Pythagorova věta Opakování názvosloví Obrácená Pythagorova věta

Pythagorova věta Opakování názvosloví Obrácená Pythagorova věta
Pythagoras ze Samu Užití Pythagorovy věty Definice Pythagorovy věty Obrázkové úlohy Výpočet přepony Pythagorova věta v praxi Výpočet odvěsny Pythagorova věta v síti Základní úlohy - mix Pythagorova věta v prostoru Pythagorejské trojúhelníky Opakování Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

c … přepona B a , b … odvěsny c a C b A
Názvosloví - opakování menu Pravoúhlý trojúhelník a jeho názvosloví c … přepona B a , b … odvěsny c a C b A

S = a . a S = a2 D C A a B Čtverec a jeho obsah Názvosloví - opakování
menu Čtverec a jeho obsah D C S = a . a S = a2 A a B

Pythagoras ze Samu menu řecký matematik 580 – 500 př. n. l.
studoval matematiku a astronomii v Egyptě a v Babylónii žil v jižní Itálii a na Sicílii, kde založil Pythagorejskou školu objevili např., že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven 180° Pythagorova věta byla známá již 2 200 let př. n. l. v Číně, ale Pythagorejcům je připisována zřejmě proto, že ji dokázali.

Sc = Sa + Sb c2 = a2 + b2 Sc= c2 B Sa= a2 c a A C b Sb= b2
Pythagorova věta menu Sc = Sa + Sb Sc= c2 c2 = a2 + b2 B Sa= a2 c Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami a A C b Sb= b2

Př. Zapište vzorcem, co platí podle Pythagorovy věty
Zápis Pythagorovy věty menu Př. Zapište vzorcem, co platí podle Pythagorovy věty pro velikosti stran nakreslených pravoúhlých trojúhelníků C T a2 = b2 + c2 s2 = r2 + t2 a s r b R t S A c B K l M T t2 = u2 + v2 u v m k k2 = l2 + m2 t V U L

b2 = a2 + c2 X A z2 = x2 + y2 z y b c Y Z x B C a F d2 = e2 + f2 M
Zápis Pythagorovy věty menu 1) Zapište vzorcem, co platí podle Pythagorovy věty pro velikosti stran nakreslených pravoúhlých trojúhelníků X A a) b) b2 = a2 + c2 z2 = x2 + y2 z y b c Y Z d) x B C a F d2 = e2 + f2 M c) m2 = k2 + l2 d l k e m K L E D f

T C s a r b R t S A c B K l M T u v m k t V U L Zápis Pythagorovy věty
menu 1) Zapište vzorcem, co platí podle Pythagorovy věty pro velikosti stran nakreslených pravoúhlých trojúhelníků T C e) f) a2 = b2 + c2 s2 = r2 + t2 s a r b h) R t S A c B K l M T g) t2 = u2 + v2 u v m k k2 = l2 + m2 t V U L

A c = ? cm b = 5 cm B C a = 12 cm Pythagorova věta – základní úlohy
Výpočet přepony Př. Vypočítej velikost přepony c v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 12 cm a b = 5 cm. menu A c2 = a2 + b2 c2 = c = ? cm c2 = b = 5 cm c2 = 169 B C a = 12 cm c = 13 cm

A c = ? cm b = 6 cm B C a = 8 cm Pythagorova věta – základní úlohy
1) Vypočítej velikost přepony c v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 8 cm a b = 6 cm. menu A c2 = a2 + b2 c2 = c = ? cm c2 = b = 6 cm c2 = 100 B C a = 8 cm c = 10 cm

C a = ? cm b = 9 cm B A c = 12 cm Pythagorova věta – základní úlohy
2) Vypočítej velikost přepony a v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami b = 9 cm a c = 12 cm. menu C a2 = b2 + c2 a2 = a = ? cm a2 = b = 9 cm a2 = 225 a a a = 15 cm B A c = 12 cm

M k = ? m l = 0,3 m L K m = 0,4 m Pythagorova věta – základní úlohy
3) Vypočítej velikost přepony k v pravoúhlém trojúhelníku KLM s odvěsnami l = 0,3 m a m = 0,4 m. menu M k2 = l2 + m2 k2 = 0,32 + 0,42 k = ? m k2 = 0,09 + 0,16 l = 0,3 m k2 = 0,25 k = 0,5 m L K m = 0,4 m

A c = 17 cm b = ? cm B C a = 15 cm Pythagorova věta – základní úlohy
Výpočet odvěsny Př. Vypočítej velikost odvěsny b v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnou a = 15 cm a přeponou c = 17 cm. menu A c2 = a2 + b2 b2 = c2 - a2 c = 17 cm b = ? cm b2 = b2 = b2 = 64 B C a = 15 cm b= 64 b = 8 cm

A c = 20 cm b = 12 cm B C a = ? cm Pythagorova věta – základní úlohy
4) Vypočítej velikost odvěsny a v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnou b = 12 cm a přeponou c = 20 cm. menu A c2 = a2 + b2 a2 = c2 - b2 c = 20 cm b = 12 cm a2 = a2 = a2 = 256 B C a = ? cm a= 256 a = 16 cm

T r = 11 cm s = ? m S R t = 7 cm Pythagorova věta – základní úlohy
5) Vypočítej velikost odvěsny s v pravoúhlém trojúhelníku RST s odvěsnou t = 7 cm a přeponou r = 11 cm. menu T r2 = s2 + t2 s2 = r2 - t2 r = 11 cm s2 = s = ? m s2 = s2 = 72 s= 72 S R t = 7 cm s = 8,49 cm

Z x = 15 cm y = ? m Y X z = 9 cm Pythagorova věta – základní úlohy
6) Vypočítej velikost odvěsny y v pravoúhlém trojúhelníku XYZ s přeponou x = 15 cm a odvěsnou z = 9 cm. menu Z x2 = y2 + z2 y2 = x2 - z2 x = 15 cm y2 = y = ? m y2 = y2 = 144 y= 144 Y X z = 9 cm y = 12 cm

L m = ? m k = 7 m K M l = 9 m Pythagorova věta – základní úlohy menu
7) Jakou velikost má přepona m v pravoúhlém trojúhelníku KLM s odvěsnami k = 7 m a l = 9 m? menu L m2 = k2 + l2 m2 = m = ? m m2 = k = 7 m m2 = 130 m= 130 m = 11,4 m K M l = 9 m

S t = 13 cm r = ? m R T s = 8 cm Pythagorova věta – základní úlohy
8) Vypočítej velikost odvěsny r v pravoúhlém trojúhelníku RST s přeponou t = 13 cm a odvěsnou s = 8 cm. menu S t2 = r2 + s2 r2 = t2 - s2 t = 13 cm r2 = r = ? m r2 = r2 = 105 r= 105 R T s = 8 cm r = 10,25 cm

M k = ? m l = 1,5 m L K m = 2 m Pythagorova věta – základní úlohy menu
9) Pravoúhlý trojúhelník KLM má odvěsny l = 1,5 m a m = 2 m. Vypočítej velikost přepony k. menu M k2 = l2 + m2 k2 = 1, k = ? m k2 = 2,25 + 4 l = 1,5 m k2 = 6,25 k= 6,25 k = 2,5 m L K m = 2 m

Z x = 1,4 m y = ? m Y X z = 0,9 m Pythagorova věta – základní úlohy
10) Vypočítej velikost odvěsny y v pravoúhlém trojúhelníku XYZ s přeponou x = 1,4 m a odvěsnou z = 0,9 m. menu Z x2 = y2 + z2 y2 = x2 - z2 x = 1,4 m y2 = 1,42 – 0,92 y = ? m y2 = 1,96 – 0,81 y2 = 1,15 y= 1,15 Y X z = 0,9 m y = 1,0 72 m

A c = 40 m b = ? m B a = 90 m C Pythagorova věta – základní úlohy menu
11) Vypočítej velikost přepony b v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 90 m a c = 40 m. menu b2 = a2 + c2 b2 = A b2 = c = 40 m b2 = 9700 b = ? m b= 9700 b = 98,5 m B a = 90 m C

A c = 50 cm b = 20 cm B C a = ? cm Pythagorova věta – základní úlohy
12) Jakou velikost má odvěsna a v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnou b = 20 cm a přeponou c = 50 cm? menu A c2 = a2 + b2 a2 = c2 - b2 c = 50 cm b = 20 cm a2 = a2 = a2 = 2100 B C a = ? cm a= 2100 a = 45,8 cm

A c = 3,3 cm b = 2,1 cm B C a = ? cm Pythagorova věta – základní úlohy
13) Urči velikost odvěsny a v pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c = 3,3 cm a odvěsnou b = 2,1 cm. menu A c2 = a2 + b2 a2 = c2 - b2 c = 3,3 cm b = 2,1 cm a2 = 3,32 – 2,12 a2 = 10,89 - 4,41 a2 = 6,48 B C a = ? cm a= 6,48 a = 2,546 cm a = 2,5 cm

Pythagorova věta – základní úlohy
14) Vypočítej, jakou velikost v cm má přepona c v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 40 cm a b = 0,6 m. menu B c2 = a2 + b2 c2 = c = ? m c2 = a = 40 cm c2 = 5200 c= 5200 c = 72,1 cm C A b = 0,6 m = 60 cm

B c = ? m a = 6 cm C b = 6 cm A Pythagorova věta – základní úlohy menu
15) Vypočítej velikost přepony c v pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku ABC s rameny velikosti 6 cm. menu B c2 = a2 + b2 c2 = c2 = a = 6 cm c = ? m c2 = 72 c= 72 c = 8,49 cm C b = 6 cm A

Obrácená Pythagorova věta menu
Jestliže pro velikosti stran v trojúhelníku ABC platí, že c2 = a2 + b2, pak je tento trojúhelník pravoúhlý. c2 = a2 + b2  ABC je pravoúhlý Př. Určete, zda trojúhelník ABC se stranami a = 6 cm, b = 4 cm a c = 8 cm je pravoúhlý. A c2 = a2 + b2 c = 8 cm b = 4 cm 82 = ? 64 = B a = 6 cm C 64 = 52 ∆ ABC není pravoúhlý

Obrácená Pythagorova věta menu
Jestliže pro velikosti stran v trojúhelníku platí, že obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami, pak je trojúhelník pravoúhlý. Př. Určete, zda trojúhelník KLM se stranami k = 5 cm, l = 13 cm a m = 12 cm je pravoúhlý. M l2 = k2 + m2 l = 13 cm k = 5 cm 132 = ? 169 = K m = 12 cm L 169 = 169 ∆ KLM je pravoúhlý

a2 = b2 + c2 62 = 52 + 42 36 = 25 + 16 36 = 41 ∆ ABC není pravoúhlý
Obrácená Pythagorova věta menu Určete, zda uvedený trojúhelník je pravoúhlý: a) ∆ ABC : a = 6 cm , b = 5 cm , c = 4 cm a2 = b2 + c2 62 = 36 = 36 = 41 ∆ ABC není pravoúhlý

Obrácená Pythagorova věta
menu Určete, zda uvedený trojúhelník je pravoúhlý: b) ∆ RST : r = 20 cm , s = 15 cm , t = 25 cm t2 = r2 + s2 252 = 625 = 625 = 625 ∆ RST je pravoúhlý

menu Určete, zda uvedený trojúhelník je pravoúhlý: c) ∆ ABC : a = 1,7 cm , b = 1,5 cm , c = 0,8 cm a2 = b2 + c2 1,72 = 1,52 + 0,82 2,89 = 2,25 + 0,64 2,89 = 2,89 ∆ ABC je pravoúhlý

menu Určete, zda uvedený trojúhelník je pravoúhlý: d) ∆ XYZ: x = 6 m , y = 8 m , z = 12 m z2 = x2 + y2 122 = 144 = 144 = 100 ∆ XYZ není pravoúhlý

menu Určete, zda uvedený trojúhelník je pravoúhlý: e) ∆ ABC: a = 5,2 cm , b = 4,1 cm , c = 3,3 cm a2 = b2 + c2 5,22 = 4,62 + 3,32 27,04 = 16, ,89 27,04 = 27,7 ∆ ABC není pravoúhlý

menu Určete, zda uvedený trojúhelník je pravoúhlý: f) ∆ KLM : k = 6,5 cm , l = 6 cm , m = 2,5 cm k2 = l2 + m2 6,52 = ,52 42,25 = ,25 42,25 = 42,25 ∆ KLM je pravoúhlý

Výpočet: a2 = (u/2)2 + (u/2)2 a2 = 62 + 62 a2 = 36 + 36 a2 = 72 a =
Užití Pythagorovy věty menu Př. Vypočítejte délku strany čtverce ABCD s úhlopříčkami velikosti 12 cm. Náčrt: Výpočet: a2 = (u/2)2 + (u/2)2 a2 = a2 = a2 = 72 a = a = 8,49 cm D C u = 12 cm S u/2 u/2 B A a Úhlopříčky ve čtverci se půlí a jsou na sebe kolmé Strana čtverce má velikost 8,49 cm.

Výpočet: u2 = a2 + b2 u2 = 62 + 82 u2 = 36 + 64 u2 = 100 u = u = 10 cm
Užití Pythagorovy věty menu 1) Vypočítejte délku úhlopříčky AC obdélníku ABCD se stranami délek a = 6 m, b = 8 m. Náčrt: Výpočet: u2 = a2 + b2 u2 = u2 = u2 = 100 u = u = 10 cm C D u b = 8 cm B A a = 6 cm

Užití Pythagorovy věty
menu 2) Vypočítejte velikosti ramen v rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou a = 8 cm a výškou va = 3 cm Náčrt: Výpočet: A b2 = va2 + (a/2)2 b2 = c = b b b2 = va=3 cm b2 = 25 b = 25 B C S b = 5 cm a = 8 cm a/2 = 4 cm

menu 3) Vypočítejte velikosti výšek v rovnostranném trojúhelníku KLM se stranou délky 10 cm. Náčrt: Výpočet: v2 = k2 - (m/2)2 v2 = v2 = 100 – 25 v2 = 75 v = 75 v = 8,66 cm M l = 10 cm k = 10 cm v K S L m = 10 cm m /2 = 5 cm

o = 4 . a o = 4 . 4,5 o = 18 cm a2 = (u1/2)2 + (u2/2)2 a2 = 42 + 22
Užití Pythagorovy věty menu 4) Vypočítejte obvod kosočtverce ABCD s úhlopříčkami u1 = 8 cm a u2 = 4 cm o = 4 . a Výpočet: o = 4 . 4,5 Náčrt: o = 18 cm D C a2 = (u1/2)2 + (u2/2)2 a2 = a2 = a2 = 20 a = 20 a = 4,47 = 4,5 cm u2 = 4 cm u1= 8 cm u1/2 u2/2 A B a

S= a+c .𝐯 2 S= 9+6 .𝟒 2 o = a + b + c + d o = 9 + 5 + 6 + 4 o = 24 cm
Užití Pythagorovy věty menu 5) Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého lichoběžníku ABCD (a//c,  = 900) se stranami a = 9 cm, b = 5 cm a c = 6 cm Náčrt: Výpočet: D c = 6 cm C o = a + b + c + d b = 5 cm o = d d = v o = 24 cm A B a = 9 cm S= a+c .𝐯 2 3 cm d2 = d2 = 25 – 9 d = 16 d = v = 4 cm S= 𝟒 2 S = 30 cm2

S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 S= 𝟖.𝟔,𝟗 𝟐 S = 27,6 cm2 Užití Pythagorovy věty menu
6) Vypočítejte obsah rovnostranného Δ ABC s obvodem 24 cm. Náčrt: Výpočet: S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 A S= 𝟖.𝟔,𝟗 𝟐 b = 8 cm va S = 27,6 cm2 va2 = va2 = va2 = 48 va = 48 va = 6,93 cm = 6,9 cm B C a = 8 cm 4 cm a = b = o : 3 a = b = o : 3 a = b = 24 : 3 = 8 cm

menu 7) Vypočítejte obvod čtverce s úhlopříčkami u1 = u2 = 4 cm. Náčrt: Výpočet: o = 4 . a a2 = (u/2)2 + (u/2)2 a2 = a2 = 4 + 4 a2 = 8 a = a = 2,83 cm = 2,8 cm o = 4 . 2,8 D C o = 11,2 cm u = 4 cm S u/2 u/2 B A a

o = a + b + c + d o = 10 + 4,5 + 6 + 4,5 o = 25 cm b2 = 42 + 22
Užití Pythagorovy věty menu 8) Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD (a//c) vysokého 4 cm se základnami a = 10 cm a c = 6 cm Náčrt: Výpočet: D c = 6 cm C o = a + b + c + d o = , ,5 d v = 4 cm b o = 25 cm A B b2 = b2 = b = 20 b = d = 4,47 = 4,5 cm a = 10 cm 2 cm

r2 = 82 - 72 r2 = 64 - 49 r = 15 r = 3,87 cm Užití Pythagorovy věty
menu 9) Vypočítejte poloměr kružnice k se středem v bodě S, je-li dáno, že bod A ležící mimo kružnici k má od bodu S vzdálenost 8 cm a bod dotyku T tečny t sestrojené z bodu A ke kružnici k je vzdálen od bodu A 7 cm (ST  AT). Náčrt: Výpočet: t T r2 = r2 = r = 15 r = 3,87 cm 7 cm r 8 cm S A

S= a+c .𝐯 2 S= 12+6 .𝟕,𝟒 2 S = 66,6 cm2 Užití Pythagorovy věty menu
10) Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku ABCD, jsou-li dány základny a = 12 cm , c = 6 cm a rameno b = 8 cm. Náčrt: Výpočet: S= a+c .𝐯 2 D c = 6 cm C d = 8 cm S= 𝟕,𝟒 2 b = 8 cm v S = 66,6 cm2 A B a = 12 cm v2 = v2 = v = 55 v = 7,42 = 7,4 cm 3 cm

menu 11) Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníku ABC se stranou 6 cm. Náčrt: Výpočet: S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 A S= 𝟔.𝟓,𝟐 𝟐 b = 6 cm va S = 15,6 cm2 va2 = va2 = va2 = 27 va = 27 va = 5,2 cm B C a = 6 cm 3 cm

menu 12) Čtverci je opsána kružnice s poloměrem 8 cm. Určete obsah tohoto čtverce. Náčrt: Výpočet: S = a2 a S = 11,312 8 cm S = 128 cm2 8 cm S a2 = a2 = a = 128 a = 11,31 cm

menu 13) Odvěsna a v pravoúhlém trojúhelníku ABC má velikost 8 cm. Určete velikost přepony c, jestliže odvěsna b je o 25% větší než odvěsna a. Náčrt: Výpočet: c2 = c2 = c2 = 164 c = 164 c = 12,81 cm B c a = 8 cm C A b = 10 cm 8 + 25% = 10

menu 14) Obdélníku ABCD se stranami a = 5 cm a b = 7 cm je opsána kružnice k. Určete poloměr kružnice k. Náčrt: Výpočet: u2 = u2 = u = 74 u = 8,6 cm C D r = u:2 S b = 7 cm u r = u : 2 B A r = 8,6 : 2 a = 5 cm r = 4,3 cm

Výpočet: b2 = u2 - a2 b2 = 92 - 52 b2 = 81 - 25 b2 = 56 b =
Užití Pythagorovy věty menu 15) Obdélník ABCD má úhlopříčky velikosti 9 cm. Urči velikost strany b, jestliže strana a = 5 cm. Náčrt: Výpočet: b2 = u2 - a2 b2 = b2 = b2 = 56 b = b = 7,48 cm C D u = 9 cm b B A a = 5 cm

o = a + b + c + d o = 13,6 + 6 + 7 + 6 o = 32,6 cm x2 = 62 - 52
Užití Pythagorovy věty menu 16) Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD (a//c) vysokého 5 cm se základnou c = 7 cm a rameny b = d = 6 cm Výpočet: Náčrt: o = a + b + c + d D c = 7 cm C o = 13, o = 32,6 cm d = 6 cm b = 6 cm v = 5 cm x2 = x2 = x = 11 x = 3,32 = 3,3 cm A B a x x a = x + c + x a = 3, ,3 = 13,6 cm

S = 50 cm2 Užití Pythagorovy věty menu
17) Vypočítejte obsah čtverce s úhlopříčkami u = 10 cm. Náčrt: Výpočet: S = a2 a2 = (u/2)2 + (u/2)2 a2 = a2 = a2 = 50 a = a = 7,07 cm S = 7,072 D C S = 50 cm2 u = 10 cm S u/2 u/2 B A a

o = a + b + c + d o = 8 + 5 + 5 + 4 o = 22 cm b2 = 42 + 32 b2 = 16 + 9
Užití Pythagorovy věty menu 18) Vypočítejte obvod pravoúhlého lichoběžníku ABCD (a//c,  = 900) se stranami a = 8 cm, c = 5 cm a d = 4 cm Náčrt: Výpočet: D c = 5 cm C o = a + b + c + d o = d = 4 cm v = 4 cm b o = 22 cm A B a = 8 cm 3 cm b2 = b2 = b = 25 b = 5 cm

menu 19) Vypočítejte velikost výšky na základnu c v rovnoramenném trojúhelníku ABC s rameny a = b = 8 cm a obvodem 26 cm. Výpočet: Náčrt: o = a + b + c C o = 26 cm 26 = c 26 = 16 + c b = 8 cm a = 8 cm c = 10 cm vc vc2 = vc2 = vc2 = 39 vc = 39 vc = 6,24 cm A c S B c/2 cm

S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 S= 𝟔.𝟕,𝟒 𝟐 S = 22,2 cm2 Užití Pythagorovy věty menu
20) Vypočítejte obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou a = 6 cm a rameny b = c = 8 cm Náčrt: A Výpočet: S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 S= 𝟔.𝟕,𝟒 𝟐 b = 8 cm va S = 22,2 cm2 va2 = va2 = va2 = 55 va = 55 va = 7,42 cm = 7,4 cm B C a = 6 cm 3 cm

menu 21) Vypočítejte délku úhlopříček ve čtverci ABCD s obvodem o = 16,8 cm. Náčrt: Výpočet: o = 16,8 cm u2 = a2 + a2 u2 = 4,22 + 4,22 u2 = 17, ,64 u2 = 35,28 u = = u = 5,92 cm D C u a B A a o = 4.a 16,8 = 4.a a = 16,8 : 4 = 4,2 cm

(u1/2)2 = a2 - (u2/2)2 (u1/2)2 = 72 - 32 (u1/2)2 = 49 - 9 (u1/2)2 = 40
Užití Pythagorovy věty menu 22) Kosočtverec ABCD má stranu a velikosti 7 cm. Urči velikost úhlopříčky AC (u1), jestliže úhlopříčka BD = u2 = 6 cm Výpočet: (u1/2)2 = a2 - (u2/2)2 (u1/2)2 = (u1/2)2 = (u1/2)2 = 40 u1/2 = 40 u1/2 = 6,32 = 6,3 cm Náčrt: D C u1 u2 = 6 cm u1/2 u2/2 = 3 cm u1 = 2 . 6,3 A B a = 7 cm u1 = 12,6 cm

S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 S= 𝟖.𝟔,𝟗 𝟐 S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 S= 𝟔.𝟗,𝟓 𝟐 Užití Pythagorovy věty
menu 23) Určete, zda má větší obsah rovnostranný trojúhelník se stranou 8 cm nebo rovnoramenný trojúhelník se základnou 6 cm a rameny 10 cm. A Náčrt: Výpočet: va2 = va2 = va2 = 48 va = 48 va = 6,9 cm S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 b = 8 cm S= 𝟖.𝟔,𝟗 𝟐 va S = 27,6 cm2 B C a = 8 cm 4 cm A va2 = va2 = va2 = 91 va = 91 va = 9,5 cm S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 b = 10 cm S= 𝟔.𝟗,𝟓 𝟐 va S = 28,5 cm2 B C a = 6 cm 3 cm

o = a + b + c + d o = 16 +13 + 6 + 13 o = 48 cm c = a – 2.x
Užití Pythagorovy věty menu 24) Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD, je-li dáno: základna a = 16 cm, ramena b = d = 13 cm a výška v = 12 cm. Náčrt: o = a + b + c + d Výpočet: o = D c C o = 48 cm d = b b = 13 cm v = 12 cm x2 = x2 = x = 25 x = 5 cm A B a = 16 cm x x c = a – 2.x c = 16 – 2.5 c = 6 cm

menu 25) Vypočítejte obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC s rameny b = c = 7 cm a výškou na základnu va = 5 cm. Náčrt: A S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 Výpočet: S= 𝟗,𝟖.𝟓 𝟐 b = 7 cm S = 24,5 cm2 Va= 5 cm (a/2)2 = (a/2)2 = (a/2)2 = 24 (a/2) = 24 (a/2) = 4,9 cm B C a a/2 a = 2. 4,9 a = 9,8 cm

menu 26) Čtverci ABCD se stranami a = 2,1 cm je opsána kružnice k. Určete poloměr této kružnice. Náčrt: Výpočet: u2 = 2,12 + 2,12 u2 = 4,41 + 4,41 u = 8,82 u = 2,97 = 3 cm D C r = u:2 S b = 2,1 cm u r = u : 2 A B r = 3 : 2 a = 2,1 cm r = 1,5 cm

menu 27) Vypočítejte velikost základny a v pravoúhlém lichoběžníku ABCD ( = 900) se stranou b = 9 cm, základnu c = 8 cm a výškou v = 8 cm. Náčrt: Výpočet: D c = 8 cm C x2 = x2 = 81 – 64 x = 17 x = 4,12 = 4,1 cm b = 9 cm d = v = 8 cm A B a x a = c + x a = 8 + 4,1 a = 12,1 cm

r = a : 2 r = 12,7 : 2 r = 6,35 cm Užití Pythagorovy věty menu
28) Pravoúhlému rovnoramennému trojúhelníku s rameny velikosti 9 cm je opsána kružnice. Určete poloměr této kružnice. (kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má svůj střed ve středu přepony) Náčrt: Výpočet: a2 = a2 = a2 = 162 a = 162 a = 12,73 = 12,7 cm 9 cm 9 cm r = a : 2 a S r = a/2 r = 12,7 : 2 r = 6,35 cm

menu 29) Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD, jsou-li dány základny a = 9 cm , c = 5 cm a výška v = 3 cm. Náčrt: Výpočet: D c = 5 cm C o = a + b + c + d o = 9 +3, ,6 b d = b v = 3 cm o = 21,2 cm A B a = 9 cm 2 cm b2 = b2 = 4 + 9 b = 13 b = 3,61 = 3,6 cm 2 cm

menu 30) Odvěsna a v pravoúhlém trojúhelníku ABC má velikost 15 cm. Určete velikost odvěsny b, jestliže přepona c je o 20% větší než odvěsna a. Náčrt: Výpočet: b2 = b2 = b2 = 99 b = 99 b = 9,95 = 10 cm B c = 18 cm a = 15 cm C b A % = 18

31) Vypočítejte obvod obrazce na obrázku, který je tvořený obdélníkem
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 31) Vypočítejte obvod obrazce na obrázku, který je tvořený obdélníkem a pravoúhlým trojúhelníkem (uvedené rozměry jsou v cm) x2 = x 4 x2 = 3 6 x2 = 25 3 2 x= 25 6 x = 5 cm o = o = 22 cm

32) Určete vzdušnou vzdálenost bodů A a B v bludišti, jestliže cesta
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 32) Určete vzdušnou vzdálenost bodů A a B v bludišti, jestliže cesta bludištěm dlouhá 27 m vede po pravoúhlých křižovatkách na plánku (uvedené rozměry jsou v m) A 4 x 8 4 x2 = 6 15 7 B 2 x2 = 4 x2 = 289 x= 289 x = 17 m

33) Vypočítejte obvod obrazce na obrázku, který je tvořený dvěma
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 33) Vypočítejte obvod obrazce na obrázku, který je tvořený dvěma pravoúhlými trojúhelníky (uvedené rozměry jsou v cm). 4 y x 3 12 x2 = y2 = o = x2 = y2 = o = 32 cm x2 = 25 y2 = 169 x= 25 y= 169 x = 5 cm y = 13 cm

34) Čtverec se stranou 17 cm je rozdělen na šedý šestiúhelník a na dva
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 34) Čtverec se stranou 17 cm je rozdělen na šedý šestiúhelník a na dva shodné trojúhelníky. Nejdelší strana trojúhelníku je 17 cm. Nejkratší strana šedého šestiúhelníku měří 2 cm. Jaký je obsah šedého šestiúhelníku? 2 15 x2 = 2 x2 = x 17 x2 = 64 17 x= 64 S = S□ - 2.S∆ x = 8 cm S = S = 17 S = 169 dm2

35) Nakreslený domeček se skládá ze čtverce a pravoúhlého
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 35) Nakreslený domeček se skládá ze čtverce a pravoúhlého trojúhelníku. Obsah čtverce je 400 cm2 , kratší odvěsna pravoúhlého trojúhelníku měří 12 cm. Vypočtěte v cm obvod tohoto pětiúhelníku. x 12 cm S = a2 x2 = 20 cm 400 = a2 x2 = 20 cm 20 cm a= 400 x2 = 256 400 cm2 x= 256 a = 20 cm x = 16 cm 20 cm o = o = 88 cm

36) Nad dvěma stranami a, b trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 36) Nad dvěma stranami a, b trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce. Obsah čtverce nad stranou b je 25 cm2. Velikost výšky vc na stranu AB je 3 cm. Pata P výšky vc dělí stranu AB v poměru 1 : 2. |AC|<|BC|. Vypočítejte obsah čtverce nad stranou a. x2 = a2 = x2 = a2 = S x2 = 16 a2 = 73 25 cm2 C x= 16 a= 73 b = 5 cm a x = 4 cm a = 8,54 cm vc = 3 cm A x P y B S = a2 4 : y = 1 : 2 S = 8,542 b= 25 S = 73 cm2 b = 5 cm y = 8 cm

37) Čtyřúhelník ABCD je osově souměrný podle osy o = BD.
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 37) Čtyřúhelník ABCD je osově souměrný podle osy o = BD. Úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě P. Platí: |CP| = 12 cm, |BP| = 16 cm a |AD| = 13 cm. Jaký je obvod a obsah čtyřúhelníku ABCD? C y x2 = y2 = 13 12 x2 = y2 = o 16 x2 = 25 y2 = 400 D x P B x= 25 y= 400 x = 5 cm y = 20 cm A S = o = S = o = 66 cm S = 2522

Pythagorova vět a v obrázkových úlohách
menu 38) Obdélník ABCD je rozdělen na rovnoběžník a dva shodné trojúhelníky. Platí: |AD| = 3 cm, |DE| = 13 , |BE| = 5 cm. Urči obsah obdélníku ABCD? x2 = D F C x2 = x2 = 4 x= 4 3 13 x = 2 cm A x E 5 B S = a . b S = (2 + 5) .3 S = 21 cm2

39) Nakreslený domeček se skládá ze čtverce a rovnoramenného
Pythagorova vět a v obrázkových úlohách menu 39) Nakreslený domeček se skládá ze čtverce a rovnoramenného trojúhelníku, který má se čtvercem společné rameno. Základna rovnoramenného trojúhelníku měří 12 cm a výška na základnu měří 8 cm. Vypočtěte v cm2 obsah čtverce? 12 a2 = S = a2 8 6 a2 = S = 102 a a2 = 100 S = 100 cm2 a= 100 a = 10 cm

40) Na plánku je vyznačena okružní cesta z bodu S se 4 zastávkami.
Pythagorova vět a v obrázkových úlohách menu 40) Na plánku je vyznačena okružní cesta z bodu S se 4 zastávkami. Vypočítejte délku okružní trasy (uvedené rozměry jsou v m) S 80 60 1 x2 = 40 x2 = 80 x2 = 10000 3 x 4 20 x= 40 x = 100 m o = 2 o = 280 m

41) Do obdélník ABCD (|AB| = 21 cm, |BC|= 8 cm) jsou vepsány dva
Pythagorova vět a v obrázkových úlohách menu 41) Do obdélník ABCD (|AB| = 21 cm, |BC|= 8 cm) jsou vepsány dva pravoúhlé trojúhelníky APD a BCP. Bod P leží na úsečce CD a dělí ji v poměru 5 : 2. Urči v cm obvod trojúhelníku ABP? x2 = D 15 P 6 C x2 = x2 = 289 8 8 x= 289 x y x = 17 cm y2 = A 21 B y2 = |DP|: |PC| = 5 : 2 o = 21 + x + y y2 = 100 21 : (5 + 2) = 3 o = 𝑦= 100 |DP|= = 15 cm o = 48 cm |PC| = = 6 cm y = 10 cm

42) Obdélník ABCD lze rozdělit na 6 shodných pravoúhlých trojúhelníků.
Pythagorova vět a v obrázkových úlohách menu 42) Obdélník ABCD lze rozdělit na 6 shodných pravoúhlých trojúhelníků. Přemístěním jediného trojúhelníku vznikne rovnoramenný lichoběžník EFGH. Odvěsna trojúhelníku délky 8 cm je zároveň výškou lichoběžníku. Rameno lichoběžníku měří 10 cm. Vypočítejte v cm délku strany AB obdélníku ABCD? D C H x G x2 = 10 8 8 8 10 x2 = A x2 = 36 B x E F x= 36 x = 6 cm S = a . b S = 3x . b S = S = 144 cm2

S= 4+10 .𝟖 2 o = 8 + 4 + 10 + 10 o = 32 cm S = 56 cm2 menu
Pythagorova vět a v obrázkových úlohách menu 43) Vnitřní úhly ve čtyřúhelníku ABCD při vrcholech A, B jsou pravé a pro délky stran tohoto čtyřúhelníku platí: |BC|= 4 cm, |CD| = |AD|= 10 cm. Vypočítejte obvod a obsah čtyřúhelníku ABCD? D a2 = a2 = 6 10 a2 = 64 10 a= 64 C a a = 8 cm 4 S= 𝟖 2 A a B o = o = 32 cm S = 56 cm2

menu 44) Trojúhelník ABC je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků ADC a DBC (DAB). Pro délky stran trojúhelníků platí: |AD| = 9 cm , |BC| = 13 cm a |CA| = 15 cm. Vypočítejte obvod a obsah ABC. C x2 = x2 = x2 = 144 15 13 x x= 144 x = 12 cm 9 A D y B y2 = y2 = o = (9 + 5) S= (𝟗+𝟓).𝟏𝟐 𝟐 y2 = 25 o = 42 cm S = 84 cm2 𝑦= 25 y = 5 cm

menu 45) V pravoúhlém trojúhelníku ABC má odvěsna c = AB velikost 12 cm a těžnice tb na odvěsnu CA má velikost 13 cm. Vypočítejte obsah ABC. x2 = C x2 = x2 = 25 S x= 25 b Vb = 13 cm x = 5 cm x b = 2 . x S= 𝐛 . 𝒄 𝟐 A c = 12 cm B b = 2 . 5 S= 𝟏𝟎 . 𝟏𝟐 𝟐 b = 10 cm S = 60 cm2

46) V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravými úhly při vrcholech B, C
Pythagorova vět a v obrázkových úlohách menu 46) V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravými úhly při vrcholech B, C platí |AB| = 9 cm, |AD|= 10 cm a |CD|= 10 cm. Bod O je středem ramene BC. ? D 3 C x2 = y2 = x2 = y2 = 4 y x2 = 64 y2 = 25 10 x O x= 64 y= 25 x = 8 cm y = |DO| = 5 cm |CO| = x : 2 A 6 9 B |CO| = 8 : 2 |CO| = 4 cm

Užití Pythagorovy věty v praxi
menu Př. Žebřík dlouhý 4 m je opřený o stěnu. Na zemi je postavený od stěny 1 m. V jaké výšce je žebřík opřený Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = x2 = 15 4 m x = 15 x x = 3,87 m 1 m Žebřík sahá do výšky 3,87 m.

menu Př. Jak vysoko nad zemí je drak na obrázku? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = 30 m x2 = 500 x x = 500 x = 22,36 m y y = 22, = 23,4 m 1 m 20 m Drak je ve výšce 23,4 m.

menu 1) Parašutista vyskočil z letadla nad lesem ve výšce 2 km nad zemí a při přímém letu k zemi urazil dráhu 3 km. Jak daleko od lesa dopadl? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = 9 - 4 x2 = 5 2 km 3 km x = 5 x = 2,24 km x Parašutista dopadl na zem ve vzdálenosti 2,24 km od lesa.

menu 2) Z křižovatky dvou ulic, které jsou na sebe kolmé, vyjeli dva cyklisté (každý jinou ulicí). Jeden ujel 180 m, druhý 240 m. Jak jsou od sebe vzdáleni vzdušnou čarou? Náčrt: Výpočet: x2 = 180 m x2 = x2 = 90000 x = 240 m x x = 300 m Jejich vzdušná vzdálenost je 300 m.

menu 3) Dvojitý žebřík (štafle) délky 2 m stojí na podlaze a je rozevřen tak, že jeho spodní konce jsou od sebe vzdáleny 120 cm. V jaké výšce nad podlahou je horní konec žebříku? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = 2 m = 200 cm x2 = 36400 x x = x = 190,8 cm 120 cm x = 191 cm 60 cm Horní konec štaflí je ve výšce 191 cm.

menu 4) Z vody v rybníku vyčnívá kolmo nad hladinu dřevěný kůl. Jeho výška nad hladinou je 10 m. Jak daleko od kůlu dopadne na hladinu vrchol kůlu, jestliže se kůl zlomil ve výšce 3 m nad hladinou? Náčrt: Výpočet: x2 = 10 m x2 = x2 = 40 7 m 3 m x = 40 x x = 6,32 m x = 6,3 m Vrchol kůlu dopadne na hladinu ve vzdálenosti 6,3 m.

menu 5) Komín vysoký 36 m je ve dvou třetinách své výšky upoután 2 stejně dlouhými lany, jejichž konce jsou upevněny ve vzdálenosti 14 m od paty komína. Kolik metrů lana je třeba na upoutání komína, jestliže ukotvení si vyžádalo 10 % navíc? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = x2 = 772 36 m x = 772 x = 27,78 m = 27,8 m x 2 . x = 55,6 m 24 m + 10% = 55,6 + 5,56 m + 10% = 61,16 = 61,2 m 14 m

menu 6) Jak dlouhé je zábradlí u schodiště s 20 schody, je-li schod 25 cm dlouhý a 15 cm vysoký? Náčrt: Výpočet: x2 = 20.x x2 = x2 = 850 x = 850 x = 29,15 cm = 29,2 cm 20 . x = 584 cm x 15 cm 25 cm Zábradlí bude dlouhé 584 cm.

menu 7) Jakou velikost v palcích má úhlopříčka televizoru s rozměry 150 cm a 80 cm? (1 palec = 2,5 cm) Náčrt: Výpočet: x2 = 150 cm x2 = x2 = x = 80 cm u x = 170 cm palce = 170 : 2,5 palce = 1700 : 25 palce = 68 Televizor má úhlopříčku 68 palců.

menu 8) Vodorovná vzdálenost z parkoviště k hradu je podle mapy 500 m, výškový rozdíl činí 100m. Jakou skutečnou vzdálenost musíme z parkoviště k hradu urazit? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = x2 = x 100 m x = x = 510 m 500 m K hradu musíme ujít 510 m.

Omítka bude stát 144 000 Kč. S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 = 𝟑𝟎.𝟖 𝟐
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 9) Kolik Kč bude stát omítnutí štítu domu tvaru rovnoramenného trojúhelníku vysokého 8 m a rameny délek 17 m, jestliže 1 m2 omítky stojí 1200 Kč. Náčrt: = 𝟑𝟎.𝟖 𝟐 Výpočet: S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 S = 120 m2 17 m 17 m (a/2)2 = 8 m (a/2)2 = a (a/2)2 = 225 a/2 a/22 = 225 a/2 = 15 m a = 30 m Omítka bude stát Kč. cena = = Kč

Na výrobu branky bude potřeba 7 m trubek.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 10) Kolik m trubek bude potřeba na výrobu florbalové branky s rozměry na plánku? (zaokrouhlete na celé metry) Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = x2 = 8900 120 cm x = x = 94,3 cm x 80 cm o = ,3 50 cm o = ,6 o = 688,6 cm = 7 m Na výrobu branky bude potřeba 7 m trubek.

Nadmořská výška horní stanice lanovky je 1100 m. y = 1100 m
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 11) Vodorovná vzdálenost dolní a horní stanice lanovky je podle mapy 1,2 km. Skutečná délka lanovky je 1300 m. Jaká je nadmořská výška horní stanice lanovky, když dolní stanice leží v nadmořské výšce 600 m? Náčrt: Výpočet: x2 = – 12002 x2 = y m x2 = 1300 m x x = x = 500 m 1,2 km 600 m y = Nadmořská výška horní stanice lanovky je 1100 m. y = 1100 m

Obsah šestiúhelníku je 42 cm2.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 12) Vypočítejte obsah pravidelného šestiúhelníku se stranou 4 cm. (pravidelný šestiúhelník je tvořen šesti rovnostrannými  ) Náčrt: Výpočet: S= 𝐚. 𝐯 𝐚 𝟐 = 𝟒.𝟑,𝟓 𝟐 4 cm S = 7 cm2 4 cm 4 cm va2= va2 = 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm va2 = 12 va va = 12 a=4 cm 2 cm va = 3,46 = 3,5 cm Obsah šestiúhelníku je 42 cm2. S = 6. S=6 . 7 S = 42 cm2

Velikost výslednice F je 130 N.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 13) Na těleso působí v témže okamžiku navzájem kolmé síly F1 = 120 N a F2 = 50 N. Určete početně velikost výslednice těchto sil F. Výpočet: F2 = Náčrt: F2 = F2 = 16900 F = F = ? N F2 = 50 N F = 130 N F1 = 120 N Velikost výslednice F je 130 N.

Stan je vysoký 166 cm. Užití Pythagorovy věty v praxi menu
14) Jak vysoký je stan typu „A“ s rozměry na plánku Výpočet: Náčrt: v2 = v2 = 180 cm v2 = 27500 v 200 cm v = 140 cm v = 165,8 = 166 cm 70 cm Stan je vysoký 166 cm.

Závod je dlouhý přibližně 3300 m.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 15) V parku tvaru čtverce se stranou 150 m se běží závod na 5 kol podle plánku na obrázku. Jak dlouhý je závod? (zaokrouhlete na stovky metrů) start - cíl Výpočet: u2 = Náčrt: u2 = u2 = 45000 u = u u = 212,1 = 212 m 150 m 150 m 1 kolo = 1 kolo = 662 m 5 kol = 5 kol = = 3300 m 150 m Závod je dlouhý přibližně 3300 m.

menu 16) Jak dlouhou trubku potřebují lešenáři k podepření lešení ve výšce 9 m, jestliže dolní konec trubky má být od lešení ve vzdálenosti 4 m? (zaokrouhlete na celé m nahoru) Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = x2 = 97 x = 97 x x = 9,85 = 10 m 9 m Bude potřeba trubka dlouhá 10 m . 4 m

menu 17) Jirka zjistil, že když jde z domu na autobusovou zastávku, musí udělat po chodníku nejprve 200 kroků na křižovatku, tam kolmo zahnout a udělat dalších 300 kroků až na zastávku. Kolik kroků ušetří, když půjde na zastávku nejkratší cestou přes trávník? Náčrt: Výpočet: x2 = 200 x2 = x2 = x = 300 x x = 361 kroků rozdíl = ( ) – 361 = 139 kroků Jirka cestou přes trávník ušetří 139 kroků.

Konec lana je 3,35 m nad hladinou.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 18) Přesně na břehu rybníka je na stromě ve výšce 6 m nad hladinou uvázáno 4 m dlouhé lano. Jak vysoko nad hladinou je konec lana, jestliže je se zavěšeným skokanem 3 m od břehu? Výpočet: x2 = 42 – 32 Náčrt: x2 = x2 = 7 4 m x = 7 x x = 2,65 m 4 m 3 m 6 m y y = 6 – 2,65 y = 3,35 m Konec lana je 3,35 m nad hladinou.

Kmen musí mít průměr minimálně 28,3 cm.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 19) Jaký musí být minimálně průměr kmene, abychom z něho mohli získat trám tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu s podstavou délky 20 cm? d2 = Výpočet: Náčrt: d2 = průměr d = u d2 = 800 d = 800 d d = 28,28 cm S 20 cm d = 28,3 cm 20 cm Kmen musí mít průměr minimálně 28,3 cm.

Užití Pythagorovy věty v praxi menu
20) Orientačního závodu podle plánku se zúčastnil cyklista a běžec. Kdo z nich byl dříve v cíli, jestliže běžec běžel průměrnou rychlostí 2 m/s a cyklista jel průměrnou rychlostí 3 m/s ? Náčrt: Výpočet: x2 = y2 = x2 = y2 = x2 = 17500 y2 = 3900 x = y = x 150 m x = 132,3 = 132m y = 62,4 = 62 m 200 m Start Cíl y s = 282 m s = 252 m 190 m t = s/v t = s /v t = s/v = 282/3 t = s/v = 252/2 t = 94 s t = 126 s

menu 21) V jezeře je ostrůvek. Těsně u ostrůvku roste rákos, který vyčnívá nad jezerem 30 cm. V tomto místě je jezero hluboké 1 m. Větrem se rákos odklonil tak, že jeho vršek leží v úrovni vody. Jak daleko od ostrůvku je vršek rákosu? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = 30 cm x2 = 6900 x x = 1 m 130 cm x = 83,1 cm Konec rákosu bude ve vzdálenosti 83,1 cm od ostrůvku.

o = 4 . a o = 4 . 1,3 o = 5,2 km a2 = (u1/2)2 + (u2/2)2 a2 = 12 + 0,82
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 22) Obora má tvar kosočtverce, jehož úhlopříčky mají délky v poměru 5 : 4. Součet délek obou úhlopříček činí 3,6 km. Kolik km plotu je třeba na oplocení této obory. Výpočet: o = 4 . a Náčrt: D C o = 4 . 1,3 o = 5,2 km u2 = 1,6 km u1= 2 km a2 = (u1/2)2 + (u2/2)2 a2 = ,82 a2 = 1 + 0,64 a2 = 1,64 a = 1,64 a = 1,28 = 1,3 km u1/2 u2/2 A B a 3,6 km : 9 = 0,4 km u1 = 2 km u2 = 1,6 km

(x/2)2 = 52 - 32 (x/2)2 = 25 - 9 (x/2)2 = 16 x/2 = 16 x/2 = 4 cm S
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 23) Je dána kružnice k (S, 5cm). Vypočítejte délku tětivy kružnice k, která je od středu S vzdálena 3 cm. (tětiva je úsečka, která má krajní body na kružnici) Náčrt: Výpočet: (x/2)2 = x/2 (x/2)2 = x (x/2)2 = 16 3 cm 5 cm 5 cm x/2 = 16 x/2 = 4 cm S x = 8 cm k Tětiva má délku 8 cm.

Je potřeba nájezd dlouhý 144 cm.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 24) Jak dlouhý je potřeba nájezd pro kočárky na schodiště se 4 schody, je-li schod 30 cm dlouhý a 20 cm vysoký? Náčrt: Výpočet: x2 = x2 = x2 = 1300 x = x x = 36 cm 20 cm 30 cm 4 schody = = 144 cm Je potřeba nájezd dlouhý 144 cm.

25) Jirka chodil v létě 3 dny po sobě plavat do bazénu dlouhého 15 m, širokého 8 m a hlubokého 2 m. První den uplaval na šířku 10 bazénů tam a zpět, druhý den uplaval na délku 6 bazénů tam a zpět, třetí den uplaval 5 bazénů tam a zpět nejdelší možnou přímou trasou (z rohu do protějšího rohu). Který den uplaval nejdelší trasu a kolik m uplaval? Náčrt: Výpočet: 3.den 1.den x2 = 8 m = 160 m x2 = 2.den x2 = 289 = 180 m x = 289 15 m x = 17 m x = 170 m Nejdelší trasu uplaval druhý den, a to 180 m.

26) V kruhovém parku s poloměrem 100 m a celkovou plochou m2 byl vydlážděn čtverec maximální možné velikosti a zbytek má být zatravněn. Určete v m2 velikost plochy určené k zatravnění. Náčrt: Výpočet: S = a2 a2 = a2 = a = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 a = 141,4 m a S = 141,42 S = cm2 100 m 100 m S plocha k zatravnění = plocha k zatravnění = m2 Plocha určená k zatravnění je m2.

menu 27) Určete, jak dlouhý elektrický ohradník bude potřeba na výběh pro krávy na plánku. 50 m 40 m Náčrt: Výpočet: 70 m 30 m 50 m 30 m o = x + y 40 cm 40 m x o = ,7 + 50 40 m o = 244,7 m 70 m 20 m x2 = x = x = 44,7 m y2 = y = y = 50 m y 30 cm 30 cm 30 cm Je třeba ohradník dlouhý 245 m.

28) Ve dvou sousedních vesnicích mají koupaliště. V Dolní Vsi tvaru rovnostranného lichoběžníku, přičemž jedna strana má velikost 23 m a zbylé 3 strany velikost 13 m. V Horní Vsi čtvercové se stranou 15 m. Ve které vesnici má koupaliště větší plochu vodní hladiny? Náčrt: D c = 13 m C Výpočet: S= a+c .𝐯 2 v2 = v2 = v = 144 v = 12 m d = 13 m b = 13 m S= 𝟏𝟐 2 v S = 216 m2 A B a = 23 m 5 m D C S = a2 S = 152 S = 225 m2 A a = 15 m B Větší je čtvercové koupaliště v Horní Vsi.

Minimální délka závodu je 1365 m.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 29) Orientační běžecký závod se čtyřmi kontrolami se poběží podle uvedené mapy. Jaká je minimální délka závodu v m? 300 m 300 m Náčrt: Výpočet: S 300 m 500 m C o = y y o = ,6 300 m x o = 1364,6 = 1365 m x2 = y2 = 500 m x2 = y2 = x = y = x = 400 m y = 264,6 m Minimální délka závodu je 1365 m.

30) Nájezdová rampa u schodu je tvořena čtvercovou deskou, kterou
Pythagorova vět a v obrázkových úlohých menu 30) Nájezdová rampa u schodu je tvořena čtvercovou deskou, kterou podpírají 3 trojúhelníkové desky zadaných rozměrů. Určete kolik dm2 dřevotřísky bylo použito na výrobu rampy? y2 = y2 = y2 = 169 x x y= 169 y = 13 m S = S□ + 3.S∆ S = S = S = 259 dm2

Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 15 cm.
Užití Pythagorovy věty v praxi menu 30) V kružnici k (S, 39 cm) je tětiva délky 72 cm. Vypočítejte vzdálenost tětivy od středu kružnice k. (tětiva je úsečka, která má krajní body na kružnici) Náčrt: Výpočet: x2 = 36 cm x2 = 72 cm x2 = 225 39 cm x 39 cm x = 15 x = 15 cm S k Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 15 cm.

Pythagorova věta v síti
menu Př. Vypočítejte délku úsečky AB vyznačené ve čtvercové síti. A a2 = a2 = 6 a a2 = 61 a = 61 5 B a = 7,8

menu Př. Vypočítejte obvod útvaru vyznačeného ve čtvercové síti. o = a + b + c C o = 5 + 5,4 + 5,8 o = 16,2 b2 = c2 = b2 = c2 = A B b2 = 29 c2 = 34 b = 𝟐𝟗 c = 𝟑𝟒 b = 5,4 c = 5,8

menu 1) Vypočítejte délku úsečky AB vyznačené ve čtvercové síti. A a2 = a a2 = 5 a2 = 34 a = 34 3 B a = 5,8

menu 2) Vypočítejte délku úsečky AB vyznačené ve čtvercové síti. B a2 = a a2 = 6 a2 = 52 a = 52 A 4 a = 7,21 = 7,2

menu 3) Vypočítejte obvod útvaru vyznačeného ve čtvercové síti. o = a + b + c b o = 5 + 4,5 + 5 o = 14,5 a c b2 = c2 = b2 = c2 = b2 = 20 c2 = 25 b = 𝟐𝟎 c = 𝟐𝟓 b = 4,5 c = 5

menu 4) Vypočítejte obvod útvaru vyznačeného ve čtvercové síti. a o = a + b + c a2 = o = 5,1 + 4,5 + 5,8 a2 = c a2 = 26 o = 15,4 b a = 𝟐𝟔 a = 5,1 b2 = c2 = b2 = c2 = b2 = 20 c2 = 34 b = 𝟐𝟎 c = 𝟑𝟒 b = 4,5 c = 5,8

menu 5) Vypočítejte obvod vyznačeného útvaru ve čtvercové síti. o = a + b + c + d a o = 5 6,1 4,5 4 d o = 19,6 b b2 = c2 = c b2 = c2 = b2 = 37 c2 = 20 b = 37 c = 20 b = 6,1 c = 4,5

menu 6) Vypočítejte obvod vyznačeného útvaru ve čtvercové síti o = a + b + c + d a o = 3 + 3,6 + 4,2 + 6,3 b o = 17,1 d d2 = c b2 = c2 = b2 = 9 + 4 c2 = 9 + 9 d2 = b2 = 13 c2 = 18 d2 = 40 d = 40 b = 13 c = 18 b = 3,6 c = 4,2 d = 6,3

menu 7) Vypočítejte obvod vyznačeného útvaru ve čtvercové síti. a2 = b2 = a a2 = b2 = 1 + 1 a2 = 17 b b2 = 2 e a = 17 b = 2 a = 4,1 b = 1,4 c d c2 = e2 = e2 = c2 = o = a + b + c + d + e e2 = 26 c2 = 25 o = 4,1 + 1, ,1 c = 25 e = 26 o = 17,6 e = 5,1 c = 5

menu 8) Vypočítejte obvod vyznačeného útvaru ve čtvercové síti. a2 = b2 = a a2 = b2 = a2 = 65 b2 = 34 b a = 65 b = 34 c a = 8,1 b = 5,8 e d d2 = e2 = e2 = d2 = o = a + b + c + d + e e2 = 68 d2 = 32 o = 8,1 + 5, ,7 + 8,3 d = 32 e = 68 o = 30,9 e = 8,3 d = 5,7

menu 9) Vypočítejte obvod vyznačeného útvaru ve čtvercové síti. o = a + b + c + d + e a o = 13,2+6, ,2 b o = 38,5 e c d a2 = b2 = c2 = e2 = a2 = b2 = c2 = e2 = a2 = 173 b2 = 37 c2 = 25 e2 = 52 a = 173 b = 37 c = 25 e = 52 a = 13,2 b = 6,1 c = 5 e = 7,2

o = 2.(a+b) S = a . v o = 2.(4+5,4) S = 4 . 5 o = 18,8 cm S = 20 cm2
Pythagorova věta v síti menu 10) Vypočítejte obvod a obsah kosodélníku ABCD v centimetrové čtvercové síti. a) o = 2.(a+b) S = a . v D C o = 2.(4+5,4) S = 4 . 5 v b o = 18,8 cm S = 20 cm2 A a B b2 = b2 = b2 = 29 b = 29 b = 5,4 cm

S = a+c .v 2 S = 6+4 .6 2 S = 30 cm2 Pythagorova věta v síti menu
10) Vypočítejte obvod a obsah rovnoramenného lichoběžníku ABCD v centimetrové čtvercové síti. b) o = a + b + c + d S = a+c .v 2 D c C o = 6 + 6, ,1 S = o = 22,2 cm d = b v b S = 30 cm2 b2 = A a B b2 = b2 = 37 b = 37 b = 6,1 cm

stěnové úhlopříčky. tělesové úhlopříčky. Pythagorova věta v prostoru
menu stěnové úhlopříčky. tělesové úhlopříčky.

Pythagorova věta v prostoru
menu Př. Vypočítej velikost tělesové úhlopříčky kvádru s rozměry 3 cm, 4 cm a 12 cm. ut us 12 cm 12 cm ut 3 cm 4 cm us = 5 cm 3 cm us us2 = ut2 = 4 cm us2 = us2 = us = 25 ut = 169 us = 5 cm ut = 13 cm

menu 1) Vypočítej velikost tělesové úhlopříčky kvádru s rozměry 6 cm, 8 cm a 15 cm. ut 15 cm us 6 cm 15 cm ut 8 cm 10 cm 6 cm us us2 = ut2 = 8 cm us2 = us2 = us = 100 ut = 325 us = 10 cm ut = 18 cm

menu 2) Vypočítej velikost tělesové úhlopříčky kvádru s rozměry 9 cm, 12 cm a 20 cm. ut us 20 cm 9 cm 20 cm ut 12 cm 15 cm 9 cm us us2 = ut2 = 12 cm us2 = us2 = us = 225 ut = 625 us = 15 cm ut = 25 cm

us2 = 22 + 22 ut2 = 2,82 + 22 us2 = 8 + 4 us2 = 4 + 4 us = 8 ut = 12
Pythagorova věta v prostoru menu 3) Vypočítej velikost tělesové úhlopříčky krychle s hranou 2 cm. ut us 2 cm 2 cm ut 2 cm 2 cm us = 2,8 cm 2 cm us us2 = ut2 = 2, 2 cm us2 = 4 + 4 us2 = 8 + 4 us = 8 ut = 12 us = 2,8 cm ut = 3,5 cm

menu 4) Vypočítej velikost tělesové úhlopříčky krychle s hranou 9 cm. ut us 9 cm 9 cm ut 9 cm 9 cm us = 12,73 cm 9 cm ut2 = 12, us us2 = us2 = us2 = 9 cm us = 162 ut = 243 us = 12,7 cm ut = 15,6 cm

menu 5) Čtyřboký hranol vysoký 10 cm má stěnovou úhlopříčku podstavy 5 cm. Určete délku tělesové úhlopříčky. ut v = 10 cm v =10 cm ut us = 5 cm ut2 = us = 5 cm ut2 = ut = 125 ut = 11,2 cm

menu 6) Čtyřboký hranol má stěnovou úhlopříčku podstavy 8 cm a tělesovou úhlopříčku 12 cm. Určete tohoto výšku hranolu. ut = 12 cm v ut = 12 cm v us = 8 cm v2 = us = 8 cm v2 = v = 80 v = 8,9 cm

menu 7) Čtyřboký hranol vysoký 7 cm má tělesovou úhlopříčku 11 cm. Určete délku stěnové úhlopříčky podstavy. ut = 11 cm v = 7 cm ut = 11 cm v = 7 cm us us us2 = us2 = us = 72 us = 8,5 cm

Selfie tyč se do krabice nevejde.
Pythagorova věta v prostoru menu 8) Selfie tyč dlouhou 40 cm chceme jako vánoční dárek zabalit do krabice s rozměry 30 cm, 20 cm a 10 cm. Vejde se selfie tyč do krabice? us ut 20 cm 10 cm ut 30 cm us = 36 cm 10 cm us2 = ut2 = 20 cm us us2 = us2 = 30 cm us = ut = us = 36 cm ut = 37,4 cm 40 > 37,4 Selfie tyč se do krabice nevejde.

Brčko musí být dlouhé minimálně 18,8 cm.
Pythagorova věta v prostoru menu 9) Krabička džusu má tvar pravidelného čtyřbokého hranolu s vnitřní hranou podstavy 8 cm, výškou 15 cm a s otvorem pro brčko v rohu horní podstavy. Jak dlouhé musí být minimálně neohebné brčko, aby se nemohlo celé skrýt uvnitř krabičky džusu? us ut 8 cm 15 cm 8 cm us = 11,3 cm us2 = ut2 = 11, ut 15 cm us2 = us2 = us = 128 ut = 353 8 cm us = 11,3 cm ut = 18,8 cm us Brčko musí být dlouhé minimálně 18,8 cm. 8 cm

Pythagorova věta v prostoru menu
10) Do učebny dlouhé 15 m, široké 8 m a vysoké 3 m je potřeba dveřmi dostat 15 metrovou trubku na zavěšení zatemňovacího závěsu po celé délce učebny. Bude možné trubku do učebny dostat dveřmi, jestliže dveře jsou na dlouhé stěně ve vzdálenosti 3 m od rohu učebny? us 8 m ut 3 m ut 3 m 8 m 12 m us us = 14,4 m us2 = ut2 = 14, 12 m 15 m 3 m us2 = us2 = us = 208 ut = 217 40 > 37,4 ut = 14,7m us = 14,4 m 15 metrová trubka dveřmi do učebny neprojde.

Pythagorejské trojúhelníky
menu Pythagorejské trojúhelníky jsou pravoúhlé trojúhelníky, jejichž strany mají velikosti vyjádřené přirozenými čísly. Příklady: 3, 4, 5 5, 12, 13 8, 15, 17 20, 21, 29 = 52 = 132 = 172 = 292 9+ 16 = 25 = 169 = 289 = 841 25 = 25 169 = 169 289 = 289 841 = 841 + všechny násobky 6, 8, 10 10, 24, 26 16, 30, 34 : 9, 12, 15 15, 36, 39 : 12, 16, 20 :

K m2 = k2 + l2 m2 = 132 + 82 m = ? cm l = 8 cm m2 = 169 + 64 m2 = 233
Pythagorova věta - opakování menu 1) Vypočítej velikost přepony m v pravoúhlém trojúhelníku KLM s odvěsnami k = 13 cm a l = 8 cm. K m2 = k2 + l2 m2 = m = ? cm l = 8 cm m2 = m2 = 233 L M k = 13 cm m = 233 m = 15,3 cm

A a2 = c2 - b2 c = 15 cm a2 = 152 - 72 b = 7 cm a2 = 225 - 49 a2 = 176
Pythagorova věta - opakování menu 2) Vypočítej velikost odvěsny a v pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnou b = 7 cm a přeponou c = 15 cm. A a2 = c2 - b2 c = 15 cm a2 = b = 7 cm a2 = a2 = 176 B C a = ? cm a= 176 a = 13,3 cm

Pythagorova věta - opakování menu
3) Vypočítejte obvod rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou a = 10 cm a výškou va = 3 cm Náčrt: Výpočet: A b2 = va2 + (a/2)2 o = a + b + c c = b b = ? cm o = ,8 + 5,8 b2 = o = 21,6 cm b2 = Va = 3 cm b2 = 34 b = 34 B C S a /2 b = 5,8 cm a = 10 cm Rovnoramenný trojúhelník ABC má obvod 21,6 cm.

4) Vypočítejte obvod pravoúhlého lichoběžníku ABCD
Pythagorova věta - opakování menu 4) Vypočítejte obvod pravoúhlého lichoběžníku ABCD (a//c,  = 900) se stranami a = 8 cm, c = 6 cm a d = 4 cm Náčrt: Výpočet: o = a + b + c + d b2 = D C c=6cm o = 8 + 4, b2 = o = 22,5 cm b2 = 20 b 4cm d=4cm b = 20 b = 4,5 cm A a=8cm 2cm B Obvod pravoúhlého lichoběžníku ABCD je 22,5 cm.

Pythagorova věta - opakování
menu 5) Z vody v rybníku vyčnívá kolmo nad hladinu dřevěný kůl. Jeho celková délka je 10 m, přičemž 2 m kůlu jsou pod hladinou. Jak daleko od kůlu dopadne na hladinu vrchol kůlu, jestliže se kůl zlomil ve výšce 2 m nad hladinou? Náčrt: Výpočet: x2 = 10 m x2 = x2 = 32 6 m 2 m x = 32 x = 5,66 m x 2 m x = 5,7 m Vrchol kůlu dopadne na hladinu ve vzdálenosti 5,7 m.

menu 6) Vypočítejte délku čáry vyznačené ve čtvercové síti a2 = b2 = a2 = b2 = a a2 = 17 b2 = 40 e a = 17 b b = 40 c d a = 4,1 b = 6,3 c2 = d2 = d2 = 4 + 9 c2 = o = a + b + c + d + e d2 = 13 c2 = 25 o = 4,1 + 6, ,6 + 3 d = 13 c = 25 o = 22 d = 3,6 c = 5

menu 7) Vypočítej velikost tělesové úhlopříčky kvádru s rozměry 7 cm, 5 cm a 12 cm. ut us 12 cm 5 cm 12 cm ut 7 cm 29 cm 5 cm us us2 = ut2 = 8, 7 cm us2 = ut2 = us = 74 ut = 218 us = 8,6 cm ut = 14,8 cm

menu 8) Určete, zda uvedený trojúhelník ABC se stranami a = 10 cm , b = 26 cm a c = 24 cm je pravoúhlý: b2 = a2 + c2 262 = 676 = 676 = 676 ∆ ABC je pravoúhlý

Pythagorova věta menu Konec prezentace

Pythagorova věta Opakování názvosloví Obrácená Pythagorova věta

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Pythagorova věta Opakování názvosloví Obrácená Pythagorova věta"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář

Přihlásit se

Přihlásit se přes sociální síť:

Pythagorova věta Opakování názvosloví Obrácená Pythagorova věta

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Pythagorova věta Opakování názvosloví Obrácená Pythagorova věta"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář