Množina bodů dané vlastnosti

Prezentace na téma: "Množina bodů dané vlastnosti"— Transkript prezentace:

1 Množina bodů dané vlastnosti
Množina všech bodů, z nichž je daná úsečka vidět pod daným úhlem. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

2 z nichž je úsečka vidět pod daným úhlem.
Zopakujeme si nejdříve všechno, co víme o úhlech v kružnici, pomocí nichž odvodíme, jak sestrojit množinu všech bodů, z nichž je úsečka vidět pod daným úhlem.

3 Úhly v kružnici Středový úhel,
- jsou úhly příslušné k oblouku kružnice. Středový úhel, tzn. úhel s vrcholem ve středu kružnice a rameny procházejícími krajními body oblouku AB.

4 Kolik středových úhlů k danému oblouku existuje?
Úhly v kružnici - jsou úhly příslušné k oblouku kružnice. Ano, samozřejmě, že jen jeden, vždyť existuje jen jeden střed kružnice. Kolik středových úhlů k danému oblouku existuje?

5 Středové úhly Středový úhel nekonvexní, konkávní (větší než 180°)
- úhly s vrcholem ve středu kružnice a rameny procházejícími krajními body oblouku AB. Středový úhel nekonvexní, konkávní (větší než 180°) Středový úhel konvexní (menší než 180°)

6 Úhly v kružnici Obvodový úhel,
tzn. úhel s vrcholem na obvodu kružnice a rameny procházejícími krajními body oblouku AB. - jsou úhly příslušné k oblouku kružnice.

7 Obvodové úhly - úhly s vrcholem na obvodu kružnice a rameny procházejícími krajními body oblouku AB. K danému oblouku existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů. Všechny obvodové úhly k danému oblouku jsou shodné.

8 Vztah mezi středovým a obvodovým úhlem
Pokusíme se prozkoumat, zda mezi středovým a obvodovým úhlem daného oblouku neexistuje nějaký matematický vztah.

9 Vztah mezi středovým a obvodovým úhlem
Pokusíme se prozkoumat, zda mezi středovým a obvodovým úhlem daného oblouku neexistuje nějaký matematický vztah.

10 Vztah mezi středovým a obvodovým úhlem
Pokusíme se prozkoumat, zda mezi středovým a obvodovým úhlem daného oblouku neexistuje nějaký matematický vztah. Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku.

11 Jak narýsovat kružnici (oblouk kružnice), z níž je úsečka AB vidět pod úhlem 50°?
Střed kružnice má stejnou vzdálenost jak od bodu A, tak od bodu B. Co je množinou všech bodů, které mají od dvou daných bodů stejnou vzdálenost? Každá kružnice je jednoznačně dána jejím středem a poloměrem. Naším úkolem je tedy tyto najít. Ano je to osa úsečky AB. Máme tedy první podmínku, kterou musí střed kružnice splňovat.

12 Jakou velikost má tento úhel?
Jak narýsovat kružnici (oblouk kružnice), z níž je úsečka AB vidět pod úhlem 50°? Druhou podmínkou je to, že střed kružnice leží na rameni úhlu ABS, tedy rameni BS. Jakou velikost má tento úhel?

13 a součtu velikostí úhlů
Jak narýsovat kružnici (oblouk kružnice), z níž je úsečka AB vidět pod úhlem 50°? Na základě znalostí o velikostech úhlů a součtu velikostí úhlů v trojúhelníku pro nás nebyl problém přijít na to, že hledaná velikost daného úhlu je 40°.

14 Jak narýsovat kružnici (oblouk kružnice), z níž je úsečka AB vidět pod úhlem 50°?
Středem kružnice, ze které je vidět úsečka AB pod úhlem 50° je průsečík osy úsečky AB a polopřímky sestrojené z kteréhokoliv z krajních bodů úsečky AB pod úhlem 40° (90°-50°) vzhledem k úsečce AB. Poloměr je dán vzdáleností středu kružnice a kteréhokoliv z krajních bodů úsečky AB.

15 Obecně tedy platí. Středem kružnice, ze které je vidět úsečka AB pod úhlem  je průsečík osy úsečky AB a polopřímky sestrojené z kteréhokoliv z krajních bodů úsečky AB pod úhlem =90°- vzhledem k úsečce AB. Poloměr je dán vzdáleností středu kružnice a kteréhokoliv z krajních bodů úsečky AB.

16 Obecně tedy platí. Středem kružnice, ze které je vidět úsečka AB pod úhlem  je průsečík osy úsečky AB a polopřímky sestrojené z kteréhokoliv z krajních bodů úsečky AB pod úhlem =90°- vzhledem k úsečce AB. Poloměr je dán vzdáleností středu kružnice a kteréhokoliv z krajních bodů úsečky AB.

17 Speciální případ – Thaletova kružnice.
Thaletova kružnice: Množina všech bodů, z nichž je úsečka vidět pod zorným úhlem 90°.

18 A co když potřebujeme množinu bodů, z nichž je úsečka vidět pod úhlem větším než 90°?
Potřebujeme-li například množinu bodů, z nichž je vidět úsečka pod úhlem 110°, postupujeme stejně, jako bychom chtěli sestrojit množinu bodů, z nichž je úsečka vidět pod úhlem 70°.

19 Obecně tedy platí.  180°-

20 Obecně tedy platí.  +  = 180°

21 Příklady: 1) Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je úsečka AB o délce 6 cm vidět pod úhlem 60°.

22 Příklady: 2) Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je úsečka AB o délce 5 cm vidět pod úhlem 45°.

23 Příklady: 3) Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je úsečka AB o délce 4 cm vidět pod úhlem 115°.

24 Příklady: 4) Sestrojte množinu všech bodů, z nichž je úsečka AB o délce 6 cm vidět pod úhly 55° a 125°.