Hledání silně souvislý komponent Silně souvislá komponenta orientovaného grafu G= (V,E) je maximální množina uzlů UV taková že ∀ u,v ∈ V : u je dosažitelné.

Prezentace na téma: "Hledání silně souvislý komponent Silně souvislá komponenta orientovaného grafu G= (V,E) je maximální množina uzlů UV taková že ∀ u,v ∈ V : u je dosažitelné."— Transkript prezentace:

1 Hledání silně souvislý komponent Silně souvislá komponenta orientovaného grafu G= (V,E) je maximální množina uzlů UV taková že ∀ u,v ∈ V : u je dosažitelné z v a v je dosažitelné z u

2 Známé algoritmy a jejich složitost ● Tarjan (1972) – složitost  (V + E) ● Double DFS – složitost  (V + E) Je zřejmé, že jejich složitost je zároveň dolní hranice tohoto problému

3 Double DFS ● Je založen na aplikaci DFS ● Algoritmus využívá transponovaný graf G T ● Grafy G a G T mají shodné SCC ● Po provedení 2. DFS jsou hledané komponenty tvořeny vrcholy jednotlivých DFS stromů

4 SCC(G) 1.Zavolej DFS(G), který spočítá koncový čas pro každý vrchol 2.Spočitej transponovaný graf G T 3.Zavolej DFS(G T ), ale vrcholy uvažu v pořadí klesajících koncových časů spočitaných v 1. 4.Výstup jsou komponenty tvořeny vrcholy jednotlivých DFS stromů spočitaných v 3.

5 Provedeme 1.DFS

6 0/ 0

7 2/ 0 0/ 0 1/ 0 0/ 0

8 2/ 0 3/ 4 1/ 0 0/ 0

9 2/ 5 3/ 4 1/ 0 0/ 0

10 6/ 0 2/ 5 3/ 4 1/ 0 0/ 0

11 6/ 0 2/ 5 3/ 4 1/ 0 7/ 8

12 6/ 9 2/ 5 3/ 4 1/ 0 7/ 8

13 6/ 9 2/ 5 3/ 4 1/ 1 0 7/ 8

14 Transponujeme graf Provedeme 2.DFS na transponovaném grafu ale v hlavní cyklu DFS uvažujeme vrcholy v pořadí klesajících koncových časů spočitaných v 1. DFS

15 9 6 7 1010 8

16 9 6 7 1010 8

17 9 6 7 1010 8

18 9 6 7 1010 8

19 9 6 7 1010 8

20 9 6 7 1010 8

21 Vrcholy jednotlivých DFS stromů tvoří hledané sylně souvislé komponenty

22 Robert E. Tarjan (*1948) ● studoval na California Institute of Technology (B.S.) a Stanford University (M.S. a Ph.D.) ● Publikoval přes 170 článků, vymyslel řadu alogritmů (převážně z oblasti grafových algoritmů), zabýval se datovými strukturami. ● Algoritmus pro SCC publikován v: Robert E. Tarjan, Depth-first search and linear graph algorithms, SIAM Journal on Computing, 1(2):146-160, 1972.

23 Tarjanův algoritmus pro SCC ● Je založený na DFS. ● Vrcholy v grafu si indexuje podle pořadí v jakém je navštěvuje (visit), u každého vrcholu si také pamatuje vrchol s nejnižším indexem, ke kterému existuje z tohoto vrcholu cesta (low-link). ● Při první návštěvě vrcholu nastaví low-link = visit, při dalším prohledávání upravuje low-link na odpovídající hodnotu. ● Navštívené vrcholy postupně ukládá na zásobník (kde jsou seřazeny podle jejich hodnoty visit). ● Když se rekurzívní volání DFS vrátí zpět k takovému vrcholu, u kterého platí visit = low-link (tedy vrchol s nejnižším indexem, ke kterému vede z toho vrcholu cesta, je on sám), tak se odstraní všechny vrcholy ze sásobníku až po tento vrchol – tvoří totiž silně spojitou komponentu.

24 Příklad

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 Srovnání obou algoritmů