Parametrické vyjádření roviny

Prezentace na téma: "Parametrické vyjádření roviny"— Transkript prezentace:

1 Parametrické vyjádření roviny
Název projektu: Moderní škola Parametrické vyjádření roviny Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

2 Parametrické vyjádření roviny
rozlišujeme dva základní typy rovnic roviny: parametrické vyjádření obecná rovnice

3 Parametrické vyjádření roviny
Rovina je určena: třemi body, které neleží na jedné přímce x A x B x C přímkou a bodem, který na ní neleží x D p dvěma různými rovnoběžnými přímkami p q dvěma různoběžnými přímkami p

4 Parametrické vyjádření roviny
Rovina je dána třemi body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Označíme směrové vektory roviny u = AB, v = AC. Potom libovolný bod X roviny získáme: X = A + t.u + s.v t, s … parametry (reálná čísla) Tato rovnice se nazývá parametrická rovnice roviny ABC. Ax x B v x C s.v x X t.u u

5 Parametrické vyjádření roviny
vyjádříme body A, X a směrové vektory u, v v souřadnicích: A[a1, a2, a3], X[x, y, z], u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) parametrické vyjádření v souřadnicích: x = a1 + tu1 + sv1 y = a2 + tu2 + sv2 z = a3 + tu3 + sv3 t, s ɛ R

6 Parametrické vyjádření roviny
Př: Napište parametrické vyjádření roviny ABC, jestliže A[2, -5, 6], B[1, 3, -2], C[3, 2, -1] vypočítáme souřadnice směrového vektoru: u = AB = B – A = (-1, 8, -8), v = AC = C – A = (1, 7, -7) zapíšeme do parametrického vyjádření v souřadnicích: x = 2 + (-1)t + 1s y = t + 7s z = 6 - 8t + (-7)s t,s ɛ R upravíme: x = 2 – t + s y = t + 7s z = 6 – 8t – 7s t, s ɛ R

7 Parametrické vyjádření roviny
Př: Zjistěte, zda bod M[-1, -1, 3] leží v rovině ABC, jestliže A[1, 2, -1], B[3, 1, 1], C[-1, 1, 0] směrové vektory u = AB = (2, -1, 2), v = AC = (-2, -1, 1) sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 + 2t – 2s y = 2 – t – s z = t + s t, s ɛ R do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existují t,s ɛ R taková, aby soustava byla platná -1 = 1 + 2t – 2s -1 = 2 – t – s 3 = t + s

8 Parametrické vyjádření roviny
čísla t, s vypočítáme z prvních dvou rovnic -1 = 1 + 2t – 2s -1 = 2 – t – s /.2 -2 = 4 – 2t – 2s -3 = 5 – 4s s = 2 ověříme, zda čísla vyhovují i třetí rovnici 3 = 3 = 3 -1 = 1 + 2t – 2s -1 = 1 + 2t – 2.2 t = 1 čísla t, s vyhovují všem třem rovnicím, bod M leží v rovině ABC

9 Parametrické vyjádření roviny
Př: Zjistěte, zda body A, B, C, D leží v jedné rovině, jestliže A[1, 0, 0], B[3, 1, 1], C[-1, -2, 1], D[1, 1, 1] zjišťujeme, zda bod D leží v rovině ABC směrové vektory u = AB = (2, 1, 1), v = AC = (-2, -2, 1) sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 + 2t – 2s y = t – 2s z = t + s t, s ɛ R do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existují t,s ɛ R taková, aby soustava byla platná 1 = 1 + 2t – 2s 1 = t – 2s 1 = t + s

10 Parametrické vyjádření roviny
čísla t, s vypočítáme z prvních dvou rovnic 1 = 1 + 2t – 2s 1 = t – 2s /.(-1) -1 = -t + 2s 0 = 1 + t t = -1 ověříme, zda čísla vyhovují i třetí rovnici 1 = 1 = -2 1 = 1 + 2t – 2s 1 = (-1) – 2s s = -1 čísla t, s nevyhovují třetí rovnici, body A,B,C,D neleží v jedné rovině

11 Parametrické vyjádření roviny – samostatná práce
Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Marcus Fabius Quintilianus: „Nezáživný učitel ……… jako vyprahlá půda pro něžné rostliny.“ Napište parametrické vyjádření roviny ABC: A[1, 0, 1], B[1, 2, 3], C[2, 3, -1] a) J = (x = 1 + s, y = t + 3s, z = 1 + t – 2s) b) M = (x = 1 + s, y = t + 3s, z = 1 + t – 2s) Zjistěte, zda body A, B, C, D leží v jedné rovině, jestliže A[1, 2, 6], B[-1, 1, 1], C[1, 3, 7], D[3, -5, 3] a) E = ano b) Á = ne

12 Parametrické vyjádření roviny – správné řešení
Marcus Fabius Quintilianus: „Nezáživný učitel …… jako vyprahlá půda pro něžné rostliny.“ JE

13 Parametrické vyjádření roviny – použitá literatura
KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. [online]. [cit ].