Dopravní úloha Literatura Kosková I.: Distribuční úlohy I.

Prezentace na téma: "Dopravní úloha Literatura Kosková I.: Distribuční úlohy I."— Transkript prezentace:

1 Dopravní úloha Literatura Kosková I.: Distribuční úlohy I

2 Jednostupňová dvouindexová úloha
Přeprava zboží, materiálu, lidí …z míst zdrojů k místům spotřeby jediným způsobem To, co odvážíme nebo přivážíme se jednoduše sčítá Odkud - dodavatelé Kam – spotřebitelé Co (kolik)? Za kolik? D S

3 Dopravní úloha Matematický model Tabulkový zápis Vyvážení úlohy
Nalezení výchozího řešení Test optima Přechod na lepší řešení

4 Matematický model Najděte minimum (maximum) lineární funkce
za podmínek a podmínek nezápornosti

5 Příklad Ze tří kompostů rozvážíme hnojivo na čtyři hony.
Vzdálenosti v km mezi jednotlivými komposty a hony, kapacity kompostů a požadavky honů jsou uvedeny v dopravní tabulce. Máme určit takový přepravní plán, při kterém bude celkový počet ujetých tkm minimální. S1 S2 S3 S4 ai D 3 5 4 1 10 2 20 bj

6 Políčko uvnitř tabulky
Perspektivita Vzdálenost ui+vj-cij cij xij ui+vj Qij Propustnost Hodnota testu optimality Přepravované množství

7 Charakter dopravního systému
Kapacity dodavatelů a = (10, 20, 10)T Požadavky spotřebitelů b = (10, 5, 5, 20) Matice vzdáleností Úloha je vyvážená

8 Vyvážení úlohy Kapacita dodavatelů vyšší než požadavky spotřebitelů: přidáme fiktivního spotřebitele převis nabídky – část dodávek se nerealizuje Kapacita dodavatelů menší než požadavky spotřebitelů: přidáme fiktivního dodavatele převis poptávky – určitá část poptávky bude neuspokojená

9 Vyvážení úlohy Sazby ve fiktivním řádku i sloupci budou nulové
Kapacita fiktivního sloupce (spotřebitele) se rovná součtu kapacit dodavatelů mínus součet kapacit spotřebitelů Kapacita fiktivního řádku se rovná součtu kapacit spotřebitelů mínus součet kapacit dodavatelů

10 Metody pro nalezení výchozího řešení
Metoda severozápadního rohu Indexová metoda Vogelova aproximační metoda

11 Metoda severozápadního rohu
1. krok: Dopravní tabulka má právě jeden severozápadní roh (buňku); Obsadíme tuto buňku maximálním možným množstvím zboží xij, tj. hodnotou min(ai, bj) Dodavatele, resp. spotřebitele, který má vyčerpanou kapacitu, resp. požadavek vypustíme z dalších úvah (vyškrtneme z dopravní tabulky). 2. krok: V nově vzniklé dopravní tabulce (bez vyškrtnutého dodavatele, resp. spotřebitele) opakujeme krok 1. Konec algoritmu: když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů.

12 Metoda severozápadního rohu
Výchozí řešení nalezené metodou SZ rohu

13 Indexová metoda krok: 2. krok: Konec algoritmu:
V dopravní tabulce najdeme nejmenší cenu a buňku, která tuto cenu obsahuje, obsadíme maximálním množstvím zboží xij, tj. hodnotou min(ai bj). Dodavatele, resp. spotřebitele, jehož kapacitu jsme vyčerpali, resp. jehož požadavek jsme uspokojili, vyškrtneme z tabulky a vypustíme z dalších úvah. 2. krok: V nově vzniklé tabulce (menší, bez vyškrtnutého dodavatele, resp. spotřebitele) opakujeme krok 1. Konec algoritmu: když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů.

14 Indexová metoda První krok indexové metody

15 Indexová metoda Výchozí řešení nalezené indexovou metodou

16 Vogelova aproximační metoda
krok: V každém řádku a každém sloupci (dále jen v každé řadě tabulky) určíme rozdíly mezi dvěma nejvýhodnějšími cenami; nazveme je řádkové, resp. sloupcové diference (dále jen řadové diference). 2. krok: V řadě (řádku nebo sloupci) s největší diferencí se vyhledá buňka s nejvýhodnější cenou a obsadí se maximálním přípustným množstvím zboží xij. Dodavatel, resp. spotřebitel, u kterého je vyčerpána kapacita, resp. splněn požadavek, se z tabulky vyškrtne a vypustí z dalších úvah. 3. krok: V nově vzniklé (menší) tabulce se opakuje krok 1. a 2. Konec algoritmu: když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a splněny požadavky všech spotřebitelů.

17 Vogelova aproximační metoda
Volba první trasy

18 Test optimality krok: 2. krok: 3. krok
Určíme m+n hodnot duálních proměnných ui, vj ze vztahu ui+vj = cij, tj. pro (i,j)B (obsazená pole). Protože soustava rovnic má jeden stupeň volnosti (o jednu proměnnou víc než je rovnic), volíme ji libovolně (např. položíme u1= 0). 2. krok: Pro všechny indexy (i,j)B (neobsazená pole) prověříme, zda platí ui+vj = cij. Platí-li to pro všechny (i,j)B, řešení DÚ je optimální. V opačném případě se dá řešení zlepšit: 3. krok Vybereme největší z rozdílů ui+vj - cij  0 a buňku DiSj obsadíme maximálním možným množstvím zboží (to se provede tzv. Dantzigovým uzavřeným obvodem).

19 První krok testu optimality

20 Druhý krok testu optimality
Řešení je optimální

21 Test optimality Jiné výchozí řešení Řešení není optimální

22 Přechod na nové řešení Jedná se o změnu báze
Změna přepravovaného množství musí být vyrovnána pro všechny dodavatele i spotřebitele Provádíme graficky v dopravní tabulce Grafické schéma se nazývá Dantzigův uzavřený obvod 

23 Dantzigův obvod - definice
Je to lomená čára, která vychází z neobsazené buňky (i,j)B, lomí se v obsazených buňkách (r,s)B a končí v původní buňce. Buňky, ve kterých se obvod lomí, označujeme střídavě znaménky + a  podle toho, zda příslušnou hodnotu xij k trase přidáváme nebo z trasy odebíráme. Aby nové řešení bylo bazické, tj. obsahovalo opět m+n1 kladných hodnot cij, volíme za přesunovanou hodnotu xij minimální z hodnot xij na rozích uzavřeného obvodu označených znaménkem .

24 Danzigův uzavřený obvod
+ - - +

25 Nové řešení Přesun t=5 po Danzigově obvodu Řešení je degenerované

26 Degenerace Říkáme, že řešení je degenerované, když počet kladných hodnot xij (tj. počet obsazených spojů) je menší než m+n-1. Degenerace vzniká: Při konstrukci výchozího řešení Při přesunech po Dantzigových obvodech Odstranění degenerace Vložíme malé množství ε na neobsazené pole, které s ostatními obsazenými netvoří uzavřený okruh. Toto pole pak považujeme za obsazené.

27 Degerace při přesunu po Dantzigově obvodu

28 Odstranění degenerace
Vložíme malé množství ε na neobsazené pole, které s ostatními obsazenými netvoří uzavřený okruh. Toto pole pak považujeme za obsazené.

29 Degenerace ve výchozím řešení
Vyčerpána zároveň kapacita i požadavek

30 Nové řešení - + + - - +

31 Nové řešení

32 Optimální řešení

33