Derivace funkce Přednáška 2.

Prezentace na téma: "Derivace funkce Přednáška 2."— Transkript prezentace:

1 Derivace funkce Přednáška 2

2 Směrnice sečny funkce f procházející body [a,f(a)] a [b,f(b)]
poměrná diference s diferenčním krokem h=b-a Směrnice tečny k funkci f v bodě [a,f(a)]

3 Derivace funkce v bodě x0
Nechť f je definována v nějakém , potom pokud existuje vlastní nebo nevlastní nazveme ji derivací funkce f v bodě Označení Ekvivalentní zápis

4 Derivace zprava a zleva
derivace v bodě existuje, pokud existují jednostranné derivace v bodě a mají stejnou hodnotu. Lokální pojem Globální pojem

5 Příklad Jednostranné derivace funkce f(x)=|x|, kde x0 =0
Derivace funkce f(x)=|x| v x0 =0 neexistuje

6 Derivace funkce xn

7 Derivace základních funkcí
k je konstanta

8 Vlastnosti derivace Pokud funkce mají v bodě x vlastní derivaci, potom také má v bodě x vlastní derivaci a platí

9 Příklad Zderivujte funkci

10 Příklad Zderivujte funkci

11 Derivace složené funkce
Jestliže funkce je diferencovatelná v bodě a funkce f je diferencovatelná v bodě , potom složená funkce , je diferencovatelná v bodě x a platí: Derivace vyšších řádů

12 Příklady Zderivujte funkci Spočtěte druhou derivaci funkce

13 Ekonomický význam derivace
Průměrný poměr změny funkce f(x) Okamžitý poměr změny funkce f(x)

14 l’Hospitalovo pravidlo
Nechť f a g jsou spojité na nějakém okolí bodu c a nechť nebo Potom Rovnice tečny Má-li funkce v bodě x=a derivaci, potom tečna ke grafu funkce y=f(x) s dotykovým bodem A=[a,f(a)] má analytické vyjádření y- f(a)= f(a)´(x-a).

15 Příklad Najděte rovnici tečny grafu funkce
f: y = ex - e-x v bodě T[0,?].

16 Elasticita funkce Elasticita funkce f(x) je číslo, které udává míru schopnosti závisle proměnné reagovat na změny nezávisle proměnné x. Elasticita funkce f(x) v bodě x je číslo E(x), které udává poměr procentuální změny závisle proměnné y k jednoprocentuální změně nezávisle proměnné x

17 Elasticita funkce poptávky

18 Mezní příjmy a mezní náklady
Celkový příjem TR(Q) Mezní příjem MR(Q)= TR`(Q) Celkové náklady TC(Q) Mezní náklady MC(Q)= TC`(Q)

19 Extrémy funkce na množině
Definice: Funkce f nabývá na množině M svého maxima Funkce f nabývá na množině M svého minima Funkce f nabývá na množině M ostrého maxima Funkce f nabývá na množině M ostrého minima

20 Základní vlastnosti spojitých funkcí
Vlastnost: Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu , potom f je omezená na Vlastnost: Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu , potom f nabývá maxima (minima) v Vlastnost: Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu a nechť a (resp a ) , potom existuje bod , že

21 vztah vlastní derivace a spojitosti funkce
Jestliže funkce f má vlastní derivaci v bodě , potom funkce f je v tomto bodě spojitá. Definice:Řekneme, že funkce f, definovaná na nějakém okolí bodu , má v bodě c ostré lokální maximum (ostré lokální minimum), jestliže

22 Vlastnosti lokálních extrémů a derivace
Vlastnost I.: Má-li funkce f v bodě c lokální extrém a existuje-li , pak Vlastnost II.: Jestliže a jestliže , potom má funkce f v bodě c ostrý lokální extrém. A to pro ostré lokální minimum, resp. pro ostré lokální maximum. Vlastnost III.: Nechť a Jestliže n je sudé, potom f má v bodě c ostrý lokální extrém a to ostré lokální maximum v případě, že nebo ostré lokální minimum v případě, že Jestliže n je liché, potom v c lokální extrém nemá.

23 Jak této vlastnosti využít ke zjišťování extrémů funkce f?
Vyšetříme definiční obor funkce Funkci f zderivujeme Derivaci položíme rovnu 0 Nalezneme všechna x, pro která je splněna rovnice Podezřelé body z extrému Nalezneme druhou derivaci funkce f a podezřelé body z extrému dosadíme do druhé derivace funkce f Extrém nastává v těch bodech, ve kterých je druhá derivace funkce f nenulová Rozhodneme, zda se jedná o lokální maximum či lokální minimum

24 Příklad 1 Nalezněte lokální extrémy funkce

25 Příklad 2 Zjistěte, zda funkce má v bodě lokální extrém, a jaký.
Lokální minimum

26 Extrémy funkce na intervalu I
Funkce definovaná na intervalu I může mít extrémy: Ve vnitřních bodech intervalu I, v nichž je derivace nulová, Ve vnitřních bodech intervalu I, v nichž první derivace neexistuje, V bodech, které jsou krajní body intervalu I (pokud I je uzavřený nebo polouzavřený interval)

27 Vztah derivace funkce a monotonie funkce
Vlastnost IV.: Buď f definovaná na intervalu I a Je-li pro , pak funkce f je rostoucí na Je-li pro , pak funkce f je klesající na

28 Jak vyšetřit intervaly monotonie
Jak vyšetřit intervaly monotonie? A mohu zjistit při vyšetřování intervalů monotonie lokální extrémy funkce f? Určíme definiční obor funkce f Funkci f zderivujeme Derivaci položíme rovnu 0 Nalezneme všechna x, pro která je splněna rovnice Tyto body rozsekají definiční obor funkce na menší intervaly V každém z těchto intervalů vezmeme libovolný vnitřní bod a dosadíme ho do předpisu první derivace funkce f. Pokud je hodnota první derivace funkce f v tomto vnitřním bodě kladná, pak je funkce f rostoucí na celém tomto intervalu Pokud je hodnota první derivace funkce f v tomto vnitřním bodě záporná, pak je funkce f klesající na celém tomto intervalu V krajních bodech intervalů monotonie, ve kterých se funkce mění z rostoucí na klesající nastává lokální maximum V krajních bodech intervalů monotonie, ve kterých se funkce mění z klesající na rostoucí nastává lokální minimum

29 Příklad 3 Vyšetřete intervaly monotonie funkce

30

31 Konvexní a konkávní funkce
Definice: Řekneme, že funkce f je na intervalu I ryze konvexní leží pod spojnicí bodů konvexní leží pod nebo na spojnici bodů ryze konkávní leží nad spojnicí bodů konkávní leží nad nebo na spojnici bodů

32 Vztah intervalů konkavity a konvexity funkce a derivace funkce
Vlastnost: Nechť funkce f je spojitá na intervalu a nechť , potom funkce f je ryze konvexní na Jestliže funkce f je spojitá na intervalu a nechť , potom funkce f je ryze konkávní na

33 Jak najít intervaly konkavity a konvexity?
Vyšetříme definiční obor funkce f Nalezneme druhou derivaci funkce f Nalezneme všechna x, pro která je splněna rovnice Tyto body rozsekají definiční obor funkce na menší intervaly V každém z těchto intervalů vezmeme libovolný vnitřní bod a dosadíme ho do předpisu druhé derivace funkce f. Pokud je hodnota druhé derivace funkce f v tomto vnitřním bodě kladná, pak je funkce f konvexní na celém tomto intervalu Pokud je hodnota druhé derivace funkce f v tomto vnitřním bodě záporná, pak je funkce f konkávní na celém tomto intervalu

34 Příklad Nalezněte intervaly, v nichž je funkce konvexní a konkávní.

35 příklad

36 Inflexní bod Definice: Nechť existuje .
Řekneme, že funkce f má v bodě c inflexi (c je bodem inflexe funkce f ), jestliže a tak, že f je konkávní (resp. konvexní) v a konvexní (resp. konkávní) v Vlastnost I. : Jestliže a c je bodem inflexe, potom Vlastnost II. : Jestliže a , potom má funkce f v bodě c inflexi.

37 Asymptoty grafu funkce
Definice : Přímku p nazveme asymptotou grafu funkce f(x), jestliže limita vzdálenosti bodu [x,f(x)]grafu funkce od přímky p je nula. Vlastnost: Přímka o rovnici x=a je svislou asymptotou grafu funkce f(x), právě když nastává alespoň jedna ze čtyř možností: nebo

38 Šikmá asymptota grafu funkce
Přímka o rovnici y=kx+q je šikmou asymptotou grafu funkce f(x), právě když nastává alespoň jedna ze dvou možností: a zároveň nebo

39 Příklad:Určete asymptoty ke grafu funkce f: y = x2(x - 2)-1
Šikmá asymptota

40 Výpočet q

41 Svislá asymptota

42 Užití derivace k minimalizaci průměrných nákladů a maximalizaci celkových příjmů
Průměrné náklady Lokální extrém Množství Q0, které zaručuje minimální průměrné náklady, je hodnota, ve které se mezní náklady vyrovnají průměrným nákladům.

43 Maximalizace zisku Funkce zisku Hledání lokálního maxima
Množství Q0, ve kterém dochází k maximalizaci zisku je hodnota, ve které se mezní náklady rovnají mezním příjmům.

44 Funkce více proměnných

45 Funkce více proměnných
Bod v rovině Bod v Graf funkce v plocha Graf funkce v Vzdálenost dvou bodů v rovině

46 Graf konstantní funkce

47 Graf funkce f(x,y)=x

48 Graf funkce f(x,y)=y

49 Graf funkce f(x,y)=x+y

50 Graf funkce f(x,y)=x2

51 Graf funkce f(x,y)=y2

52 Graf funkce f(x,y)=y2+ x2

53 Graf funkce f(x,y)=sinx

54 Graf funkce f(x,y)=siny

55 Graf funkce f(x,y)=sinx+siny

56 Graf funkce f(x,y)=sin(x+y)

57 Graf funkce f(x,y)=sinx.siny

58 Graf funkce f(x,y)=x.y

59 Graf funkce f(x,y)=x.siny

60 Co se stane, když jedna proměnná bude neměnná?

61 Parciální derivace podle x
Proměnnou y zafixuji . Pak f(x,y)=φ(x) Parciální derivace funkce f(x,y) podle x v bodě A=[x0, y0 ] je směrnice tečny ke grafu funkce φ(x) v bodě A=[x0, y0 ]

62 Parciální derivace podle y
Proměnnou x zafixuji . Pak f(x,y)=ψ(y) Parciální derivace funkce f(x,y) podle y v bodě A=[x0, y0] je směrnice tečny ke grafu funkce ψ(y) v bodě A=[x0, y0]

63 Derivace funkce více proměnných
Definice: Derivací funkce v bodě nazveme vektor parciálních derivací této funkce v bodě A . Nazývá se také gradient funkce. Geometricky- směr největšího růstu funkce f v okolí bodu A Definice: Funkce se nazývá hladká v bodě A, jestliže všechny parciální derivace v bodě A existují a jsou spojité.

64 Příklad Vypočtěte parciální derivace podle obou proměnných funkce

65 Parciální derivace vyšších řádů
smíšené derivace Vlastnost: Pokud jsou smíšené derivace ( , ) spojité funkce v bodě potom platí =

66 Příklad Vypočtěte druhé parciální derivace funkce

67 Užití v mikroekonomii Funkce užitku
je mezní užitek spotřebního statku x1 a udává, jak se změní užitek v důsledku jednotkové změny prvního spotřebního statku při nezměněné úrovni druhého spotřebního statku je mezní užitek spotřebního statku x2 a udává, jak se změní užitek v důsledku jednotkové změny druhého spotřebního statku při nezměněné úrovni prvního spotřebního statku

68 Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných
Definice: V bodě nastává maximum funkce vzhledem k množině M, platí-li

69 Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných
V bodě nastává minimum funkce vzhledem k množině M, platí-li pro všechna

70 Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných
Značíme Pokud množina globální extrémy Pokud množina nebo ………lokální extrémy Body z , v nichž může nastat extrém funkce f, budeme nazývat stacionární body

71 Nutná podmínka pro extrém
Jestliže funkce má v bodě extrém, potom pro každé platí buď nebo neexistuje.

72 Postačující podmínka pro lokální extrém
Jestliže funkce má v bodě pro každé f má spojitou druhou derivaci v bodě a pak má funkce v bodě lokální extrém.

73 A to lokální maximum, jestliže
v bodě , lokální minimum, jestliže

74 Sedlový bod Jestliže nemá funkce v bodě
lokální extrém, bod se nazývá sedlovým bodem. Funkce f(x,y)=x2-y2

75 Příklad Nalezněte lokální extrémy funkce stacionární bod Sedlo v

76 Příklad Nalezněte lokální extrémy funkce stacionární body lok. max
Lok.min Lok.max

77 graf

78 Globální extrémy funkce více proměnných na kompaktní množině
Kompaktní množina-omezená a uzavřená množina. Extrémy mohou nastat : v bodech, ve kterých jsou všechny první parciální derivace rovny nule v bodech, ve kterých některé parciální derivace neexistují a zbývající první parciální derivace rovny nule v hraničních bodech definičního oboru. Z těchto podezřelých bodů vybereme ty s největší (nejmenší) funkční hodnotou. V těchto bodech nastává globální maximum (minimum).