bodu a. Značení: Reálné a → plst je konvergentní. a = +∞ nebo –∞ → plst je divergentní. an U(a) limita n0 n>n0 n Od určitého indexu n0 jsou všechny další členy v U okolí limity. Okolí můžeme zvolit libovolně malé.

3 limita funkce v nevlastním bodě
BRVKA Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v nevlastním bodě (v nekonečnu). Pokud se funkční hodnoty blíží nějaké hodnotě b, znamená to, že od určitého x0 jsou všechny funkční hodnoty v okolí U bodu b. Značení: y U(b) limita x x0 x>x0 Poznámky: Okolí U(b) můžeme zvolit libovolně malé, změní se tím jen to, že x0 bude o něco větší. Zjištěním x0 jsme určili okolí nevlastního bodu.

4 limita funkce ve vlastním bodě
BRVKA Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v okolí vlastního bodu a. y U(b) limita b x a P(a) Všechny funkční hodnoty čísel z okolí bodu a se nacházejí v okolí bodu b. Značení: Poznámka: Funkční hodnota bodu a nás vůbec nezajímá, nemusí být ani definována nebo může být jakákoliv, zajímá nás okolí.

5 Definice limity funkce
BRVKA Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v prstencovém okolí bodu a má v bodě a limitu b, pokud ke každému okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu a tak, že y U(b) limita b x a P(a) Jestliže má P(a) existovat pro každé okolí U(b), můžeme volit libovolné menší (užší) okolí. Prstencové okolí P(a) se pouze zúží, ale bude existovat.

6 limitA funkce zleva a zprava
BRVKA Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v levém (resp. pravém) prstencovém okolí bodu a má v bodě a jednostrannou limitu b zleva (resp. zprava), pokud ke každému okolí U bodu b existuje levé (resp. pravé) prstencové okolí P bodu a tak, že y U(b) Limita b zleva x PL(a) a Pro limitu zprava je to analogické. Značení:

7 BRVKA Existence limity Limita funkce f(x) ve vlastním bodě existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. Pak se jim rovná i limita funkce. y U(b) limita zleva limita zprava x PL(a) a PP(a)

8 Nevlastní limita ve vlastním bodě
BRVKA Funkce f(x) může mít ve vlastním bodě a nevlastní limitu, funkční hodnoty f(x) rostou (v absolutní hodnotě) nade všechny meze. U(+∞) y x a PL(a)

9 BRVKA výpočet limit Limity v nevlastních bodech určujeme stejně jako u posloupností Limity ve vlastních bodech určujeme: Dosazením, pokud to lze, tj. pokud nezískáme neurčitý výraz Vhodnou úpravou a poté dosazením: Vyhodnocením výrazu úvahou: Úvaha: „dělíme něčím, co je velmi malé, takže nám vyjde něco hodně velkého, a to kladného velkého, zřejmě + ∞. Vzorcem – viz dále. Pomocí l´Hospitalova pravidla – až budeme umět derivace

10 BRVKA výpočet limit Pokud můžeme funkci zapsat pomocí dvou jiných f a g, platí podobné vztahy jako u limit plstí Vzorcem, upravíme funkci na tvar, který obsahuje limitu ze vzorce a dosadíme:

11 Limita funkce - příklady
BRVKA Limita funkce - příklady Předchozí metody se často kombinují, např. provedeme úpravu a vyjde limita, kterou vyřešíme vzorcem či úvahou.

12 BRVKA Spojitost funkce Grafy některých funkcí jsou „přetržené“, nenavazují, např. Naopak grafy jiných funkcí lze „kreslit jedním tahem“. Takové funkce označujeme jako SPOJITÉ. Věta o souvislosti limity a spojitosti: Funkce f(x) definovaná v bodě a je v tomto bodě spojitá, pokud Typy nespojitosti: Chybějící bod, lze vhodně dodefinovat. Asymptota Skokově nespojitá funkce

13 BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.