Stáhnout prezentaci
Prezentace se nahrává, počkejte prosím
ZveřejnilDanuše Doležalová
1
Reálná funkce reálné proměnné Přednáška č.1
2
Požadavky ke zkoušce Na http://fse.ujep.cz/~simsova/ http://fse.ujep.cz/~simsova/ Tamtéž studijní literatura
3
Studijní okruhy Matematická analýza: limita funkce derivace funkce primitivní funkce(integrály) funkce více proměnných Lineární algebra: Matice Soustavy lineárních rovnic
4
Co budete nejvíce potřebovat z matematiky ze střední školy? Práce se zlomky Práce s mocninami a odmocninami Úpravy algebraických výrazů Řešení lineárních, kvadratických, exponenciálních a logaritmických rovnic Pojem funkce a její vlastnosti
6
Množiny a kvantifikátory kvantifikátory Řecká abeceda
7
Reálná funkce reálné proměnné Zobrazení Reálná funkce reálné proměnné je zobrazení, kde Proměnná (argument funkce, nezávisle proměnná) x Funkční hodnota (závisle proměnná) y = f(x) Definiční obor funkce f Obor hodnot funkce f
8
Graf funkce Graf funkce Průsečík dvou funkcí f a g, taková x,pro která f(x)=g(x)
9
Různé způsoby zadání funkce Funkční předpis Funkční předpis je dán několika vzorci Výčtem funkčních hodnot
10
Určení D f a H f z grafů funkcí
11
Vlastnosti některých funkcí Rovnost dvou funkcí Sudá funkce Lichá funkce Periodická funkce Omezená(ohraničená) funkce Zdola omezená(ohraničená) funkce Shora omezená(ohraničená) funkce
12
Inverzní funkce Inverzní funkce k funkci f Označuje se f -1 Existuje pouze k prosté funkci D f -1 =H f H f -1 =D f
13
Monotónní funkce Rostoucí funkce na intervalu J D f Klesající funkce na intervalu J D f Neklesající funkce na intervalu J D f Nerostoucí funkce na intervalu J D f
14
Absolutní(globální) extrémy Absolutní (globální) maximum Absolutní(globální) minimum Funkce nemusí nabývat svého minima resp. maxima
15
Složená funkce Složená funkce f…vnitřní funkce g…vnější funkce Příklad: složená funkce h(x)=sinx 2 vnitřní funkce f(x)=x 2 vnější funkce g(x)=sinx
16
Funkce poptávky Vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku, který je na trhu a množstvím výrobků, které jsou spotřebitelé ochotni zakoupit Zákon poptávky: s rostoucí cenou poptávané množství klesá Vždy klesající funkce Popisuje reálnou situaci Navíc tyto veličiny nemohou růst neomezeně Nejčastěji lineární nebo kvadratická funkce
17
Funkce nabídky Vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku p a množstvím výrobků, které je výroba připravená vyrobit Zákon nabídky: Výrobce se snaží vyrobit tím víc výrobků, čím vyšší je jejich cena. Rostoucí funkce, Závislost: lineární, kvadratická, exponenciální, logaritmická….
18
Rovnováha trhu Situace, kdy se množství výrobků žádané obyvatelstvem je rovno množství výrobků, které jsou k dispozici na trhu. Rovnovážná cena Rovnovážné množství
19
Další funkce Nákladová funkce C(Q) Výnosová funkce R(Q)=p.Q Zisková funkce Z(Q)=R(Q)-C(Q)
20
Limita a spojitost funkce
21
Nové pojmy Pojem- libovolně malé, libovolně blízko neomezeně velké, rostoucí nad všechny meze
22
Počítání s nevlastními body Nevlastní body Sčítání Odčítání Násobení
23
Dělení
24
umocňování
25
Okolí vlastního bodu Okolí bodu Pravé okolí bodu Levé okolí bodu Redukované okolí bodu
26
Okolí nevlastního bodu Okolí nevlastního bodu ∞ Okolí nevlastního bodu -∞
27
Chování funkce f v okolí bodu 3 kde Chování funkčních hodnot funkce f, když argument se přibližuje bodu 3 zprava funkčních hodnot funkce f, když argument se přibližuje bodu 3 zleva x3,13,053,013,005……3 f(x)6,16,056,016,005……6 x2,92,952,992,999……3 f(x)5,95,955,995,999……6
28
Chování funkce f v okolí bodu 3 Pokud se argumenty funkce f (vzory, nezávisle proměnná) „blíží“ hodnotě 3, pak funkční hodnoty (obrazy, závisle proměnná) jsou „blíže a blíže“ hodnotě 6 Řekneme, že funkce f má v bodě x=3 limitu 6
29
Definice limity Nechť. Číslo nazýváme limitou funkce f v bodě a, když ke každému ε >0 existuje takové δ>0, že pro všechna x z redukovaného okolí bodu a platí |f(x)-A|<ε Píšeme
30
Jednostranné limity funkce Limita funkce f v bodě a zprava Limita funkce f v bodě a zleva Limita funkce f v bodě a Limita funkce f v bodě a existuje, pokud
31
Může se stát, že funkce nemá v bodě a limitu A? Ano, pokud je limita rovna hodnotě B Ano, pokud limita zprava a limita zleva mají různou hodnu Pokud k danému ε nelze nalézt žádné δ, pro které by platilo, že pro jakékoli x z redukovaného δ -okolí bodu a jsou f(x) v epsilonovém páse okolo hodnoty A
32
Nevlastní limity ve vlastní bodě V případě, že v okolí bodu a funkční hodnoty f(x) neomezeně rostou( klesají) říkáme, že funkce f(x) má v bodě a nevlastní limitu
33
Vlastní limity v nevlastních bodech V případě, že v okolí nevlastního bodu ∞ funkční hodnoty f(x) jsou „blízké“ hodnotě A říkáme, že funkce f(x) má v nevlastním bodě ∞ limitu A
34
Nevlastní limity v nevlastních bodech
36
vlastnosti limit funkcí Limita funkce je lokální pojem Limita funkce v bodě pokud existuje, pak je určena jednoznačně Existence limity funkce f v bodě a nesouvisí s existencí či hodnotou f(a) Limita funkce f v bodě a existovat vůbec nemusí
37
Vlastnosti limit Jestliže a Potom platí
38
Vlastnosti limit funkcí Jestliže pak Jestliže funkce f a g mají tutéž limitu v bodě a pak pro funkci h, pro kterou platí, že
39
Spojitost funkce Funkce f je spojitá v bodě a, právě tehdy když Funkce f je spojitá na intervalu I, když je spojitá v každém bodě intervalu I
40
Výpočet limit typu a/0 Limity tohoto typu se počítají pomocí jednostranných limit. Spočteme limitu zprava, limitu zleva a pokud se obě limity rovnají, je jejich hodnota rovna hledané limitě. Pokud je hodnota limity zprava a limity zleva různá, hledaná limita neexistuje.
41
Příklad
42
Limity racionálních funkcí v nevlastních bodech Vytkneme v čitateli nejvyšší mocninu x, stejně tak ve jmenovateli. Mocniny x vykrátíme. S využitím vlastnosti limit spočteme. Při výpočtu využíváme
43
Limity funkcí v jejichž předpisech se vyskytují goniometrické funkce Předpis funkce se upraví s pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi Využije se vztahu
44
Limity funkcí v jejichž předpisech se vyskytují exponenciální funkce Využije se vztahu
45
Diference funkce
46
Definice: Mějme reálnou funkci f a h>0. diferencí funkce f v bodě x 0 z rozumíme číslo h nazýváme diferenční krok Funkci, která každému x z M přiřadí nazýváme diference funkce f na množině M
47
Poměrná diference Definice: Nechť funkce f je reálná funkce, h>0 a x a x+h jsou z D f,, pak se nazývá poměrná diference funkce f v bodě x. Reálná posloupnost Diference
48
h= n0123 xnxn 0,40,71,01,3 f(x n )5,86,66,37,5 Δ f(x n )0,8-0,31,2-
49
Vlastnosti diference funkce Diference lineární funkce je konstantní
50
diference základních funkcí k je konstanta Diference lineární funkce je konstantní
51
diference vyšších řádů Druhá diference n-tá diference
52
Směrnice sečny funkce f procházející body [a,f(a)] a [b,f(b)] s diferenčním krokem h=b-a Směrnice tečny k funkci f v bodě [a,f(a)]
Podobné prezentace
© 2024 SlidePlayer.cz Inc.
All rights reserved.