Citlivost kořenů polynomů

Prezentace na téma: "Citlivost kořenů polynomů"— Transkript prezentace:

1 Citlivost kořenů polynomů
WORKSHOP 2005 Brno, RNDr. Michal Šmerek

2 Úvod Metody řešení nelineárních rovnic → Numerická matematika → řada odvětví lidské činnosti Vztahy mezi veličinami → nelineární rovnice → efektivní algoritmy Často je vhodné nelineární funkce aproximovat polynomickými funkcemi, a hledat (přibližné) řešení nelineární rovnice jako řešení příslušné polynomické rovnice. Proto je potřeba znát zákonitosti chování těchto kořenů, především jejich citlivost. WORKSHOP 2005

3 Citlivost kořenů polynomu
(na změnu jeho koeficientů) polynom kořeny např. pro jednoduchý kořen je odvozen přibližný vztah: WORKSHOP 2005

4 koeficient podmíněnosti
Definice pojmů: koeficient podmíněnosti absolutní koeficient podmíněnosti číslo podmíněnosti špatně podmíněný polynom (Cp>>1) dobře podmíněný polynom (Cp≈ 1) WORKSHOP 2005

5 Citlivost kořenů polynomu
(na změnu jeho koeficientů) Příklady citlivosti kořenů polynomů s kořeny: malými (v porovnání s jedničkou) velkými (v porovnání s jedničkou) dobře separovanými blízkými násobnými WORKSHOP 2005

6 Příklad WORKSHOP 2005

7 WORKSHOP 2005

8 Skutečné hodnoty a aproximované hodnoty kořenů polynomů a
WORKSHOP 2005

9 Literatura BULIRSCH, R.; STOER, J. Introduction to Numerical Analysis. New York : Springer-Verlag,  s. ISBN HOROVÁ, I. Numerické metody. 1. vyd. Brno : MU v Brně,  s. ISBN ORTEGA, J. M.; RHEINBOLDT, W. C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York : Academic Press, 1970. RALSTON, A. Základy numerické matematiky. 1. vyd. Praha : Academia,  s. ŠMEREK, M. Výpočet kořenů polynomu. In XIX. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Vyškov : VVŠ PV, s.  ISBN WORKSHOP 2005

10 Literatura ŠMEREK, M. Špatně podmíněné polynomy. In XX. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Vyškov : VVŠ PV, s. 421–423. ISBN ŠMEREK, M.Citlivost polynomů. XXI. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu : sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD-ROMu. [CD-ROM]. Vyškov : VVŠ PV, ISBN Adresář: /clanky/1sxmerem.pdf. ŠMEREK, M. Citlivost kořenů polynomů. Učitel matematiky. 2005, roč. 13, č. 2, s. 100–108. ISSN ŠMEREK, M. Řešení nelineárních rovnic : závěrečná výzkumná zpráva projektu specifického výzkumu za rok Brno : Univerzita obrany,  s., 3 příl. WORKSHOP 2005

11 Literatura ŠMEREK, M. Numerické řešení nelineárních rovnic. Rigorózní práce. Brno : PřF MU,  s. VITÁSEK, E. Numerické metody. Praha : SNTL, 1987. WILKINSON, J. H. The evaluation of the zeros of ill-conditioned polynomials. Part I. Numerische Mathematik 1, 1959, vol. 1, s. 150–166. WORKSHOP 2005

12 Děkuji za pozornost RNDr. Michal Šmerek Katedra ekonometrie Fakulta ekonomiky a managementu Univerzita obrany v Brně WORKSHOP 2005