Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka"— Transkript prezentace:

1 Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka
Out of topic Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka

2 Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně
V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

3 Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/
Khoo: Physiological Control Systems Analýza systémů na fyziologických příkladech usr:pwd biokyb:a6m33mos

4 výstup Přenos systému: Výstup/Vstup vstup

5 Systémy Spojité vs diskrétní Deterministické vs stochastické
Časově proměnné vs časově invariantní Nezávisí na tom, „kolik je hodin“ Kauzální vs nekauzální Kauzální systém závisí pouze na minulých a současných hodnotách Derivace je přirozeně NEKAUZÁLNÍM výpočtem Tato kauzalita nemá nic společného s tím, že je modelica „akauzální“ Lineární vs nelineární

6 Lineární systémy Lineární systém (soustava) je systém, v němž platí princip superpozice. To znamená, že za předpokladu, že platí: Aditivita (výstupem pro součet dvou signálů bude stejný, jako součet výstupů pro tyto signály jednotlivě) Homogenita (výstup pro násobek jiného vstupu bude roven stejnému násobku výstupu pro tento vstup): Tyto podmínky lze také zapsat jako jedinou:

7 Superpozice řešení průtoku elektrického proudu
skládání působení sil na hmotný bod je-li systém lineární a lze využít superpozice, je řešení takového systému často velmi jednoduché a jednoznačné. Chování takových systémů lze předpovědět i do budoucnosti.  Nelineární – nelze využít (např. dioda)

8 Linearizace Zvolím pracovní oblast (bod)

9 Linear time indiferent systems
Systémová analýza Linear time indiferent systems LTI

10 LTI systémy Matematicky elegantní vztahy mezi vstupy a výstupy
Lze určit výstupní odezvu na jakýkoli vstup Lze určit vstup při pozorování výstupu Čili: znám-li reakci na krátký vstup, mohu seskládat libovolný vstup a tím i libovolný výstup Nevytváří nové frekvenční složky, pouze zesiluje či potlačuje

11 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Pružný vak Vnější atmosferický tlak

12 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao L - Inertance Setrvačnost Odpor R- Rezistance PA Po C - Kapacitance Pružný vak Vnější atmosferický tlak

13 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao Pao Vstup L – Inertance R- Rezistance Výstup PA PA Po C - Kapacitance Vnější atmosferický tlak řesení

14 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
řesení ?

15 Logaritmické zrcadlo sčítání a odečítání násobení a dělení
sčítání a odečítání násobení a dělení Prostor obrazu umocňování /odmocňování Prostor originálu řesení

16 Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) L{ } L-1{ }
L{ } L-1{ } Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu řesení ?

17 Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze
- úloha v obraze Snadnější L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu řesení ?

18 Laplaceovo zrcadlo Derivování originálu Oblast komplexní proměnné (s)
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadné L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

19 Laplaceovo zrcadlo Derivování originálu Oblast komplexní proměnné (s)
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

20 Laplaceovo zrcadlo Derivování originálu Oblast komplexní proměnné (s)
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

21 Laplaceovo zrcadlo Integrování originálu Oblast komplexní proměnné (s)
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

22 Laplaceovo zrcadlo Linearita obrazu a originálu
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

23 Laplaceovo zrcadlo Posun originálu (zpoždění) = útlum obrazu
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadné L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

24 Laplaceovo zrcadlo Posun obrazu = útlum originálu
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadné L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

25 Laplaceovo zrcadlo Změna měřítka (podobnost)
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadné L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

26 Laplaceovo zrcadlo Příklady Wolfram Mathematica: Prostor obrazu
Originál: f(t) Obraz: F(s) 1 Wolfram Mathematica: Prostor obrazu …atd. Prostor originálu

27 Laplaceovo zrcadlo Příklady Prostor obrazu Prostor originálu
Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s) Prostor obrazu Prostor originálu

28 Laplaceovo zrcadlo Příklady Prostor obrazu Prostor originálu
Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s) Prostor obrazu Prostor originálu

29 Laplaceovo zrcadlo Příklady Prostor obrazu Prostor originálu
Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s) Prostor obrazu Prostor originálu

30 Laplaceovo zrcadlo Příklady Při nulových počátečních podmínkách:
Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s) Při nulových počátečních podmínkách: Prostor obrazu Prostor originálu

31 Laplaceovo zrcadlo Příklady Při nulových počátečních podmínkách:
Originál: f(t) Obraz: F(s) Při nulových počátečních podmínkách: Prostor obrazu Prostor originálu

32 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu řesení ?

33 PA(s)= LC s2 Pao(s) + RC s Pao(s) + Pao(s)
Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v obraze: PA(s)= LC s2 Pao(s) + RC s Pao(s) + Pao(s) Úloha v originále: Snadnější L{ } Řešení úlohy v obraze: snadné L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: ????????? nesnadné Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

34 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

35

36 Stejné výsledky Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1}

37 Stejné výsledky

38

39

40

41

42 Přenosová funkce poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách

43 Sestavení přenosové funkce
Vnější popis systému diferenciální rovnice přenos a poloha pólů a nul přenosu systému přechodová funkce impulsní funkce kmitočtový přenos Vnitřní popis systému (okamžitý stav) Stavový popis (stavové veličiny)

44 Sestavení přenosové funkce
Systém se vstupní u(t) a výstupní y(t) veličinou Laplaceova transformace Výsledný přenos

45 Paralelní kombinace přenosových funkcí
Prostý součet přenosů

46 Seriová kombinace přenosových funkcí

47 V záporné zpětné vazbě

48 V kladné zpětné vazbě

49 Přechodová charakteristika
Odezva na jednotkový (Haevisideův) skok časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

50 Impulsní charakteristika
Odezva na jednotkový (Diracův) impuls časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

51 Nuly, póly, zesílení Kořeny charakteristické rovnice:
Jsou v čitateli nuly (-n1..-nm) Jsou ve jmenovateli póly (-p1, … -pn) Zesílení je bm/an Např. Nuly 0, 0, -2, póly 0,0, -5, -6, -2, zesílení 3

52 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Otevřená smyčka Uzavřená smyčka k Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao L - Inertance Setrvačnost Odpor R- Rezistance PA Po C - Kapacitance Pružný vak Vnější atmosferický tlak

53 Přechodové odezva systému prvního řádu
Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0 k

54 Přechodové odezva systému prvního řádu na jednotkový impuls
Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0 k Otevřená smyčka Uzavřená smyčka 1

55 Přechodové odezva systému prvního řádu na jednotkový skok
Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0 k Otevřená smyčka Uzavřená smyčka

56 Přechodové odezva systému druhého řádu
Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Budeme uvažovat setrvačnost: k

57 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls
1 Budeme uvažovat setrvačnost: 4 typy chování

58 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls
1 Budeme uvažovat setrvačnost: 4 typy chování 1) Netlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Když R=0: Imaginární kořeny

59 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls
1 Budeme uvažovat setrvačnost: 4 typy chování 2) Tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L Otevřená smyčka Uzavřená smyčka C=0.1 L /cm H2O R=0.5 cm H2O/L Komplexně sdružené kořeny

60 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls
1 Budeme uvažovat setrvačnost: 4 typy chování 3) Kriticky tlumená odezva Otevřená smyčka Uzavřená smyčka dva stejné reálné kořeny

61 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls
1 Budeme uvažovat setrvačnost: 4 typy chování L=0.01 cmH2O s2/L 4) Přetlumená odezva Otevřená smyčka Uzavřená smyčka C=0.1 L /cm H2O R=1 cm H2O/L dva různé reálné kořeny

62 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový skok
(Podrobnosti viz kniha) 1) Netlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O 2) Tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O R=0.5 cm H2O/L 3) Kriticky tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L 4) Přetlumená odezva C=0.1 L /cm H2O R=1 cm H2O/L

63 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu

64 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu
X(s) X(s) k 1) Netlumená (undamped) odezva Impuls: Skok:

65 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu
X(s) X(s) k 2) Tlumená (underdamped) odezva Impuls: Skok: kde:

66 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu
X(s) X(s) k 3)Kriticky tlumená (underdamped) odezva Impuls: Skok:

67 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu
X(s) X(s) k 4)Přetlumená (overdamped) odezva Impuls: Skok:

68 Charakteristika odezvy na impuls

69 Charakteristika odezvy na skok

70 Zpětné vazby –proporcionální, integrační a derivační

71

72 Statická analýzy fyziologických systémů
Příklad Regulace srdečního výdeje

73 Regulace srdečního výdeje

74 Regulace srdečního výdeje
Na konci diastoly: Na konci systoly: Systolický objem: Minutový objem: Qc>=0

75 Regulace srdečního výdeje
Sympaticus - parasympaticus Diastolická dysfunkce

76 Regulace srdečního výdeje
Sympaticus - parasympaticus Diastolická dysfunkce Intrapleurální tlak

77 Regulace srdečního výdeje
Venózní návrat Mean systemic pressure Pms

78 Regulace srdečního výdeje
Venózní návrat Mean systemic pressure Pms CV=18 CA

79 Regulace srdečního výdeje
Uzavřená smyčka Sympatikus f Vasodilatace, RA venokonstrikce CV CA cvičení

80 Regulace srdečního výdeje
Uzavřená smyčka Sympatikus f Vasodilatace, RA venokonstrikce CV CA CS CD Vv VA cvičení infarkt

81 Viz http://www. physiome

82

83 Frekvenční analýza lineárních regulačních systémů

84 Studijní materiál Chapter 5
Frequency-Domain Analysis of Linear Control Systems

85 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Pružný vak Vnější atmosferický tlak

86 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao ∆ 𝑃 𝐿 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 L - Inertance Setrvačnost ∆ 𝑃 𝑅 =𝑅𝑄 Odpor R- Rezistance PA ∆ 𝑃 𝐴 Po C - Kapacitance Pružný vak Vnější atmosferický tlak ∆ 𝑃 𝐶 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡

87 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao Pao Vstup ∆ 𝑃 𝐿 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 L – Inertance ∆ 𝑃 𝑅 =𝑅𝑄 R- Rezistance Výstup PA PA ∆ 𝑃 𝑣 =∆ 𝑃 𝐿 +∆ 𝑃 𝑅 +∆ 𝑃 𝐶 ∆ 𝑃 𝐴 Po ∆ 𝑃 𝐴 = ∆𝑃 𝐶 C - Kapacitance 𝑃 𝑎𝑜 − 𝑃 𝑜 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 +𝑅𝑄+ 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 ∆ 𝑃 𝑣 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 +𝑅𝑄+ 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 Vnější atmosferický tlak ∆ 𝑃 𝐶 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝑜 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 ∆ 𝑃 𝐴 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 přenos

88 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Pao PA 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 přenos

89 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴

90 Stejné výsledky 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1}

91 𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1
Stejné výsledky

92 Budící vstup - 1 Hz Pao PA

93 Budící vstup - 3 Hz Pao PA

94 Budící vstup - 8 Hz Pao PA

95 Viz http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/

96 𝑥 𝑖 = 𝐴 𝑖 sin 𝜔𝑡 𝑥 𝑎 = 𝐴 𝑎 sin (𝜔𝑡+𝜑) 𝑋 𝑖 = 𝐴 𝑖 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑋 𝑎 = 𝐴 𝑎 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑) 𝑋 𝑎 𝑋 𝑖 =F 𝑗𝜔 𝑇 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 1 𝑋 ′ 𝑎 (𝜔𝑗) 𝑗𝜔 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 𝑋 𝑖 𝑗𝜔 𝑋 ′ 𝑎 (𝜔𝑗)=𝑗𝜔 𝐴 𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 =𝑗𝜔 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 𝑇𝑗𝜔 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 + 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑖 𝑗𝜔 (𝑇𝑗𝜔 +1) 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑖 𝑗𝜔 F 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑎 (𝑗𝜔) 𝑋 𝑖 (𝑗𝜔) = 𝑇𝑗𝜔

97 𝑇 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 1 F 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑎 (𝑗𝜔) 𝑋 𝑖 (𝑗𝜔) = 𝑇𝑗𝜔 𝑇 𝑥 𝑇 1 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 1 F 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑎 (𝑗𝜔) 𝑋 𝑖 (𝑗𝜔) = 𝑇 1 𝑗𝜔+ 𝑇 2 2 (𝑗𝜔) 2 𝑗𝜔=𝑠 F 𝑠 = 𝑋 𝑎 (𝑠) 𝑋 𝑖 (𝑠) = 𝑇 1 𝑠+ 𝑇 2 2 (𝑠) 2

98 𝐹 𝑠 = 𝑋 3 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) 𝑥 1 𝐹 1 𝑥 2 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 3 𝐹 1 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) 𝐹 2 𝑠 = 𝑋 3 (𝑠) 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 2 (𝑠)= 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝑋 3 (𝑠)= 𝐹 2 𝑠 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 3 (𝑠)= 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝑋 3 (𝑠)= 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝐹 𝑠 = 𝑋 3 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 2 𝑠 . 𝐹 1 𝑠

99 𝐹 𝑠 = 𝑋 4 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 1 𝑠 + 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 1 + 𝑥 4 𝑥 1 𝐹 1 +𝐹 2 𝑥 3 + 𝑥 3 𝐹 2

100 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹(𝑠) 1+𝐹(𝑠)
𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1+𝐹 𝑥 2 - 𝑥 2 𝑋 2 𝑠 =𝐹 𝑠 . 𝑋 0 (𝑠) 𝑋 0 𝑠 = 𝑋 1 𝑠 − 𝑋 2 𝑠 𝑋 2 𝑠 =𝐹 𝑠 . 𝑋 1 𝑠 − 𝑋 2 𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹(𝑠) 1+𝐹(𝑠)

101 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 1 1+ 𝐹 1 (𝑠) 𝐹 2 (𝑠)
𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1+ 𝐹 1 𝐹 2 - 𝐹 2 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 1 (𝑠) 𝐹 2 (𝑠) 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 0 1 1− 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 1 + 𝐹 2 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 1 1− 𝐹 1 (𝑠) 𝐹 2 (𝑠)

102 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1+𝐹 𝑥 2 - 𝑥 2 𝑥 1 𝐹 1 𝑥 2 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 1 𝑥 2 1 1+ 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 2 𝑥 1 - 𝐹 2 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1− 𝐹 1 𝐹 2 + 𝐹 2 Logaritmické vyjádření usnadní násobení

103 Logaritmické vyjádření usnadní násobení
𝑥 1 𝐹 1 𝑥 2 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 3 𝐹 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 * 𝐹 2 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 𝑒 𝑗 𝜑 1 𝜔 ∗ 𝐹 2 𝑗𝜔 𝑒 𝑗 𝜑 2 𝜔 Pro přenos pak platí: log 𝐹 𝑗𝜔 = log 𝐹 1 𝑗𝜔 + log 𝐹 2 𝑗𝜔 a: 𝜑 𝜔 = 𝜑 1 𝜔 + 𝜑 2 𝜔

104 Nyquistovy diagramy Viz též

105 Viz též http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/

106 Frekvenční charakteristika
biologického systému:

107 Frekvenční charakteristika biologického systému: Impulsní oscilometrie
Klinické vyhodnocení RLC parametrů dýchacího systému

108 Niquistovo kritérium stability
Frekvenční analýza rozpojeného regulačního obvodu Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

109 Niquistovo kritérium stability
Frekvenční analýza rozpojeného regulačního obvodu Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

110 Niquistovo kritérium stability
Frekvenční analýza rozpojeného regulačního obvodu Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

111 Bodeovy diagramy 𝐹 𝑗𝜔 = 𝑋 2 (𝑗𝜔) 𝑋 1 (𝑗𝜔) = 𝐹(𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜑 𝜔 poměr amplitud: 𝐹(𝑗𝜔) fáze přenosu: 𝜑 𝜔 ln 𝐹 𝑗𝜔 ln 𝐹(𝑗𝜔) +𝑗𝜑 𝜔 Amplitudové hodnoty jsou vyjádřeny v decibelech, což je dekadický logaritmus vstupního a výstupního signálu násobený dvaceti: 𝐹(𝑗𝜔) 𝑑𝑏 =20 log 10 𝐹 𝑗𝜔 dB Amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika Fázová logaritmická frekvenční charakteristika

112 Přenos členu prvního řádu:
F 𝑗𝜔 = 𝐾 0 1+𝑇𝑗𝜔 Amplitudová charakteristika: Fázová charakteristika: 𝐹 𝑗𝜔 𝑑𝑏 =20 log 𝐾 0 −20 log 1+𝑇𝑗𝜔 𝜑 𝜔 = arctg 𝜔𝑇 konstanta −20 log 1+𝑇𝑗𝜔 =−20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 𝜔≪ 1 𝑇 Když: 𝜔 2 𝑇 2 ≈0 20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 ≈20 log 1=0 𝜔= 1 𝑇 Když: 20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 =20 log 1=0 𝜔≫ 1 𝑇 Když: 20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 ≈ 20 log 𝜔 2 𝑇 2 =20 log 𝜔𝑇=20 log 𝜔+20 log 𝑇

113 𝝎≪ 𝟏 𝑻 𝝎≫ 𝟏 𝑻

114 Přenos členu druhého řádu:
Amplitudová charakteristika Fázová charakteristika

115 Kmitočtový přenos Z Eulerova vztahu: Vstupní funkce:
𝑢 𝑡 = 𝑢 0 sin 𝜔𝑡 ⁡ 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Výstup po ustálení: 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 sin 𝜔𝑡+𝜑 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝜑=𝜔 𝑡 0 𝑦 0 𝑢 0 𝜑 modul: argument: Kmitočtový přenos: H 𝑗𝜔 = 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑦 0 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜑 S 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) +j y0 𝜑=−𝜔 𝑡 0 u0 𝜔

116 Kmitočtový přenos S 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) +j y0 𝜑=−𝜔 𝑡 0 u0 𝜔
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 𝑡 + …+ 𝑎 1 𝑦 ′ 𝑡 + 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑚 𝑢 𝑚 𝑡 +…+ 𝑏 0 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦′ 𝑡 = 𝑗𝜔𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢′ 𝑡 = 𝑗𝜔𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦′′ 𝑡 = 𝑗𝜔 2 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢′′ 𝑡 = 𝑗𝜔 2 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦 (𝑛) 𝑡 = 𝑗𝜔 𝑛 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 (𝑚) 𝑡 = 𝑗𝜔 𝑚 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 Kmitočtový přenos: = 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 H 𝑗𝜔 = 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡

117 Kmitočtový přenos 0 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡< ∞
Kmitočnový přenos je také: podíl Furierova obrazu výstupní veličiny systému a Furierova obrazu vstupní veličiny (při nulových počátečních podmínkách systému a vstupního signálu) Aby funkce měla Furierův obraz, musí být absolutně integrovatelná, tj.: 0 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡< ∞ H 𝑗𝜔 = 𝑌(𝑗𝜔) 𝑈(𝑗𝜔) H 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 Obrazový přenos v Laplaceově transformaci: Kmitočtový přenos systému získáme z Laplaceovy transformace formální záměnou proměnných 𝑠→𝑗𝜔: H 𝑗𝜔 =𝐻 𝑠 | 𝑠=𝑗𝜔 = 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 Takže, když např. máme k dispozici kmitočtovou funkci, můžeme její Laplaceovou transformací získat kmitočtový přenos: H 𝑗𝑤 = 0 ∞ 𝑔 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡

118 Amplitudo-fázová kmitočtová charakteristika ve fázové rovině
𝐺 𝑗𝜔 =𝑃 ω +𝑗𝑄 𝜔 =𝑅𝑒 𝐺 𝑗𝜔 +𝑗 𝐼𝑚 𝐺(𝑗𝜔) 𝐺 𝑗𝜔 =A ω 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) = 𝐺(𝑗𝜔) +𝑗 𝐼𝑚 𝐺(𝑗𝜔) Im Re 𝜑( 𝜔 𝑖 ) 𝐺(𝑗 𝜔 𝑖 ) 𝑃( 𝜔 𝑖 ) Q( 𝜔 𝑖 ) 𝜔=0 A ω =𝑚𝑜𝑑 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑃 2 𝜔 + 𝑄 2 (𝜔) φ ω =𝑎𝑟𝑔 𝐺 𝑗𝜔 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑄(𝜔) 𝑃(𝜔)

119 Pao PA 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝐻 𝜔 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 (𝑗𝜔) 2 +𝑅𝐶𝑗𝜔+1

120 𝐻 𝜔 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 (𝑗𝜔) 2 +𝑅𝐶𝑗𝜔+1

121 Nejjednodušší model mechaniky dýchání
Otevřená smyčka Uzavřená smyčka 𝑃 𝑎𝑜 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 𝑃 𝐴 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝑃 𝑎𝑜 + 𝑃 𝐴 k 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao L - Inertance Setrvačnost 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 Odpor R- Rezistance 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 −𝑘 𝑃 𝐴 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 PA ∆ 𝑃 𝐴 Po C - Kapacitance Pružný vak 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+(1+𝑘) Vnější atmosferický tlak 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 Otevřená smyčka: 𝜆=1 Uzavřená smyčka: 𝜆>1

122 𝑃 𝑎𝑜 𝑃 𝐴 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝑃 𝑎𝑜 + 𝑃 𝐴 k

123 Kmitočtové charakteristiky v logaritmických souřadnicích
𝐻 𝑗𝜔 =𝐴(𝜔) 𝑒 𝑖𝜑(𝜔) ln H 𝑗𝜔 = ln 𝐴 𝜔 +𝑗𝜑 𝜔 = ln 𝐻(𝑗𝜔) +𝑗 arg 𝐻(𝑗𝜔) Logaritmická amplitudová charakteristika: ln 𝐻(𝑗𝜔) Logaritmická fázová charakteristika: 𝜑 𝜔 =𝑓(𝜔) (osa kmitočtu má logaritmické měřítko) Ve skutečnosti se užívá dekadický logaritmus pro osu úhlového kmitočtu 𝜔, tj. 𝑙𝑜𝑔 10 𝜔 A na osu pořadnic amplitudové charakteristiky se vynáší absolutní hodnota kmitočtového přenosu v decibelech: 𝐴 𝑑𝐵 = 𝐻 (𝑗𝜔) | 𝑑𝐵 =20 𝑙𝑜𝑔 10 𝐻 (𝑗𝜔) Výhoda: násobení přenosů v logaritmických souřadnicích přechází na sčítání.

124

125 Frekvenční analýza modelů fyziologických systíémů
Simulink

126 Frekvenční analýza modelů fyziologických systíémů

127 Frekvenční analýza modelů fyziologických systíémů


Stáhnout ppt "Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka"

Podobné prezentace


Reklamy Google