MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.

Prezentace na téma: "MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce."— Transkript prezentace:

1 MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
3. Limita funkce Derivace funkce Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady Lineární algebra pro udělení zápočtu bez zápočtového testu je nutno splnit současně: nejvýše 4 absence na cvičeních včetně omluvených absencí dostatečnou úspěšnost v průběžných testech klasifikace u zkoušky v řádném termínu je výsledkem procenta úspěšnosti na cvičeních a zkouškového testu. klasifikace u zkoušky v opravných termínech je výsledkem opravného testu. Pravděpodobné termíny zkoušky: termíny: , , termíny: , termín: vždy 8:30 – 10:30

2 body pro klasifikaci jsou tvořeny 70% za zkouškový test
Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 55%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku  je hodnocen známkou “4“ (neprospěl) Klasifikace u zkoušky řádný termín: Klasifikace u zkoušky opravné termíny: body pro klasifikaci jsou tvořeny 70% za zkouškový test 30% za procento úspěšnosti na cvičeních body pro klasifikaci jsou tvořeny 100% za opravný test klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1 klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1

3 Literatura. Dostálková I. Matematika 0, BF JU, Č. Budějovice,1992. Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky, 2008 Charvát J., Zhouf J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice, 2008 Hrubý D, Kubát J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet, 2008 Kočandrle M., Boček L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Funkce, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie, 2008 Internetové odkazy.

4 OPAKOVÁNÍ toho, co byste měli umět.
výroky, množiny operace s reálnými čísly absolutní hodnoty, relace mezi nimi Výroky, množiny. Výrok je sdělení, u něhož mohou nastat pouze 2 možnosti: pravda, nepravda. Množina je soubor prvků určité vlastnosti. Výroky. V1 je zataženo V2 prší Operace s výroky. je zataženo a současně prší  konjunkce  (V1  V2) = (V1 a V2) = (V1 and V2) je zataženo nebo prší  alternativa  (V1  V2) = (V1 nebo V2) = (V1 or V2) když je zataženo, prší  implikace  (V1  V2) zataženo je právě, když prší  ekvivalence  (V1  V2) neprší  negace  ( V1) = (V1’) = (not V1)

5 Tabulky pravdivostních hodnot.
V1 … mléko obsahuje vápník V2 … mléko obsahuje chlorofyl V1 ˄ V2 …mléko obsahuje vápník a chlorofyl Výrok je nepravdivý. V1 ˅ V2 …mléko obsahuje vápník nebo chlorofyl Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje chlorofyl, pak obsahuje vápník. Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje vápník, pak obsahuje chlorofyl. Výrok je nepravdivý.

6 Krávy létají jen tehdy, když kapr je savec.
Výrok je pravdivý. ¬ V1 … mléko neobsahuje vápník Výrok je nepravdivý. ¬ V2 … mléko neobsahuje chlorofyl Výrok je pravdivý. Příklad. Negace konjunkce výroků V1 a V2. (V1… je úterý, V2 … je 4.10.) tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1/  V2 / )  (V1  V2)/ p n Není pravda, že je úterý,  není úterý nebo není 4.10.

7 Příklad. Negace implikace mezi výroky V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1 ˄ V2 / )  (V1  V2)/ p n Není pravda, že jestliže je úterý, pak je  je úterý a není 4.10. Příklad. Negace ekvivalence mezi výroky V1 a V2.

8 Tabulka pravdivostních hodnot.
Exkluzivní disjunkce. Tabulka pravdivostních hodnot. V1 V2 V1  V2 P N V1 V2 V1  V2 (V1  V2) V2 P N Šifrování. Příklad - kryptografie: Vstupní text (V1): Klíč (V2): Výsledek XOR (V1 xor V2): – zašifrovaný text Na zašifrovaný text znovu použijeme klíč: Výsledek XOR: Klíč: A dostáváme vstupní text:

9 Množiny. Způsoby definice množiny M: M = {0, 2, 4, 6, 12} konečná množina zadaná výčtem prvků M = {0, 1, 2, 3, ...} nekonečná množina M = {x splňující určité vlastnosti} množina zadaná vlastnostmi prvků x  M x patří do množiny M 0  {0, 2, 4, 6, 12} x  M x nepatří do množiny M 1  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A je podmnožinou množiny M {0, 2}  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A není podmnožinou množiny M {1, 3} {0, 2, 4, 6, 12} Definice. Nechť A a B jsou množiny. Pak A  B právě, když pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Struktura definice. předpoklad (za jakých podmínek platí) závěr (čeho se definice týká)

10 A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A.
Příklad. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Z negace konjunkce plyne, že A ≠B právě, když (A není podmnožinou B) NEBO (B není podmnožinou A). Speciální množiny.  prázdná množina = množina neobsahující žádný prvek N množina přirozených čísel = {1, 2, 3, 4, ...} Z množina celých čísel = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Q množina racionálních čísel = {p/q, kde p Z, q  N } R množina reálných čísel = všechny “body přímky“. Kvantifikátory.  pro každý “pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B.“  existuje “existuje (alespoň jedno) číslo, které nepatří do množiny N.“ Poznámky.  prázdná množina {} množina obsahující 1 prvek, prázdnou množinu {x}  R jednoprvková množina je podmnožinou množiny reálných čísel x  R prvek množiny reálných čísel

11 Operace s množinami. Nechť A a B jsou množiny. Pak Průnik množin: A  B = {x; x A a současně x B }. Jestliže A B = , množiny se nazývají disjunktní. Sjednocení množin: A  B = {x; x A nebo x B }. Doplněk množiny A’ = {x; x  A} Rozdíl množin: A - B = {x; x A a současně x  B} A B AB = (A-B)(B-A)(AB), při tom (A-B)  (B-A) =  a současně (A-B)  (AB) =  a současně (B-A)  (AB) = . Říká se tomu disjunktní rozklad AB A-B AB B-A

12 Negace výroků. Příklady. V: Každý student umí malou násobilku.
Aspoň n …. je …(n >1) Nejvýše (n - 1) … je … Nejvýše n … je …(n >0) Aspoň (n+1) …. je … Každý … je… Nejvýše žádný … není… Existuje 1, který není Aspoň není Existuje 1 … je ... Aspoň 1 … je ... Žádný(každý) … není ... Nejvýše... 0 … je Příklady. V: Každý student umí malou násobilku. V: Nejvýše žádný student neumí násobilku. V/: Aspoň 1 student neumí násobilku. V/: Existuje student, který neumí násobilku. V: Existuje student, který umí malou násobilku. V: Aspoň 1 student umí násobilku. V/: Nejvýše 0 studentů umí násobilku. V/: Žádný (každý) student neumí násobilku. V: Aspoň 3 prvky patří množině A. V/: Nejvýše 2 prvky patří množině A. V: Nejvýše 3 prvky patří množině A. V/: Alespoň 4 prvky patří množině A.

13 Příklad. M A B C AC D AD AB = CB = DB = , množiny A, C, D jsou disjunktní s B D  C, současně však C  D, proto D  C.

14 Operace s reálnými čísly.
Nechť a, b, c  R. Sčítání a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a komutativní zákon asociativní zákon jednotkový prvek Násobení ab = ba (ab)c = a(bc) a.1 = a , a.(-1) = -a (a + b)c = ac + bc distributivní zákon Relace mezi reálnými čísly. ab > 0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x > -2)]  [(x < -1)  (x < -2)]  (x < -2)  (x > -1) ab < 0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x < -2)]  [(x < -1)  (x > -2)]  -2 < x < -1 ab = 0  (a = 0)  (b = 0) (x+1)(x+2)= 0  (x = -2)  (x = -1) a / b > 0, b  0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] a / b < 0, b  0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] a / b = 0, b  0  (a = 0) a > 0  - a < 0.

15 Pro které reálné r platí .
Příklad. 𝑟+2 𝑟−3 ≥0 Pro které reálné r platí 𝑟+2≥0  r−3>0  𝑟+2≤0  r−3<0  𝑟≥−2  r>3  [(r ≤ -2)  (r < 3)] (3, +∞) -2 3 (−∞, −2> 𝑟∈(−∞, −2>  (3, +∞)

16 Příklad. Pro která reálná r, s platí Příklad. Pro která reálná r, s platí

17 Intervaly. R = (-, + ) = {x; - < x < +  } (a, b) = {x  R; a < x < b } (a, b > = {x  R; a < x  b } Absolutní hodnoty. Nechť a  R. Absolutní hodnota čísla a je nezáporné číslo (| a |  0) definované takto: a, pro a  0 | a | = - a, pro a  0 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Rovnice má 2 řešení: x = 2 a x = 6.

18 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2 na množině <5, + ). Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Na množině <5, + ) má rovnice 1 řešení: x = 6. Příklad. Řešme nerovnici | x – 4 |  2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Nulový bod rozdělí reálnou osu na 2 intervaly: (- , 4 >, < 4, + ). x – 4 ≤ 0 pro x  (- , 4>, tedy | x – 4 | = 4 – x  2  2  x. Tedy x  (- , 4>  < 2, + ) = < 2, 4>. x – 4 ≥ 0 pro x  <4, + ), tedy | x – 4 | = x - 4  2  x  6. Tedy x  (- , 6 >  <4 , + ) = <4, 6 >. Řešením nerovnice je tedy interval < 2, 4>  <4, 6 > = <2, 6>.

19 Úpravy výrazů vycházející z předchozích pravidel.
Příklad. Upravte 𝑎−3 1+3𝑎 − 𝑎−4 1+4𝑎 = 𝑎−3 1+4𝑎 −(𝑎−4)(1+3𝑎) (1+3𝑎)(1+4𝑎) = 𝑎−3+4 𝑎 2 −12𝑎 −(𝑎−4+3 𝑎 2 −12𝑎 1+3𝑎)(1+4𝑎 = 𝐚 𝟐 +𝟏 𝟏+𝟑𝐚)(𝟏+𝟒𝐚 Nulou nelze dělit, proto 1+3𝑎≠0, 1+4𝑎 ≠0  𝑎 ≠− a současně 𝑎≠− 1 4  𝐚  {− 𝟏 𝟑 , − 𝟏 𝟒 }

20 Příklad. Upravte 𝑎−3 1+3𝑎 − 𝑎−4 1+4𝑎 :(1+ 𝑎−3 1+3𝑎 . 𝑎−4 1+4𝑎 = = 𝑎 𝑎)(1+4𝑎 : 1+3𝑎 1+4𝑎 + 𝑎−3 (𝑎− 𝑎)(1+4𝑎 = = 𝑎 𝑎)(1+4𝑎 𝑎)(1+4𝑎 𝑎 1+4𝑎 + 𝑎−3 (𝑎−4 = 𝑎 𝑎)(1+4𝑎 +(𝑎−3)(𝑎−4) = 𝑎 𝑎 2 = 𝑎 (1+ 𝑎 2 ) = 𝟏 𝟏𝟑 Nulou nedělíme, tedy 𝐚  − 𝟏 𝟑 , − 𝟏 𝟒 , protože (1+ 𝑎 2 ) > 0.