Geometrické modelování

Prezentace na téma: "Geometrické modelování"— Transkript prezentace:

1 Geometrické modelování
KMA / GS2 F. Ježek

2 Obsah Cíle geometrického modelování
Tvorba a popis tvarově složitých objektů Bézierovy objekty B-spline NURBS Coonsovy pláty Objemové modelování Booleovské modelování – CSG strom Popis pomocí hranice – B-Rep Variační geometrie

3 Cíle geometrického modelování
Tvarová volnost – design, styling Datový popis společný pro CAD (konstrukce) a CAE (výpočty), CAM (příprava výroby) atd. Idea izogeometrické analýzy – společný popis objektů pro tvorbu objektu (modelu) a pro výpočty (metoda konečných prvků)

4 Tvarově složité objekty
Spline – posloupnost (matice) bodů, parametrizace, okrajové podmínky. Bézierovské objekty – lomená čára (síť) jako řídící útvar, globální popis, datová komprese. B-spline – bézierovský popis splinu, segmentace. NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) – B-spline v projektivním rozšíření, váhy, základem jsou pak racionální lomené funkce. Coonsovy pláty – „záplaty“ pro drátěný model (je dán systémem křivek na ploše)

5 Definice Bézierových křivek
Křivky určené řídícím polygonem (lomenou čárou) Myšlenka volného tváření tvarově složitých objektů (lodě, automobily, letadla, umění) Vznik u Renaultu (P. Bézier), Citroenu (de Casteljau)

6 Definice Bézierových křivek
Dáno: řídící polygon (lomená čára) Bézierova křivka Bernsteinovy polynomy (bázové funkce)

7 Bernsteinovy polynomy

8 Algoritmus de Casteljau

9 Definice Bézierových ploch
Dáno: řídící síť Bézierova plocha maticově

10 Algoritmus de Casteljau
Realizace po křivkách

11 Algoritmus de Casteljau
Realizace po plochách

12 B-spline Nevýhody Bézierových křivek a ploch Podstata B-spline:
Globální mimika Polynomy vysokého stupně (stupeň určuje počet stran řídícího polygonu) Problém s popisem uzavřených křivek Podstata B-spline: Bézierův popis (řídící lomená čára), ale segmentace křivky Volitelný stupeň a parametrizace

13 Definice B-spline křivky
Dáno: Řídící lomená čára Stupeň křivky Parametrizace Definice

14 B-spline – změna stupně
Uniformní parametrizace (0,…,0,1,2,….,s,….,s). s – počet segmentů křivky. Číslo 0 a s se opakuje m krát. Pro uniformní parametrizaci a m=n přechází B- spline na Bézierovu křivku.

15 Posunutí vrcholu U křivky s nižším stupněm je změna tvaru způsobená změnou polohy vrcholu řídícího polygonu lokalizována, tedy redukuje se na několik oblouků křivky.

16 Vlastnosti B-spline křivek
Podmínka konvexního obalu se lokalizuje – segment křivky stupně m leží v konvexním obalu m+1 vrcholů řídícího polygonu. Generování bodů B-spline křivky je možné provést algoritmem de Boorovým. Podstata je podobná jako u algoritmu de Casteljau, ale dělící poměr není konstantní (je odvozen z vektoru parametrizace).

17 Podmínka konvexního obalu

18 Racionální specializace - NURBS
Nevýhody B- spline: Pomocí B- spline lze modelovat jen objekty, které mají po částech polynomiální vyjádření. „Neparabolické“ kuželosečky a kvadriky nemají B-spline popis, tedy kružnice, elipsy, hyperboly a jejich oblouky nelze reprezentovat pomocí B-spline. NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline NURBS je B-spline v projektivním rozšíření prostoru, tedy v prostoru využívajícím homogenní souřadnice. Homogenizující složka souřadnic bodů se nazývá váha

19 NURBS plocha

20 Změna váhy vrcholu řídícího polygonu
Změna váhy může být z fyzikálního hlediska chápána jako změna tuhosti pružiny, která „vtahuje“ křivku do daného bodu.

21 Kružnice Kružnici lze popsat přesně pomocí NURBS. Nastavení váhy pro oblouk kružnice: kde je polovina středového úhlu daného oblouku.

22 Určení NURBS plochy Řídící síť Stupně v daných proměnných
Vektory parametrizace Váhy vrcholů

23 Modifikace NURBS objektu

24 Konstrukce z vrstevnic

25 Konstrukce z vrstevnic

26 Křivosti plochy - analýza

27 Křivosti plochy - analýza

28 Vytváření ploch Interpolace - matice bodů (mračno bodů)
Aproximace - matice bodů (mračno bodů) Kinematický popis translační, rotační, šroubové, swung (zobecnění rotačních ploch) - profilová křivka je umísťována její rotací na vodící křivku, skinned (loft) - sled křivek sweep - nemusí jít o NURBS, profil vedený až po třech trajektoriích.

29 Swung

30 Loft (skinned)

31 Sweep

32 Sweep

33 Vlastnosti NURBS Generování NURBS je projektivně (nikoliv jen afinně) invariantní NURBS objekty se staly jednotícím objektem (jednotná datová reprezentace) CAD a CAM systémů Moderní CAD systémy používají různých výtvarných principů (sweep, blend apod.), ale vnitřně objekty realizují jako NURBS NURBS nejsou ovšem řešením všech problémů CAD a CAM– např. ekvidistanta k NURBS objektu nemusí být již NURBS objektem

34 Označení

35 Typy Coonsových ploch Přechodová plocha – lofting Je určena dvěma křivkami Bilineární Coonsův plát Je určena čtyřmi okrajovými křivkami (křivočarým čtyřúhelníkem) Bikubický Coonsův plát Je určena čtyřmi okrajovými křivkami (křivočarým čtyřúhelníkem) Dvanáctivektorový Coonsův plát Je určena čtyřmi rohovými body a tečnými vektory parametrických křivek v nich (tj. vektory parciálních derivací v rozích plátu) Šestnáctivektorový Coonsův plát Je určena čtyřmi rohovými body, tečnými vektory parametrických křivek v nich (tj. vektory parciálních derivací v rozích plátu) a twisty v rozích plátu (tj. vektory druhých smíšených parciálních derivací v rozích plátu)

36 Přechodová plocha (lofting)
Dáno: dvě křivky parametrizované nad shodným intervalem Rovnice plochy Maticové vyjádření

37 Příklad přechodové plochy

38 Bilineární Coonsův plát
Dáno: čtyři křivky parametrizované nad intervalem <0,1> Rovnice plochy v maticovém tvaru

39 Vlastnosti bilineárního plátu
Pokud jsou protější dvě strany bilineárního plátu přímky, jsou i příslušné parametrické křivky přímkami. Pokud jsou protější dvě strany bilineárního plátu přímky, splývá bilineární plát s přechodovou plochou zkonstruovanou pro zbývající dvě okrajové křivky.

40 Bikubický Coonsův plát
Dáno: čtyři křivky parametrizované nad intervalem <0,1> Rovnice plochy v maticovém tvaru

41 Vlastnosti bikubického plátu
Bikubický plát zajišťuje plátování Pro dva pláty, které mají společnou hraniční křivku a jejich hraniční křivky navazují alespoň v první třídě geometrické spojitosti, je automaticky zajištěna i taková spojitost pro příslušné parametrické křivky. Tedy: sousední pláty mají podle společné křivky společné tečné roviny. Tedy: společná hraniční křivka netvoří na výsledném modelu vizuální hranu Twisty (druhé smíšené parciální derivace) v rozích bikubického Coonsova plátu jsou nulové

42 Plátování

43 Dvanáctivektorový Coonsův plát
Dáno: polohové vektory čtyři rohových bodů plátu čtyři tečné vektory (v 1. směru) v rohových bodech čtyři tečné vektory (v 2. směru) v rohových bodech

44 Dvanáctivektorový Coonsův plát
Rovnice plochy v maticovém tvaru

45 Vlastnosti dvanáctivektorového plátu
Okrajovými křivkami dvanáctivektorového plátu jsou Fergusonovy kubiky Dvanáctivektorový plát je bikubickým plátem pro okraje určené těmito Fergusonovými kubikami Tedy: dvanáctivektorový plát zajišťuje automaticky plátování Dvanáctivektorový plát se nazývá také Fergusonův plát

46 Šestnáctivektorový Coonsův plát
Dáno: polohové vektory čtyři rohových bodů plátu čtyři tečné vektory (v 1. směru) v rohových bodech čtyři tečné vektory (v 2. směru) v rohových bodech čtyři twisty v rohových bodech

47 Šestnáctivektorový Coonsův plát
Rovnice plochy v maticovém tvaru

48 Vlastnosti šestnáctivektorového plátu
Okrajovými křivkami plátu jsou Fergusonovy kubiky Šestnáctivektorový plát je základem pro generování spline ploch, tj. ploch, jejichž parametrické křivky jsou spline křivkami

49 Příklad Určete bilineární Coonsův plát pro okraj daný obrázkem 1 2

50 Příklad Určete bilineární Coonsův plát pro okraj daný obrázkem
1 2 čtvrtkružnice Určete bilineární Coonsův plát pro okraj daný obrázkem

51 Řešení (srovnání bilineárního a bikubického plátu)
Bilineární plát Bikubický plát

52 Vytváření geometrické informace
Kreslení (drafting) Modelování uchopováním na mřížce (grid snap) Modelování uchopováním na objektech (object snap) Modelování použitím geometrických vazeb (geometric constraits) Parametrické modelování (parametric modeling, parametric constraints) Dosazovací příkaz Rovnice Nerovnice, algoritmy

53 Od statické k variační geometrii
Popis geometrie objektu (topologická i metrická informace) Popis skicy (topologická informace) Kóta (vizualizace metrické informace) Kóta (doplnění nebo změna metrické informace) Klasické (statické) geometrické modelování Variační (parametrické) geometrické modelování

54 Chyzův graf Ohodnocený a orientovaný graf topologických a metrických vztahů v útvaru. Uzly: body, úsečky Pro lomenou čáru: objekt je dobře dimenzován, jestliže do uzlu grafu vstupují dvě orientované hrany grafu. Problém trojúhelníka zadaného třemi úhly (studium invariantů)

55 Chyzův graf - ukázka D1 D6 D3 D2 D5 D4 U1 r r k k umístění