1 Úvod do teoretické informatiky (logika) 1 Marek Menšík

Prezentace na téma: "1 Úvod do teoretické informatiky (logika) 1 Marek Menšík"— Transkript prezentace:

1 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) 1 Marek Menšík marek.mensik@vsb.cz

2 2Úvod do teoretické informatiky (logika) 2 Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi http://www.cs.vsb.cz/duzi Courses Introduction to Logic, Introduction to Theoretical Informatics Mathematical Logic. Jsou zde: Učební texty (skripta), Presentace přednášek Příklady na cvičení + doplňkové texty

3 3Úvod do teoretické informatiky (logika) 3 1. Úvod Co je to logika? Čím se logika zabývá? Noel Coward o logice Matematici ji musejí provozovat, vědci ji pravděpodobně provozují, sociologové ji docela dobře nemohou provozovat, politikové předstírají, že ji provozují, informatici tvrdí, že nakonec ji budou provozovat počítače, filosofové se domnívají, že ji provozují nejlépe, postmodernisté říkají, že ji nemůžeme provozovat, Bůh ji nepotřebuje provozovat a Gödel řekl, že nikdo ji nemůže provozovat úplně.

4 4Úvod do teoretické informatiky (logika) 4 1. Úvod Logika je věda o správném usuzování, neboli o umění správné argumentace Co je to úsudek (argument)? Úsudek: na základě pravdivosti předpokladů (premis) P 1,...,P n je možno soudit, že je pravdivý i závěr Z: P 1,..., P n  Z Příklad: Na základě toho, že je středa, soudím, že se koná přednáška „Úvod do teoretické informatiky“: Je středa  Je přednáška

5 5Úvod do teoretické informatiky (logika) 5 Úvod: správné (platné) úsudky Budeme se zabývat pouze deduktivně platnými úsudky: P 1,...,P n |= Z kdy závěr Z logicky vyplývá z předpokladů (premis) P 1,..., P n. Definice 1: Závěr Z logicky vyplývá z předpokladů P 1,...,P n, značíme P 1,...,P n |= Z, jestliže za žádných okolností nemůže nastat případ takový, že předpoklady (premisy) by byly pravdivé a závěr nepravdivý.

6 6Úvod do teoretické informatiky (logika) 6 Úvod: správné (platné) úsudky Příklad: Na základě toho, že je středa, soudím, že se koná přednáška „Úvod do teoretické informatiky“: Dnes je středa  neplatný Dnes je přednáška UTI. Je to deduktivně platný úsudek? Není. Třeba je přednášející nemocen a přednáška se nekoná, i když je středa (chybí předpoklad, že každou středu je přednáška) Každou středu je přednáška UTI. Dnes je středa.  platný Dnes je přednáška UTI.

7 7Úvod do teoretické informatiky (logika) 7 Deduktivně nesprávné úsudky: generalizace (indukce), abdukce Nebudeme se zabývat úsudky generalizací (indukce), abduktivními, a jinými –dukcemi  umělá inteligence (nemonotónní usuzování) Příklady: Doposud vždy ve čtvrtek byla logika.  indukce neplatný Logika bude i tento čtvrtek Všechny labutě v Evropě jsou bílé  indukce neplatný Všechny labutě na světě jsou bílé

8 8Úvod do teoretické informatiky (logika) 8 Deduktivně nesprávné úsudky: generalizace (indukce), abdukce Příklady: Všichni králíci v klobouku jsou bílí. Tito králíci jsou z klobouku.  Tito králíci jsou bílí.Dedukce, platný Tito králíci jsou z klobouku. Tito králíci jsou bílí.  (asi) Všichni králíci v klobouku jsou bílí. Generalizace, Indukce, neplatný Všichni králíci v klobouku jsou bílí. Tito králíci jsou bílí.  (asi) Tito králíci jsou z klobouku. Abdukce, neplatný Hledání předpokladů (příčin) jevů, diagnostika „poruch“

9 9Úvod do teoretické informatiky (logika) 9 Příklady deduktivně správných (platných) úsudků 1.Je doma nebo šel na pivo. Je-li doma, pak se učí na zkoušku. Ale na zkoušku se nenaučil. ------------------------------------------------ Tedy Šel na pivo. Někdy se zdá, jako bychom žádnou logiku nepotřebovali. Vždyť: Nenaučil-li se na zkoušku (dle 3. premisy), pak nebyl doma dle 2. premisy, a dle 1. premisy šel na pivo. Všichni běžně logiku používáme a potřebujeme. Bez ní bychom nepřežili: 2.Všechny muchomůrky zelené jsou prudce jedovaté. Houba, kterou jsem našla je muchomůrka zelená. ---------------------------------------------------------------------- Houba, kterou jsem našla je prudce jedovatá. Spolehnu se na logiku a nebudu zkoumat (jak bych to dělala?), zda je ta houba jedovatá.

10 10 Příklady deduktivně správných (platných) úsudků –Všechny muchomůrky zelené jsou prudce jedovaté. –Tato tužka je muchomůrka zelená. ---------------------------------------------------------------------- –Tedy  Tato tužka je prudce jedovatá. Úsudek je správný. Závěr je však nepravdivý. Tedy alespoň jedna premisa je nepravdivá (zjevně ta druhá). Okolnosti dle Definice 1 jsou různé interpretace (dle expresivní síly logického systému). Logické spojky (‘a’, ‘nebo’, ‘jestliže, …pak …’) mají pevný význam, interpretujeme elementární výroky nebo jejich části (predikáty a funkční termy). V našem případě, kdyby byly „tato tužka“ a „ muchomůrka zelená“ interpretovány tak, aby byla druhá premisa pravdivá, byla by zaručena pravdivost závěru. Říkáme také, že úsudek má správnou logickou formu.

11 11Úvod do teoretické informatiky (logika) 11 Správné (platné) úsudky Logika je nástroj, který pomáhá objevovat vztah logického vyplývání, řešit úlohy typu „Co vyplývá z daných předpokladů“?, a pod. 1.Je-li tento kurs dobrý, pak je užitečný. 2.Buď je přednášející přísný, nebo je tento kurs neužitečný. 3.Ale přednášející není přísný. -------------------------------------------------------------------------- Tedy 4.Tento kurs není dobrý. Pomáhá naší intuici, která může někdy selhat. –Premisy mohou být složitě formulované, „zapletené do sebe a do negací“, vztah vyplývání pak není na první pohled patrný. –Podobně jako všichni rodilí mluvčí jazyka používají gramatická pravidla, aniž by znali gramatiku. Ale někdy je dobré se podívat do mluvnice jazyka českého (zejména v soutěži 1 proti 100).

12 12Úvod do teoretické informatiky (logika) 12 Příklady úsudků 1.Všichni muži mají rádi fotbal a pivo. 2.Někteří milovníci piva nemají rádi fotbal. 3.Xaver má rád pouze milovníky fotbalu a piva. –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4.Některé ženy nemá Xaver rád. Nutně, jsou-li pravdivé všechny předpoklady, pak musí být pravdivý i závěr. Je však tento úsudek platný? Jistě, má-li Xaver rád pouze milovníky fotbalu a piva (3.), pak nemá rád některé milovníky piva (ty co nemají rádi fotbal (2.)), tedy nemá rád (dle 1.) některé „ne-muže“, t.j. ženy. Dle Definice 1 však platný není: úsudek je platný, pokud je nutně, tj. za všech okolností (interpretací) kdy jsou pravdivé předpoklady, pravdivý i závěr. Ale: v našem příkladě ta individua, která nejsou muži by nemusela být interpretována jako ženy. Chybí zde premisa, že „kdo není muž, je žena“, podobně ještě potřebujeme premisu „kdo je milovník něčeho, ten to má rád“.

13 13Úvod do teoretické informatiky (logika) 13 Příklady platných úsudků Tedy: musíme uvádět všechny předpoklady nutné pro odvození závěru. 1.Všichni muži mají rádi fotbal a pivo. 2.Někteří milovníci piva nemají rádi fotbal. 3.Xaver má rád pouze milovníky fotbalu a piva. 4.Kdo není muž, je žena 5.Kdo je milovník něčeho, ten to má rád. ––––––––––––––––––––––––––––––––– Některé ženy nemá Xaver rád. Nyní je úsudek správný, má platnou logickou formu. Závěr logicky vyplývá z předpokladů (je v nich „informačně, dedukčně obsažen“).

14 14Úvod do teoretické informatiky (logika) 14 Platné úsudky v matematice Úsudek A:Žádné prvočíslo není dělitelné třemi. Číslo 9 je dělitelné třemi. ––––––––––––––––––––––––––– platný Číslo 9 není prvočíslo Úsudek B:Žádné prvočíslo není dělitelné šesti. Číslo osm není prvočíslo. ––––––––––––––––––––––––––– neplatný Číslo osm není dělitelné šesti Ve druhém případě B se sice nemůže stát, že by byly premisy pravdivé a závěr nepravdivý, avšak, závěr v případě B nevyplývá logicky z předpokladů. Kdyby byl výraz „osm“ interpretován jako číslo 12, byly by předpoklady pravdivé, ale závěr nepravdivý. (Závěr s předpoklady „přímo nesouvisí“, není v nich deduktivně obsažen)

15 15Úvod do teoretické informatiky (logika) 15 Sémantická věta o dedukci Je-li úsudek P 1,...,P n |= Z platný, pak je analyticky nutně pravdivý také výrok tvaru: |= P 1 &...& P n  Z Nutně, jestliže jsou pravdivé všechny premisy P 1,...,P n, pak je pravdivý i závěr Z.

16 16Úvod do teoretické informatiky (logika)16 Vlastnosti deduktivních úsudků Platný (správný) úsudek může mít nepravdivý závěr: Všechna prvočísla jsou lichá 2 není liché číslo  Tedy 2 není prvočíslo Pak ale musí být alespoň jeden předpoklad nepravdivý V tom případě říkáme také, že úsudek není „sound“ (přesvědčivý). Avšak je to platný argument, a také je užitečný (důkaz ad absurdum – chceme-li někomu ukázat, že v argumentaci používá nepravdivé předpoklady, ukážeme mu, že z jeho předpokladů vyplývá evidentně nepravdivý závěr). Monotónnost: je-li úsudek platný, pak rozšíření množiny předpokladů o další předpoklad nevede ke změně platnosti úsudku.

17 17Úvod do teoretické informatiky (logika) 17 Vlastnosti deduktivních úsudků Ze sporných předpokladů (které nemohou být nikdy všechny najednou pravdivé) vyplývá jakýkoli závěr. Jestliže se budu pilně učit, pak uspěji u zkoušky. U zkoušky jsem neuspěl, ačkoliv jsem se pilně učil. --------------------------------------------------------------------  (třeba že) můj pes hraje na piano Reflexivita: je-li A jeden z předpokladů P 1,...,P n, pak P 1,...,P n |= A. Transitivita: jestliže P 1, …, P n |= Z a Q 1, …, Q m, Z |= Z’, pak P 1, …, P n, Q 1, …, Q m |= Z’.

18 18Úvod do teoretické informatiky (logika) 18 Ještě úsudky P 1,...,P n |= Z právě tehdy, když |= (P 1  …  P n )  Z POZOR!!! To neznamená, že je či musí být závěr či některá premisa pravdivá. Jde o platné úsudkové schéma, nutný vztah mezi předpoklady a závěrem.

19 19Úvod do teoretické informatiky (logika) 19 Ještě úsudky Žádné prvočíslo není dělitelné 3 9 je dělitelné 3 ----------------------------------------  9 není prvočíslo Je platný úsudek, i když první premisa je nepravdivá. Jiná interpretace: Všichni lidé jsou rozumní Kámen není rozumný ---------------------------------  Kámen není člověk

20 20Úvod do teoretické informatiky (logika) 20 Ještě úsudky Nebo, dosazením: Je-li 12 prvočíslo, pak není dělitelné 3 12 je dělitelné 3  12 není prvočíslo Nebo: 12 není prvočíslo nebo není dělitelné 3 12 je dělitelné 3  12 není prvočíslo Platná úsudková schémata (logické formy, např.): A  B, A |= Bmodus ponens A   B, B |=  A,modus ponens + transpozice A  B,  B |=  Amodus ponens + transpozice  A   B, B |=  Aeliminace disjunkce

21 Úvod do teoretické informatiky (logika) 21 Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika 1. řádu 1.Výroková logika analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek: „Petr se učí (p) a Karel šel do kina (q).“  (p  q) „Petr se učí (p) nebo Karel šel do kina (q).“  (p  q) „Jestliže se Petr učí (p), pak šel Karel do kina (q).“  (p  q) Co je to výrok? Výrok je tvrzení, o němž má smysl prohlásit, zda je pravdivé či nepravdivé Princip dvouhodnotovosti – tercium non datur – dvouhodnotová logika (existují však vícehodnotové logiky, logiky parciálních funkcí, fuzzy logiky,...) Triviální definice? Jsou všechna (oznamovací) tvrzení výroky? Ne, není pravda, že všechna tvrzení jsou výroky: –Francouzský král je holohlavý –Přestal jste bít svou ženu? (zkuste odpovědět ano nebo ne, pokud jste nikdy nebyl ženatý nebo nikdy svou ženu nebil)

22 Úvod do teoretické informatiky (logika) 22 Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika 1. řádu 2. Predikátová logika 1. řádu navíc umožňuje analyzovat strukturu elementárních výroků, a to až do úrovně vlastností a vztahů mezi individui “Všechny opice mají rády banány”   x [O(x)  B(x)] Pro všechna individua x (  x) platí, že jestliže x je O(pice - O(x)), pak x má rádo B(anány - B(x)) “Někteří studenti jsou pilní”  x [S(x)  P(x)] Existují individua x (  x) taková, že x je S(tudent - S(x)) a x je P(ilný - P(x))

23 Úvod do teoretické informatiky (logika) 23 Výroková logika: jazyk Formální jazyk je zadán abecedou (množina výchozích symbolů) a gramatikou (množina pravidel, která udávají, jak vytvářet „Dobře utvořené formule“ - DUF) Jazyk výrokové logiky  abeceda: –Výrokové symboly: p, q, r,... (případně s indexy) –Symboly logických spojek (funktorů): , , , ,  –Pomocné symboly (závorky): (, ), [, ], {, } Výrokové symboly zastupují elementární výroky Symboly , , , ,  nazýváme po řadě negace (  ), disjunkce (  ), konjunkce (  ), implikace (  ), ekvivalence (  ).

24 Úvod do teoretické informatiky (logika) 24 Výroková logika: jazyk  Gramatika (definuje rekurzivně dobře utvořené formule DUF) Induktivní definice nekonečné množiny DUF 1.Výrokové symboly p, q, r,... jsou (dobře utvořené) formule (báze definice). 2.Jsou-li výrazy A, B formule, pak jsou (DU) formulemi i výrazy  A ,  A  B ,  A  B ,  A  B ,  A  B  (indukční krok definice). 3.Jiných formulí výrokové logiky, než podle bodů (1), (2) není. (uzávěr definice).  Jazyk výrokové logiky je množina všech dobře utvořených formulí výrokové logiky. Pozn.: Formule dle bodu (1) jsou atomické formule Formule dle bodu (2) jsou složené formule

25 Úvod do teoretické informatiky (logika) 25 Výroková logika: Dobře utvořené formule Poznámky: Symboly A, B jsou metasymboly. Můžeme za ně dosadit kteroukoli DUF již vytvořenou dle definice. Vnější závorky můžeme vynechávat. Pro spojky se někdy užívají jiné symboly: Symbolalternativně --------------------------------  ,   ,   & &  ~ ~ Příklad: (p  q)  p je DUF (vnější závorky vynechány) (p  )   q není DUF

26 Úvod do teoretické informatiky (logika) 26 Sémantika (význam) formulí Pravdivostní ohodnocení (valuace) výrokových symbolů je zobrazení v, které ke každému výrokovému symbolu p přiřazuje pravdivostní hodnotu, tj. hodnotu z množiny {1,0}, která kóduje množinu {Pravda, Nepravda}: {p i }  {1,0} Pravdivostní funkce formule výrokové logiky je funkce w, která pro každé pravdivostní ohodnocení v výrokových symbolů p přiřazuje formuli její pravdivostní hodnotu. Tato hodnota je určena induktivně takto: Pravdivostní hodnota elementární formule: w  p  v = v  p  pro všechny výrokové proměnné p. Jsou-li dány pravdivostní funkce formulí A, B, pak pravdivostní funkce formulí  A, A  B, A  B, A  B, A  B jsou dány následující tabulkou 2.1:

27 Úvod do teoretické informatiky (logika) 27 Tabulka 2.1. pravdivostní funkce A B A AA  BA  BA  BA  B 1 1 01111 1 0 01000 0 1 11010 0 0 10011

28 Úvod do teoretické informatiky (logika) 28 Převod z přirozeného jazyka do jazyka výrokové logiky, spojky Elementární výroky: překládáme symboly p, q, r,... Spojky přirozeného jazyka: překládáme pomocí symbolů pro spojky: Negace: –„není pravda, že“:  (unární spojka) Konjunkce: –„a“:  (binární, komutativní) spojka; –Praha je velkoměsto a 2+2=4: p  q ne vždy, ne každé „a“ je logická konjunkce. Např. „Jablka a hrušky se pomíchaly“. Disjunkce: –„nebo“:  (binární, komutativní) spojka; Praha nebo Brno je velkoměsto. („nevylučující se“): p  q –V přirozeném jazyce často ve smyslu vylučujícím se „buď, anebo“ (Půjdu do školy (a)nebo zůstanu doma.) Vylučující se „nebo“ je non-ekvivalence

29 Úvod do teoretické informatiky (logika) 29 Spojka implikace Implikace „jestliže, pak“, „když, tak“, „je-li, pak“:  (binární, nekomutativní) spojka; První člen implikace antecedent, druhý konsekvent. Implikace (ani žádná jiná spojka) nepředpokládá žádnou obsahovou souvislost mezi antecendentem a konsekventem, proto bývá někdy nazývána materiálová implikace (středověk ”suppositio materialis”). Implikace tedy (na rozdíl od častých případů v přirozeném jazyce) nezachycuje ani příčinnou ani časovou vazbu. ”Jestliže 1+1=2, pak železo je kov” (pravdivý výrok): p  q ”Jestliže existují ufoni, tak jsem papež”: p  r (co tím chce dotyčný říct? Nejsem papež, tedy neexistují ufoni) Pozn.: Spojce “protože” neodpovídá logická spojka implikace! –“Hokejisté prohráli semifinálový zápas, proto se vrátili z olympiády předčasně”. „Protože jsem nemocen, zůstal jsem doma“.„nemocen“  „doma“? Ale to by muselo být pravda, i když nejsem nemocen (slide 24) –Mohli bychom to analyzovat pomocí modus ponens: [p  (p  q)]  q

30 Úvod do teoretické informatiky (logika) 30 Spojka ekvivalence Ekvivalence: –”právě tehdy, když”, ”tehdy a jen tehdy, když”, apod., ale ne ”tehdy, když” – to je implikace! – ”Řecká vojska vyhrávala boje tehdy (a jen tehdy), když o jejich výsledku rozhodovala fyzická zdatnost”: p  q –Používá se nejčastěji v matematice (v definicích), v přirozeném jazyce řidčeji Příklad: a)”Dám ti facku, když mě oklameš” okl  facka b)”Dám ti facku tehdy a jen tehdy, když mě oklameš okl  facka Situace: Neoklamal jsem. Kdy mohu dostat facku? Ad a) – můžu dostat facku, ad b) – nemůžu dostat facku.