Stáhnout prezentaci
Prezentace se nahrává, počkejte prosím
ZveřejnilMiluše Bartošová
1
EMM101 Ekonomicko-matematické metody č. 10 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
2
EMM102 Úloha optimalizace portfolia Bikriteriální nelineární optimalizační problém R PF = R i Z i MAX;(1) = MIN;(2) s.t. Z i = 1 (3) d i Z i h i i = 1,2,...,M (4) Variační koeficient (namísto směrodatné odchylky): V PF =
3
EMM103 Úloha optimalizace portfolia X i - výnos i -tého aktiva (akcie) = náhodná veličina E(X i ) – střední (očekávaná) hodnota výnosu i -tého aktiva R i = E(X i ) - označení R PF = R i Z i Z i – podíl i -tého aktiva v portfoliu (PF) Přitom platí: Z i = 1, d i Z i h i, i = 1,2,...,M – počet aktiv = ij = Cov(X i, X j ) Otázka: Jak odhadnout R i a ij ? !!!Vše se vztahuje na časový interval trvání PF!!!
4
EMM104 Sharpeův model R PF = R i Z i MAX; s.t. b Z i = 1 d i Z i h i i = 1,2,...,M b, d i, h i – zadané konstanty (úrovně) Maximalizace výnosu PF za zadané úrovně rizika
5
EMM105 Markowitzův model PF = MIN; s.t. R i Z i c Z i = 1 d i Z i h i i = 1,2,...,M c, d i, h i – zadané konstanty (úrovně) Maximalizace rizika PF za zadané úrovně výnosu
6
EMM106 Faktorové modely X i = i + i F + e i - výnos i -tého aktiva (5) Jednoindexový (jednofaktorový) model Faktor = celý kapitálový trh (reprezentovaný indexem, např. PX, DowJones apod.) Předpoklady: (I) E(e i ) = 0 pro i (II) Cov (e i, F) = 0 pro i (III) Cov (e i, e j ) = 0 pro i j Lineární závislost výnosu aktiva na zadaném faktoru F
7
EMM107 Faktorové modely... Z (I) a (II) : i = (6) i = E(X i ) - i E(F) (7) Dosazením do (1), (2) s využitím (I) - (III): R PF = ( i + i E(F)) Z i 2 PF = Var(F) i j Z i Z j + Var(e i )Z i 2 ● ●
8
EMM108 Sharpeho jednoindexový model R PF = ( i + i E(F)) Z i MAX; s.t. = Z i = 1 d i Z i h i i = 1,2,...,M
9
EMM109 Markowitzův jednoindexový model σ PF = MIN; s.t. ( i + i E(F)) Z i c Z i = 1 d i Z i h i i = 1,2,...,M
10
EMM1010 Systematické a nesystematické riziko portfolia a aktiv Z (I) až (III) : (6) Uplatněním operátoru “ Var ” na X i = i + i F + e i : Var(X i ) = i 2 Var(F) + Var(e i ) (8) i – “beta-koeficient i -tého AK” Var(X i ) – “celkové riziko i -tého AK” i 2 Var(F) – “systematické riziko i -tého AK” Var(F) – “systematické riziko trhu” Var(e i ) – “nesystematické (individuální) riziko i - tého AK” ● ●
11
EMM1011 Postup při výpočtu optimálního portfolia jednoindexový model („historická“ metoda) (Použití Excel-Solveru pro CP na BCPP) 1.Výběr vhodných AK v počtu M (např. CP obchodovaných na PBCP) a vhodného indexu F (např. F = PX) 2.Volba časového intervalu trvání PF N a délku T testovacích časových řad (cen c it vybraných AK), přitom N <<< T 3. Výpočet relativních kapitálových výnosů X i vybraných AK a relativních změn indexu F
12
EMM1012 4.Výpočet statistických chrakteristik X i a F : R i = E ( X i ), Var ( X i ), Var(F), Cov ( X i, F ) Výpočet: i ze vztahu (6) a Var ( e i ) z (8) 5.Ověření platnosti předpokladů modelu (I) až (III) (obvykle se vynechává) 6.Zadání hodnot b, ( resp. c ), d, h a výpočet optimálního složení portfolia Z i opt pomocí Sharpeho (resp. Markowitzova) modelu s použitím Excel - Solveru Postup při výpočtu optimálního portfolia jednoindexový model (pokračování) Priklad IND
13
EMM1013 Poznámky 1: Historická metoda Slouží k hodnocení portfolia za minulé (historické) období Pro sestavování portfolia do budoucnosti je vhodný tam, kde se očekává stacionární vývoj cen Sharpeho model: Optimální portfolio maximalizuje očekávaný (tj. střední) výnos při zadané úrovni očekávaného rizika ● ● ●
14
EMM1014 Poznámky 2: Historická metoda Markowitzův model: Optimální portfolio minimalizuje očekávané (tj. střední) riziko při zadané úrovni očekávaného výnosu. Očekávané hodnoty jsou vypočteny za období, v němž jsou známy hodnoty uvažovaných časových řad: E ( X i ), Var(X i ), Var(F), Cov(X i, F) Není potřeba znát celou kovarianční matici: Cov(X i, X j ), - má M 2 prvků, stačí znát pouze vektor Cov(X i, F) - má M prvků!!! ● ●
15
EMM1015 Poznámky 3: Expertní metoda Slouží k nalezení optimálního portfolia pro budoucí období Charakteristiky minulého období: (+) E ( X i ), Var ( X i ), Var ( F ), Cov ( X i, F ) se nahradí odhady, tj. prognózovanými, resp. expertními hodnotami, získanými prognostickými metodami Modifikovaný historický přístup: Pouze některé z hodnot (+) se nahradí odhady (obvykle výnosy E(X i ), resp. riziko Var ( X i ) ) ● ● ●
16
EMM1016 Úloha optimalizace portfolia Dvojkriteriální úloha Matemat. programování R PF = R i Z i MAX;(1) PF = ij Z i Z j MIN;(2) za podmínek Z i = 1 (3) d i Z i h i i = 1,2,...,M (4)
17
EMM1017 Fuzzy množina 1 fuzzy interval 1 0 (x) x Fuzzy množina - interval Funkce příslušnosti k f. množině
18
EMM1018 1. metoda fuzzyfikace: Lineární satisfakce Krok 1. Řešte 2 úlohy LP: P1 max (P1 min ): R PF = R i Z i MAX (MIN); za podmínek Z i = 1 d i Z i h i i = 1,2,...,M Výsledek: R max, R min
19
EMM1019 Fuzzy množina 2 lineární satisfakce (spokojenost s „velkými“ hodnotami výnosu PF) 1 0 x R PF R min R max
20
EMM1020 Lineární satisfakce 2 Krok 2. Řešte 2 úlohy Kvadratického programování: P2 min (P2 max ): 2 PF = ij Z i Z j MIN (MAX); za podmínek Z i = 1 d i Z i h i, i = 1,2,...,M Výsledek: max, min
21
EMM1021 Fuzzy množina 3 lineární satisfakce (spokojenost s „malými“ hodnotami rizika PF) 1 0 max PF min
22
EMM1022 Lineární satisfakce 3 1 R min R max z = (R) = Krok 3. Vytvořte lineární funkci příslušnosti satisfakce výnosu:
23
EMM1023 Lineární satisfakce 4 1 ( ) = min max Krok 4. Vytvořte lineární funkci příslušnosti satisfakce rizika:
24
EMM1024 Lineární satisfakce 5 min { ( R i Z i ), ( ij Z i Z j ) } MAX; za podmínek Z i = 1 d i Z i h i, i = 1,2,...,M Krok 5. Řešte optimalizační úlohu:
25
EMM1025 Lineární satisfakce 6 Krok 5*. Ekvivalentní úloha LP: MAX; za podmínek R = R i Z i 2 = ij Z i Z j Z i = 1 d i Z i h i,i = 1,...,M
26
EMM1026 2. metoda fuzzyfikace: Nelineární satisfakce Nelineární funkce příslušnosti satisfakce výnosu i rizika: R min R max min max > 0 > 0
27
EMM1027 Nelineární satisfakce 2 MAX; za podmínek R i Z i + R min ij Z i Z j - max Z i = 1 d i Z i h i,i = 1,...,M Ekvivalentní úloha LP: (analogicky jako u lineární satisfakce)
28
EMM1028 Lineární satisfakce: Příklad Počet AK: M = 4 Počet údajů čas. řad:T = 32 Počet čas. intervalů trvání PF:N = 5
29
EMM1029 Příklad … Očekávané výnosy
30
EMM1030 Příklad … Vektor výnosů a kovarianční matice Odhady rizik akcií (rozptyly) Výnosy: 0,0660,034 0,104 0,008 Kovariance:
31
EMM1031 Příklad … Krok 1: R max = 0,104 R min = 0,007 Krok 2: max = 0,190 min = 0,062 Krok 5*: Optimální řešení: fuzzyfikace.xls
32
EMM1032 Příklad: Řešení lineární satisfakce PF 1 0 R min min PF = R PF R max max 0,62
Podobné prezentace
© 2024 SlidePlayer.cz Inc.
All rights reserved.