Maximální propustnost rovinné dopravní sítě

Prezentace na téma: "Maximální propustnost rovinné dopravní sítě"— Transkript prezentace:

1 Maximální propustnost dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.

2 Maximální propustnost rovinné dopravní sítě
- Síť je orientovaná (všechny hrany grafu orientované) - Síť je acyklická – neobsahuje „kružnice“ - Úseky sítě jsou ohodnoceny propustnostmi Úkol: Určit maximální celkovou propustnost (sumární) ze zdroje Z do ústí U rovinné dopravní sítě.

3 Rovinný graf lze na nakreslit v rovině tak, že hrany se protínají jen ve vrcholech.
Následující algoritmus pro rovinnou síť lze použít za těchto podmínek: - síť je rovinný graf - zůstane rovinný i po přidání hrany ze zdroje Z do ústí U. t – tok hranou

4 Metoda severní cesty 1) Určíme nejvýše položenou cestu (severní) ze Z do U a vedeme touto cestou tok rovný minimální propustnosti hran cesty 2) Odečteme od propustností tento tok, alespoň jedna hrana s nulovou propustností odpadne 3) Postup opakujeme, nalezené toky sčítáme a postup ukončíme, pokud dojde k rozpadu zbývající sítě mezi zdrojem Z a ústím U.

5 Příklad: Nalezení maximálního toku v rovinné dopravní síti z uzlu U do uzlu V. Ohodnocení hran grafu představuje jejich propustnost.

6

7

8

9

10

11 Maximální propustnost obecné (prostorové) orientované dopravní sítě
Prostorová dopravní síť obsahuje úseky, které se protínají mimo uzly a nelze ji zakreslit tak, aby k protnutí nedošlo. Pro výpočet maximálního propustnosti sítě je možno využít Ford-Fulkersonův algoritmus, tzv. značkovací metodu.

12 Ford-Fulkersonův algoritmus, tzv. značkovací metoda
1) Sestavit výchozí přípustné řešení – přípustný tok Musí platit pro každy vrchol grafu: přítok q – propustnost (kapacita) odtok - je přípustný tok Pokud možno začít s úplným tokem, tz. každá cesta Z ® U obsahuje alespoň jeden nasycený úsek Výchozí řešení se snažíme zlepšit nebo ověřit, že je maximální značkovací procedurou.

13 2) Značkovací procedura
Zdroj označíme značkou Pokud vi je označený, vj není označený, hrana hij je orientovaná hrana a platí označíme vj značkou Pokud vl je označený koncový vrchol orientované hrany hkl = vkvl , vk není označený a platí , označíme vrchol vk značkou Pokud uvedeným postupem bylo označeno U , přecházíme na další krok 3. Pokud nelze uvedeným postupem označit žádný další vrchol a ústí nebylo označeno, přejdeme na krok 5 . + +i -l

14 3) Najdeme zpětně podle značek a bez ohledu na orientaci hran trasu ze Z do U přes označené vrcholy.
4) Určíme na hranách trasy Z ® U číslo tam, kde hrany procházejí ve smyslu orientace a číslo na hranách procházených v opačném smyslu. Určíme číslo Dosavadní tok na trase Z ® U zvýšíme o d na hranách procházených ve směru jejich orientace a snížíme o d na hranách jimiž trasa prochází ve směru opačném jejich orientace. Po této změně celkový „přítok“ do U bude o d větší než předchozí tok. Dále zrušíme značky vrcholů a opakujeme značkování s novým tokem – krok 2 a další. 5) Naposledy zkoumaný tok je maximální.

15 Fordova a Fulkersonova věta o maximálním toku a minimálním řeru
Maximální tok v obecné orientované acyklické dopravní síti je roven propustnosti minimálního řezu oddělujícího zdroj a ústí.

16 Příklad: Určete maximálního toku (maximální propustnost) v obecné dopravní síti z uzlu U do uzlu V. Ohodnocení hran grafu představuje jejich propustnost (kapacitu).

17 Sestavit výchozí přípustné řešení – přípustný tok
Pokud možno začít s úplným tokem, tz. každá cesta Z ® U obsahuje alespoň jeden nasycený úsek Tok 130 Výchozí řešení se snažíme zlepšit nebo ověřit, že je maximální značkovací procedurou.

18 Značkovací procedura Tok 130 Trasa podle značek
Z – V3 – V5 – V2 – V6 – U Tok 130 Určíme na hranách trasy Z ® U číslo tam, kde hrany procházejí ve smyslu orientace a číslo na hranách procházených v opačném smyslu. Z ® V3 ® V5 ¬ V2 ® V6 ® U d = 20 , upravíme tok o 20, tok se potom zvýší na 150, Zrušíme značky a opakujeme značkovací proceduru s novým tokem.

19 Tok 150

20 Značkovací procedura tok 150
Trasa podle značek Z – V3 – V7 – V5 – V5 – V6 – U Z ® V3 ® V7 ¬ V5 ¬ V2 ® V6 ® U d = 10 , upravíme tok o 10, tok se potom zvýší na 160, Zrušíme značky a opakujeme značkovací proceduru s novým tokem.

21 Tok 160

22 Značkovací procedura tok 16 0
Pokud nelze uvedeným postupem označit žádný další vrchol a ústí nebylo označeno, přejdeme na krok 5 . Krok 5: Naposledy zkoumaný tok je maximální.

23 Maximální tok je 160 Fordova a Fulkersonova věta o maximálním toku a minimálním řezu Maximální tok v obecné orientované acyklické dopravní síti je roven propustnosti minimálního řezu oddělujícího zdroj a ústí.

24 Zdroje: Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.. Teorie dopravy. Praha, ČVUT, ISBN