(řešení pomocí diskriminantu)

Prezentace na téma: "(řešení pomocí diskriminantu)"— Transkript prezentace:

1 (řešení pomocí diskriminantu)
Řešení rovnic Kvadratické rovnice (řešení pomocí diskriminantu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. 1

2 Opakování ‒ Rovnice s jednou neznámou:
Rovnice s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výrazů, zjednodušeně L(x) = P(x), kde x je z daného číselného oboru. Levá strana rovnosti. Pravá strana rovnosti. 2

3 Označujeme je jako neznámé (proměnné).
Opakování ‒ Rovnice s jednou neznámou: V zápisu rovností výrazů na levé straně rovnice a výrazu na pravé straně rovnice se mohou vyskytovat písmena x, y, z apod. Označujeme je jako neznámé (proměnné). Hlavním úkolem (řešením rovnice) je nalézt takové hodnoty příslušné neznámé (proměnné), pro které bude rovnost splněna. 3

4 Opakování ‒ Kořen (řešení) rovnice:
Kořenem (řešením) rovnice jsou takové hodnoty z definovaného číselného oboru rovnice, pro něž dostaneme platnou rovnost. Někdy říkáme, že číslo, které je řešením rovnice, této rovnici vyhovuje nebo že ji splňuje. Ukážeme si to na příkladu. Mějme rovnici: Číslo x = 2 je kořenem (řešením), protože po jeho dosazení do rovnice získáme platnou rovnost. Číslo x = 3 není kořenem (řešením), protože po jeho dosazení do rovnice nezískáme platnou rovnost. Hlavním úkolem při řešení rovnic je tedy použití různých přípustných metod, s jejichž pomocí najdeme všechny kořeny dané rovnice. V zadání většiny úloh se slovo všechny zpravidla vynechává! Nic to však nemění na tom, že musíme skutečně vždy najít všechny kořeny! 4

5 Opakování ‒ Řešení rovnic:
Řešit rovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty neznámé (proměnné) z daného číselného oboru, pro které platí ten uvedený vztah, který byl zadán. Zkoušku doporučuji provádět vždy. Velmi jednoduše se přesvědčíte, zda jste se nedopustili nějaké chyby, například numerické. V případě použití důsledkových úprav, nejčastěji umocnění rovnice, je provedení zkoušky nezbytně nutné. (Ale o úpravách důsledkových až později. Nejdříve se budeme věnovat úpravám ekvivalentním.) 5

6 Princip řešení rovnic ‒ hledání kořenů rovnice:
Hledání kořenů rovnice je proces, při kterém místo dané rovnice píšeme nové rovnice, většinou takové, které mají stejná řešení, jako rovnice původní. O takové nové rovnici řekneme, že je s tou naší původní rovnicí ekvivalentní. Úpravy, které budeme provádět s příslušnou rovnicí, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy rovnice, při nichž žádný kořen neztratíme a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní rovnice a nové rovnice jsou si vždy po celou dobu řešení rovny. 6

7 Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic:
1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven v celém definičním oboru řešení rovnice. Jinak řečeno to znamená, že upravíme (zjednodušíme) obě strany rovnice samostatně pomocí provedení možných početních operací a úprav. 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 7

8 Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic:
Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven v celém definičním oboru řešení rovnice. Jinak řečeno to znamená, že upravíme (zjednodušíme) obě strany rovnice samostatně pomocí provedení možných početních operací a úprav. 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 8

9 Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic:
Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Pozor na odmocnění obou stran rovnice. Sudá odmocnina má dvě řešení – kladné a záporné! 9

10 Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic:
Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: Na závěr ještě zkoušku: 10

11 Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor:
4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Ukázka chybného použití: Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. 11

12 Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor:
4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Další častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá i to, že naopak vynásobíme i „něco“ navíc. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. Ukázka chybného použití: Trojkou byly roznásobeny chybně oba členy součinu, tzn. jak zlomek před závorkou, tak i závorka. Chceme-li však násobit součin dalším číslem (výrazem), můžeme tímto číslem (výrazem) vynásobit jen jednoho čitatele daného součinu. Abychom se této chyby vyvarovali, dáváme často před odstraňováním zlomků násobením rovnice přednost odstranění závorek jejich roznásobení na základě uskutečnění ekvivalentní úpravy číslo 2. 12

13 Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor:
4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Další častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá i to, že naopak vynásobíme i „něco“ navíc. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. A ještě jedna obvyklá chyba se při použití úpravy číslo 4 objevuje. Je jí dělení rovnice, jakési „krácení“ rovnice, výrazem s proměnnou. Ukázka chybného použití: Z uvedeného řešení by se mohlo zdát, že množina kořenů rovnice je pouze jednoprvková. Snadno však dosazením do rovnice zjistíme, že je dvouprvková K = {-2; 2}. Uvedené dělení bychom v postupu řešení mohli použít jen, pokud by se x  2. V našem případě je však číslo 2 jedním z kořenů rovnice a my jsme se jen při řešení „zbavili“. Neurčili bychom tedy kořeny všechny, a to je špatně! 13

14 ax + b = 0, a, bR, a  0 ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0
Opakování ‒ Základní druhy rovnic s jednou neznámou: Lineární rovnice, tzn. rovnice, které povolenými úpravami můžeme „dostat“ do tvaru: ax + b = 0, a, bR, a  0 Kvadratické rovnice, tzn. rovnice, které povolenými úpravami můžeme „dostat“ do tvaru: ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0 Iracionální rovnice, tzn. rovnice, které obsahují odmocniny z neznámé nebo z výrazů s neznámou. 14

15 ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0 Kvadratická rovnice:
Ještě jednou tedy, čemu říkáme kvadratická rovnice? Kvadratickou rovnicí s neznámou x, se nazývá rovnice typu: ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0 Například: Jak vyplývá již i z předchozího snímku, často se ovšem jako kvadratické nazývají i jiné rovnice, a to proto, že je můžeme snadno povolenými úpravami převést na uvedenou rovnici typu ax2 + bx + c = 0. Čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice. Výraz ax2 se nazývá kvadratický člen kvadratické rovnice. Výraz bx se nazývá lineární člen kvadratické rovnice. Výraz c se nazývá absolutní člen kvadratické rovnice. 15

16 ax2 + c = 0, a, c R, a  0 ax2 + bx = 0, a, b R, a  0
Kvadratická rovnice: Kvadratický koeficient a je vždy nenulový. Nastat však mohou případy, kdy buď b = 0 nebo c = 0. Rovnice bude neúplná. Je-li b = 0, rovnici nazveme ryze kvadratickou rovnicí. Má tvar: ax2 + c = 0, a, c R, a  0 Například: Je-li c = 0, rovnici nazveme kvadratickou rovnicí bez absolutního členu. Má tvar: ax2 + bx = 0, a, b R, a  0 Například: Nejčastějším typem jsou však kvadratické rovnice úplné, tzn. se všemi koeficienty, a těm se nyní budeme věnovat. 16

17 …a po dosazení za diskriminant, pak...
Kvadratické rovnice (úplné): Úplná kvadratická rovnice je tedy rovnice tvaru ax2 + bx + c = 0. O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice rozhoduje výraz D = b2 – 4ac zvaný diskriminant. Pro výpočet hodnot kořenů kvadratické rovnice platí následující vzorec. …a po dosazení za diskriminant, pak... 17

18 D = b2 – 4ac Kvadratické rovnice (úplné):
Úplná kvadratická rovnice je tedy rovnice tvaru ax2 + bx + c = 0. O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice rozhoduje výraz D = b2 – 4ac zvaný diskriminant. Pro výpočet hodnot kořenů kvadratické rovnice platí následující vzorec. Jak je z uvedeného již jistě zřejmé, kořeny kvadratické rovnice lze vypočítat užitím vzorce, kde stěžejní roli hrají koeficienty kvadratické rovnice. Ty je tedy nutné určit bezchybně! Jak jsem již výše také uvedl, o řešitelnosti kvadratické rovnice rozhoduje diskriminant. Pojďme si tedy na následujících řešených příkladech ukázat jednak použití uvedeného vzorce pro výpočet kvadratických rovnic a jednak si na nich „vyšetřeme“ i možné druhy řešení úplných kvadratických rovnic. 18

19 Kvadratické rovnice (úplné):
Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 1 , b = 3 , c = -10 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do rovnice: Rovnice se nám nyní „větví“ na dvě části, tzn. na dvě řešení, dva kořeny! 19

20 Kvadratické rovnice (úplné):
Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 1 , b = 3 , c = -10 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do rovnice: Na závěr provedeme zkoušku pro oba kořeny kvadratické rovnice. 20

21 Kvadratické rovnice (úplné):
Řešte v R rovnici: Zkouška: 21

22 Rovnice má jedno řešení!
Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = -2 , b = 16 , c = -32 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do rovnice: Rovnice má jedno řešení! Správnost řešení ověříme opět provedením zkoušky. 22

23 Kvadratické rovnice (úplné):
Řešte v R rovnici: Zkouška: 23

24 Kvadratické rovnice (úplné):
Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 3 , b = -6 , c = 8 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do rovnice: Rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení, neboť druhá odmocnina záporného čísla neexistuje! 24

25 Kvadratické rovnice (úplné):
Shrňme si nyní všechny příklady a zaměřme se na jejich řešení: 25

26 Ano, jde o hodnotu diskriminantu. Pojďme si ji tedy podrobně rozebrat!
Kvadratické rovnice (úplné): Shrňme si nyní všechny příklady a zaměřme se na jejich řešení: Trošku vám pomohu. Mimochodem řeč o tom byla již na některém z předchozích snímků. Přijdete na to, na čem závisí řešitelnost a počet kořenů kvadratické rovnice? Ano, jde o hodnotu diskriminantu. Pojďme si ji tedy podrobně rozebrat! 26

27 … K =  … K = {x} … K = {x1, x2} Kvadratické rovnice (úplné):
O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice a počtu řešení rozhoduje výraz D = b2 – 4ac zvaný diskriminant. 1) D < 0 … K =  V takovém případě bychom v rovnici pro výpočet kořenů hledali druhou odmocninu záporného čísla, a ta neexistuje! Kvadratická rovnice tedy v případě záporné hodnoty diskriminantu nemá v oboru reálných čísel řešení! 2) D = 0 … K = {x} V takovém případě by v rovnici pro výpočet kořenů kvadratické rovnice člen s diskriminantem zcela vymizel. Kvadratická rovnice tedy v případě nulové hodnoty diskriminantu má v oboru reálných čísel jen jeden kořen! 3) D > 0 … K = {x1, x2} V takovém případě bychom v rovnici hledali druhou odmocninu kladného čísla, a ta je vždy kladná i záporná! Kvadratická rovnice tedy v případě kladné hodnoty diskriminantu má v oboru reálných čísel vždy dva kořeny! 27

28 Nejdříve pomocí známých postupů při počítání s výrazy
Kvadratické rovnice (úplné): Většinou nebývají kvadratické rovnice zadány přímo ve tvaru, z něhož by šly koeficienty rovnou určit. Takovým rovnicím říkáme rovnice vedoucí k řešení kvadratické rovnice. První úkol pak spočívá v tom, upravit je na tvar, ze kterého budeme schopni koeficienty kvadratické rovnice určit a pomocí nich rovnici vypočítat. Ukážeme si to opět na konkrétním příkladu. Vyřeš v R rovnici: Nejdříve pomocí známých postupů při počítání s výrazy a pomocí ekvivalentních úprav upravíme rovnici do základního tvaru ax2 + bx + c = 0. 28

29 Kvadratické rovnice (úplné):
Většinou nebývají kvadratické rovnice zadány přímo ve tvaru, z něhož by šly koeficienty rovnou určit. Takovým rovnicím říkáme rovnice vedoucí k řešení kvadratické rovnice. První úkol pak spočívá v tom, upravit je na tvar, ze kterého budeme schopni koeficienty kvadratické rovnice určit a pomocí nich rovnici vypočítat. Ukážeme si to opět na konkrétním příkladu. Vyřeš v R rovnici: Nyní provedeme zkoušku. 29

30 Kvadratické rovnice (úplné):
Vyřeš v R rovnici: Zkouška: 30

31 Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení:
Řešte v R rovnici: 31

32 Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení:
Řešte v R rovnici: 32

33 Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení:
Řešte v R rovnici: Zkouška: 33

34 Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: < 34