Základy statistické indukce

Základy statistické indukce
Pro stat.data hledáme vhodné pravděp. modely, odhadujeme hodnoty jejich parametrů či testujeme tvrzení o chování stat.veličin. Využíváme toho, že charakteristiky stat. dat (např. aritm.průměr) vykazují vlastnosti pravděpodobnostních rozdělení.

BODOVÉ ODHADY (tj. odhady jedním číslem) Tn (např. aritm.průměr či medián) je z dat získaný bodový odhad pro neznámý parametr q v pravděpodobnostním modelu pro sledovanou veličinu (např. pro střední hodnotu  v normálním rozdělení). Je to odhad nestranný  E(Tn)= q.

Zákony velkých čísel (chování bodových odhadů): Např. rel.čet. → pravděpodobnost Hod kostkou – sledujeme relativní četnost padnutí 6 1 5 6 4 2 3 … 0,00 0,33 0,25 0,20 0,17 0,14 0,13 0,11 0,10 0,18

Zákony velkých čísel (chování bodových odhadů): Např. rel.čet. → pravděpodobnost (zde π=0,15) Dotáza-ný č. 1 2 3 4 5 … 498 499 500 nezam.? (1-ano) rel.čet. nezam. 0,25 0,20 0,155 0,154 0,156

Zákony velkých čísel (pokračování ilustrace):

Zákony velkých čísel (chování bodových odhadů): Např. průměr → střední hodnotě (zde EX=3,5) Pořadí hodu 1 2 3 4 5 … 98 99 100 Hozeno Průměr 2.000 2.500 2.250 2.800 3.622 3.636 3.630

Zákony velkých čísel (pokračování ilustrace):

Zákony velkých čísel (pokr.-četnosti průměrů):

Centrální limitní věty (CLV) Popisují asymptotické (tj. v limitě, v praxi pro „dostatečně velký“ počet stat. dat) chování testových charakteristik Tn jakožto náhodných veličin. Např.

Důsledky ZVČ a CLV Čím větší výběr, tím větší pravděpodobnost, že je aritmetický průměr blízko stř.hodnoty. Čím větší výběr, tím větší pravděpodobnost, že je výběrový rozptyl blízko rozptylu. Čím větší výběr, tím větší pravděpodobnost, že je výběrová směr.odch. blízko směr.odch. Čím větší výběr, tím větší pravděpodobnost, že je relativní četnost blízko pravděpodobnosti.

Tabulka teoretických (neznámých a tudíž odhadovaných) parametrů a jejich nejvhodnějších (nestranných) odhadů: PARAMETR q JEHO BODOVÝ ODHAD Tn π = P(A) p = relativní četnost jevu A μ (střední hodnota) aritmetický průměr σ2 (rozptyl) výběrový rozptyl s2 =M2·n/(n-1)

Intervaly spolehlivosti
= intervalové odhady neznámého parametru (odhad pro , , 2,…), odvozují se z příslušné CLV spolehlivost = 1– = pravděpodobnost, že neznámá hodnota parametru je intervalem pokryta; nejčastěji volba 1– = 0,95 (95% I.S.)

Oboustranné intervaly spolehlivosti
Pro střední hodnotu μ při známém σ: Pro střední hodnotu μ při neznámém σ: kde n-1= počet stupňů volnosti (DF)

Pro střední hodnotu μ - vzorce:

Pro střední hodnotu μ („ručně“): Př. Dle věku osmi náhodně vybraných čtenářů dětského časopisu odhadněte střední věk čtenářů tohoto časopisu. Věky popořadě: 12, 14, 15, 12, 15, 14, 12, 15.

Pro střední hodnotu μ („ručně“): průměrný věk=109/8=13,625 M2= 1499/8–13,6252=1,734 s2=1,734·8/7=1,982 s=1,982=1,408 t 0,975 (7)=2,365 dolní mez=13,625–2,365·1,408/√8=12,448 horní mez=13,625+2,365·1,408/√8=14,802

Pro střední hodnotu μ (pomocí Excelu):

Pro střední hodnotu μ (pomocí Excelu): dolní mez: 13,625-1,177= =12,448; horní mez: 13,625+1,177= =14,802

Pro střední hodnotu μ (odpověď): S 95% spolehlivostí je střední věk čtenářů daného časopisu z rozmezí 12,448 až 14,802 roku. Zpřesnění odhadu (tj. zúžení IS)? a) zvýšit n (=změna dat); b) snížit spolehlivost (data stejná); c) snížit variabilitu (=změna populace).

Ilustrace vlivu zvýšení n (viz ZVČ):

Pro neznámý rozptyl σ2: Pro pravděpodobnost π:

Pro pravděpodobnost π (vzorec):

Pro pravděpodobnost π (ručně): Př. Dle odpovědí 12 dotazovaných, zda jsou nezaměstnaní, odhadněte s 90% spolehlivostí podíl nezaměstnaných v dané populaci. Data: mezi 12 tázanými byli 3 nezaměstnaní

Pro pravděpodobnost π (ručně): n=12; p=3/12=0,250; u0,95=1,645 dolní mez = = 0,250 –1/24 –1,645·(0,25·0,75/11) = = 0,250 – 0,256 = -0,006; horní mez = 0, ,256 = 0,506

Pro pravděpodobnost π (ručně): Odpověď: S 90% spolehlivostí tvoří ne-zaměstnaní 0 % až 50,6 % populace (?) Zde nutné zpřesnění odhadu (zúžení IS): a) zvýšením n (mnohem víc tázaných); b) snížit spolehlivost.

Pro pravděpodobnost π (ručně): Př. pokračování (obvyklý problém): V úloze s nezaměstnaností odhadněte předem potřebný počet tázaných k tomu, aby celková šířka výsledného intervalu spolehlivosti nepřesáhla 10 %.

Pro pravděpodobnost π (ručně): Předpoklady: n … nyní neznáme; p … zřejmě bude opět cca 0,250 kvantil bude opět u0,95=1,645

Pro pravděpodobnost π (ručně): Chceme, aby výsledný IS měl tvar: 0,25–0,05=0,20 (dolní mez) až 0,25+0,05=0,30 (horní mez) – tak je celková šířka IS právě 10 %; tudíž musí platit: 1/(2n)+1,645·[0,25·0,75/(n-1)] = 0,05

Pro zjednodušení předpokládejme, že 1/(2n)=0 (n bude velké), řešíme pak: 1,645·[0,25·0,75/(n-1)] = 0,05 |:1,645 [0,1875/(n-1)] = 0, | 2 0,1875/(n-1) = 0, |·(n-1) 0,1875 = 0,0009·(n-1) |:0,0009 203 = n |+1 n = (=odhad rozsahu průzkumu)

Jednostranné intervaly spolehlivosti
 hledáme jen jednu z obou mezí Princip: dle zadání úlohy hledáme jen dolní či jen horní mez podle „oboustranného“ vzorce s tou změnou, že výraz 1-α/2 ve vzorci nahradíme výrazem 1-α. Příklad: Odhadněte horní hranici nezaměstnanosti. Řešení: Určujeme p+1/(2n)+u1-α√[p(1-p)/(n-1)]. (Konkrétní úlohy viz Sbírka úloh.)

Základy statistické indukce

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Základy statistické indukce"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář

Přihlásit se

Přihlásit se přes sociální síť:

Základy statistické indukce

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Základy statistické indukce"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář