Primitivní funkce Přednáška č.3.

Prezentace na téma: "Primitivní funkce Přednáška č.3."— Transkript prezentace:

1 Primitivní funkce Přednáška č.3

2 Ilustrace problému Funkce f(x), nezáporná funkce
Funkce S(x)…..každému x přiřadí plochu pod f(x) k ose x od mínus nekonečna až do argumentu x.

3 Plocha pod funkcí f k ose x v intervalu (x , x+h)
Plocha modrého obrazce

4 Modrý obrazec nahradíme obdélníkem a vypočteme jeho obsah
Obsah obdélníka P=a.b Obsah modrého obrazce je přibližně obsah modrého obdélníka

5 jestliže h se limitně bude blížit k 0, pak delší strana obdélníka f(x+h/2) se blíží f(x)

6 Primitivní funkce Definice:funkce F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I, jestliže na I. Antiderivace Vlastnost I:( postačující podmínka pro existenci primitivní funkce) Pokud f je spojitá v , potom existuje k f primitivní funkce.

7 Jak je to s jednoznačností primitivní funkce?
Vlastnost II: Nechť F,G jsou primitivní funkce k funkci f na I. Pak existuje reálné číslo c tak, že ( primitivních funkcí k jedné funkci může být více a liší se o konstantu) Množina všech primitivních funkcí k funkce f neurčitý integrál k některým funkcím se nedají vyjádřit primitivní funkce v analytickém tvaru.

8 Primitivní funkce základních funkcí

9 Vlastnosti primitivní funkce
Vlastnost II.: jsou primitivní funkce k funkcím a nechť jsou reálná čísla. Pak je primitivní funkcí k funkci Neboli (pokud všechny primitivní funkce existují)

10 Příklad Vypočtěte

11 Další vlastnosti primitivní funkce
Vlastnost III.(per partes) Nechť f,g mají v (a,b )vlastní derivaci. Pak

12 Příklad Vypočtěte

13 Příklad

14 Příklad Vypočtěte

15 Příklad Vypočtěte

16 Další vlastnosti primitivní funkce
Vlastnost IV:(substituce) Nechť funkce f(t) je spojitá v (a,b) a g(x) má v (c,d) derivaci pro všechna x z (c,d) a g(x) patří do (a,b). Potom platí v intervalu (c,d) rovnice

17 Příklad Vypočtěte

18 Příklad Vypočtěte

19 Další vlastnosti primitivní funkce
Důsledek:

20 Příklad Vypočtěte

21 Určitý integrál

22 Určitý integrál Newton-Leibnizova formule a …dolní mez b….horní mez

23 Vlastnosti určitého integrálu
Per partes pro určité integrály

24 Substituce pro určité integrály
Substituce pro určité integrály -Nechť funkce f je spojitá v intervalu Nechť funkce g má spojitou derivaci v intervalu a zobrazuje tento interval do intervalu Potom platí

25 Příklad Spočtěte

26 Příklad Spočtěte

27 Příklad Spočtěte

28 Vlastnosti určitého integrálu
Je-li funkce spojitá na intervalu , je v tomto intervalu integrovatelná. Pokud , potom Pokud , potom Pokud , potom

29 Příklad Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafem funkce a osou x
Průsečíky s osou x

30 Vlastnosti určitého integrálu
Pokud funkce f je omezená v intervalu a nechť , potom platí Pokud funkce f = g v intervalu , až na konečně mnoho bodů, potom Pokud je sudá funkce, pak Pokud je lichá funkce, pak

31 Vlastnosti určitého integrálu
Pokud funkce f je spojitá v intervalu a nechť , potom pro každé platí , kde Pokud pro každé , potom plocha mezi dvěma funkcemi

32 Příklad Vypočtěte velikost plochy mezi funkcemi Průsečíky:

33 Aplikace v ekonomii změny veličiny změna veličiny
intenzita výroby(velikost výroby za jednotku času)→objem výroby intenzita příjmu→celkový příjem intenzita nákladů→celkové náklady intenzita investic→celkové investice

34 Spotřebitelský a podnikatelský přebytek
Spotřebitelský přebytek Podnikatelský přebytek